沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题08：反三角函数与最简三角方程复习与检测(含答案)155058.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 1 页，总 11 页 学习目标 1.反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。2.最简三角方程，简单的三角方程。知识梳理 重点 1 反三角函数：概念：把正弦函数sinyx，,2 2x 时的反函数，成为反正弦函数，记作xyarcsin.sin()yx xR，不存在反函数.含义：arcsin x表示一个角；角,2 2 ；sinx.重点 2 反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）符号 arcsinx 可以理解为2，2上的一个角(弧度)，也可以理解为区间2，2上的一个实数；同样符号 arcco

2、sx 可以理解为0，上的一个角(弧度)，也可以理解为区间0，上的一个实数；名称 函数式 定义域 值域 奇偶性 单调性 反正弦函数 y=arcsinx 1,1增 2,2 奇函数 增函数 反余弦函数 y=arccosx 1,1减,0 非奇非偶 减函数 反正切函数 y=arctanx R 增 2,2 奇函数 增函数 反余切函数 y=arccotx R 减,0 非奇非偶 减函数 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 2 页，总 11 页 （2）yarcsinx 等价于 sinyx,y2，2,yarccosx 等价于 cosyx,x0,

3、这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）恒等式 sin(arcsinx)x,x1,1,cos(arccosx)x,x1,1,arcsin(sinx)x,x2，2,arccos(cosx)x,x0,的运用的条件；（4）恒等式 arcsinxarccosx2,arctanxarccotx2的应用。重点 3 最简单的三角方程（1）含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三

4、角方程中的作用；如：若sinsin，则sin(1)kk；若coscos，则2k；若tantan，则ak；若cotcot，则ak；（4）会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。例题分析 例 1函数 f x的反函数 11arcsinarctan2fxxx，则 f x的定义域为（）A,B33,44 C33,22 D,2 2 【答案】D【详解】对于函数 11arcsinarctan2fxxx，该函数的定义域为1,1，由于函数 1yfx在1,1上单调递增，则 11111ffxf，且 1111arcsin1arctan122242f ，1111arcsin1arctan1222

5、42f，所以，122fx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 3 页，总 11 页 因此，函数 yf x的定义域为,2 2.故选：D.例 2方程sinxx的解的个数是()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】D【详解】解：在同一坐标系中分别作出函数sinyx，xy的图象如图：由图可知函数sinyx，xy的图象有 3 个交点，即方程sinxx的解有 3 个.故选：D.跟踪练习 1设函数()cos()cos()f xmxnx，其中m、n、为已知实常数，xR，有下列四个命题：（1）若(0)02ff，则()0f x 对任意实

6、数x恒成立；（2）若(0)0f，则函数()f x为奇函数；（3）若02f，则函数()f x为偶函数；（4）当22(0)02ff时，若12()()0f xf x，则122xxk（kZ）；则上述命题中，正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2满足arccos 1arccosxx的x的取值范围是（）A11,2 B1,02 C10,2 D1,12 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 4 页，总 11 页 3若01a，在0,2 上满足cos xa 的x的范围是（）Aarc cos,arc cosaa Barccos,

7、arccos aa Carccos,2arccos aa Darccos,arccos aa 4设方程sin 40 x 的解集为 M，方程cos21x 的解集为 N，则（）AMN BNM CMN D以上都不对 5方程21sin2x的解集是（）A|,4x xkkZ B|,4x xkkZ C|2,4x xkkZ D|,4x xkkZ 6已知x为锐角，cos3sinaxx，则a的取值范围为（）A 2,2 B(1,3)C(1,2 D(1,2)7解下列三角方程：（1）24cos4cos10 xx；（2）2sin3sincos10 xxx；（3）sin212(sincos)120 xxx 8解下列方程：（

8、1）sin3cos1xx；（2）22 3cossin；（3）sin 212 sincos120 xxx；（4）cos2 secsec10 xxx 9元宵节是中国的传统节日之一要将一个上底为正方形 ABCD 的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于 A、C 两点距离）的绳子两头分别拴住 A、C；B、D，再用一根绳子 OP 与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图花灯上底面到天花板的距离设计为 1 米，上底面边长为 0.8 米，设PAC，所有绳子总长为 y 米（打结处的绳长忽略不计）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试

9、卷第 5 页，总 11 页 （1）将 y 表示成 的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长（精确到 0.01 米）10 如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为iA（1,2,3,4i），1230A A 米，214120A A A，D为对角线24A A和13A A的交点他以2A、4A为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A相交于1A、另一段弧与34A A相交于3A，这两段弧恰与24A A均相交于D设12A A D （1）若两段圆弧组成“甬路”L（宽度忽略不计），求L的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S，其余区域的面积为2S

10、对于条件（1）中的L，当11320.12SLA AS时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 6 页，总 11 页 参考答案 1C【详解】()(coscossinsin)(coscossinsin)f xmxxnxx(coscos)cos(sinsin)sinmnxmnx 不妨设 11221122()coscoscossinsinsinf xkkxkkx1212,k k 为已知实常数.若(0)0f，则得 1122coscos0kk；若()02f，则得1122sinsin0

11、kk 于是当(0)02ff时，()0f x 对任意实数x恒成立，即命题（1）是真命题；当(0)0f时，1122()sinsinsinf xkkx，它为奇函数，即命题（2）是真命题；当()02f时，1122()coscoscosf xkkx，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当22(0)02ff时，令()0f x，则 11221122coscoscossinsinsin0kkxkkx，上述方程中，若cos0 x，则sin0 x，这与22cossin1xx矛盾，所以cos0 x 将该方程的两边同除以cosx得 11221122coscostansinsinkkxkk，令11221122coscos

12、sinsinkktkk（0t），则 tan xt，解得 arctanxkt（kZ）不妨取 11arctanxkt，22arctanxkt（1kZ且2kZ），则1212xxkk，即12xxk（kZ），所以命题（4）是假命题 故选：C 2D【详解】不等式arccos 1arccosxx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 7 页，总 11 页 由余弦函数性质可化为cos arccos 1cos arccosxx，由反函数运算性质可知满足1xx，解得12x，又因为1,1x，所以满足不等式的x的取值范围为10,2，故选：D.3D【详

13、解】当0,2 x，令cos xa 12arccosarccos,2arccosarccosxaa xaa 故满足cos xa 的x的范围是：arccos,arccos aa 故选：D 4B【详解】由sin 40 x，可得4,xkkZ，所以,4kxkZ 则|,4kMx xkZ 由cos21x，可得22,xkkZ，所以,xkkZ 则|,Nx xkkZ 所以NM，故选：B 5D【详解】由方程21sin2x，得2sin2x ，解得,4xkkZ，即方程的解集为|,4x xkkZ.故选：D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 8 页，总

14、 11 页 6C【详解】由cos3sinaxx，可得3sincos2sin6axxx，因为0,2x，所以 2,663x，则2sin1,26x，所以a的取值范围为(1,2.故选：C.7（1）2()3xkkZ；（2）1arctan2xk或()4xkkZ；（3）22xk或2()xkkZ【详解】（1）2214cos4cos10(2cos1)0cos2()23xxxxxkk Z；（2）2sin3sincos10 xxx 222sin3sincossincos0 xxxxx，显然cos0 x 不是方程的解，所以两边同除2cos x，得22tan3tan10 xx，1tan2x 或tan1x，1arctan

15、()24xkxkkZ或；（3）令sincos2sin4txxx，2,2t，则2sin 21xt，从而2112120tt，即212130tt，解得1t 或13t （舍），再由22sin1sin442xx，244xk或32()44xkkZ，22xk或2()xkkZ 8（1）1,63kx xkkZ；（2）1,3kkkZ ；（3）1,44kx xkkZ；（4）22,3x xkkZ.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 9 页，总 11 页【详解】（1）由sin3cos2sin13xxx得：1sin32x，136kxkkZ ，163kx

16、kkZ，原方程的解集为 1,63kx xkkZ.（2）22cos1 sin，原方程可化为：22 3sinsin2 30，即2sin33sin20，解得：3sin2或2 3sin3（舍）由3sin2得：13kkkZ，原方程的解集为 1,3kkkZ .（3）令sincosxxt，则2sin22sincos1xxxt，原方程可化为2112120tt，即212130tt，解得：13t 或1t，sincos2sin2,24xxx，1t，即2sin42x，144kxkkZ ，144kxkkZ，原方程的解集为 1,44kx xkkZ.（4）2cos22cos1xx，1seccosxx，原方程可化为22cos

17、1112cos10coscosxxxx ，解得：1cos2x ，223xkkZ，原方程的解集为22,3x xkkZ.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 10 页，总 11 页 9（1）y0.4 2 4sin1cos，5 20,arctan4；（2）1.17 米，1.17 米，0.85 米【详解】（1）设上底中心为 M，则|AM|0.42，|PM|0.42tan，|PA|0.4 2cos，故绳子总长4|4|yPAOPPAOMPM 1.6 21 0.4 2 tancos 0.4 2 4sin1cos，因为|15 20tan|40

18、.4 2OMAM，所以5 20,arctan4（2）记 A4sincos，则 sin+Acos4，即21sin4A，由 sin（+）1，得15A，等号成立时arctan 1525 20,arctan4，从而 ymin0.430+13.19（米），此时这三根绳子长分别约为 1.17 米，1.17 米，0.85 米 10（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析【详解】（1）根据题设条件，可得在124A A A中，24122A AA A 由正弦定理，得2412214142sinsinA AA AA A AA A A，即142123sinsin234A A A 欢迎您阅读并下载本文档，本

19、文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！试卷第 11 页，总 11 页 所以1423arcsin4A A A，所以3arcsin34，所以12260LA A360arcsin3436米 答：甬路L的长约为36米（2）由（1）得60L，在12A A D中，由余弦定理，得21221800180303023030ccos0 osA D，所以130 22cosAD，故13A A60 22cos，所以13LA A22cos，2112002930S，291430 3000(2s)sin90n0i2S，故122sinSS，当3arcsin34时，0.11810.122sin22cos 所以此人的设计是“用心”的