圆锥曲线的经典结论.pdf

《圆锥曲线的经典结论.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的经典结论.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、解析几何专题经典结论有关解析几何的经典结论有关解析几何的经典结论一、椭一、椭圆圆1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角外角.（椭圆的光学性质）2.PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离相离.（第二定义）4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.（第二定义）x xy yx2y25.若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.（求导或用联立abab方程组法）x2y26.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过P0作椭圆的

2、两条切线切点为P1P2的直1,P2，则切点弦Pabx xy y线方程是02021abx2y27.椭圆221(a b 0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，ab则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2 b tan22.（余弦定理+面积公式+半角公式）x2y28.椭圆221（a b 0）的焦半径公式：ab|MF1|aex0，|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)，M(x0,y0).（第二定义）9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P,Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M,N两点，则MF NF.证明：x kyc，x2y22222

3、222221 a b ky 2b ckyb c a b 022abb2c2a2b22b2ckyyPyO2,yP yO2，2222a b ka b ka2c2a2b2k22a2cxPxO,xP xO2，a2b2k2a b2k2第1页，共15页解析几何专题经典结论a2a2aayNyMcc,，MF NF MF NF 0 xMcxNc yMyN 0，yPa xPyQa xQb4易得：xMcxNc 2c10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P,Q，且A1,A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF NF.（MN其实就在准线上，下面证明他在准线上）证明：首先证明准线

4、，A1P和PA2公共点，设PxP,yP，Q xQ,yQ，不妨设xP xQ，yQyPk1，k2，xPaxQay k1xa由，y kxa2y kxcxPyQ xQyPayP yQak1k2 a得交点x，由x2y2，k1k2xPyQ xQyPayP yQ221ba得b2a2k2x22a2k2cxa2c2k2a2b2 0，令M b2a2k2，N b2a2k2c2k2，a2c2k2a2b22a2k2c2b2ck2abkNxPxQ，xP xQ，yP yQ，yP yQ，MMMM2a2b2k2a2bkN2a2b2ka22abckNMMxPyQ xQyPa ，xPyQ xQyP，则x 2abckN2ab2ckM

5、cMMM再根据上一条性质可得结论。第2页，共15页解析几何专题经典结论b2x2y211.AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB 2，aabb2x0即KAB 2。（点差法）a y0 x0 xy0yx02y02x2y212.若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被P0所平分的中点弦的方程是2222.ababab（点差法）x2y2x0 xy0yx2y213.若在椭圆221内，则过P0的弦中点的轨迹方程是2222.ababab（点差法）二、双曲线二、双曲线1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角内角.（同上）2.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦

6、点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交相交.（同上）4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）（同上）x2y25.若P0(x0,y0)在双曲线221（a 0,b 0）上，则过P0的双曲线的切线方程是：abx0 xy0y21.（同上）a2bx2y26.若P0(x0,y0)在双曲线221（a 0,b 0）外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1,P2，abx0 xy0yP则切点弦P的直线方程是21.（同上）12a2bx2y27.双曲线221（a 0,b 0）的左右焦

7、点分别为F,F2，点P为双曲线上任意一点：abF1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2 b2cot2.（同上）x2y28.8.双曲线双曲线221（a 0,b 0）的焦半径公式：）的焦半径公式：F1(c,0),F2(c,0)ab当当M(x0,y0)在右支上时，在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当当M(x0,y0)在左支上时，在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a（同上）Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF NF.（同上）第3页，共15页解析几何专题经典结

8、论10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q，且A1,A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF NF.（同上）x2y211.AB是双曲线221（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB 的中点，则abb2x0b2x0KOMKAB2，即KAB2。（同上）a y0a y0 x2y212.若P0(x0,y0)在双曲线221（a 0,b 0）内，则被P0所平分的中点弦的方程是：abx0 xy0yx02y02222.（同上）a2babx2y213.若P0(x0,y0)在双曲线221（a 0,b 0）内，则过P0的弦中点的轨迹方程是：ab

9、x2y2x0 xy0y222.（同上）2abab椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）椭椭圆圆x2y21.椭圆221a b 0的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于abx2y2P1P1与A2P1,P2时，A2交点的轨迹方程是221.aby1y xax1ay12222证明：P，得y02，xa01x1,y1，P1x1,y1，交点Px0,y0，由2yx1a2y xax2ax02y02x12y12又221，则221ababx2y22.过椭圆221a b 0上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两ab

10、b2x0点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.a y0证明：第4页，共15页解析几何专题经典结论x2y23.若P为椭圆221a b 0上异于长轴端点的任一点，F1、F2是焦点,PF1F2,abPF2F1，则证法 1（代数）ac tancot.ac22证法二（几何）第5页，共15页解析几何专题经典结论x2y24.设椭圆221a b 0的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，ab在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有（上条已证）sinc e.sinsinax2y25.若椭圆221a b 0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，则当0 e 2 1时，ab

11、可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x2y26.P为椭圆221a b 0上任一点，F1、F2是焦点，A为椭圆内一定点，则ab2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.(x x0)2(y y0)21与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是7.椭圆22abA2a2 B2b2(Ax0 By0C)2.x2y28.已知椭圆221a b 0，O 为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.ab1111;（1）|OP|2|OQ|2a2b24a2b2（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;a b2a2b2（3）SOPQ的最小值

12、是2.2a b22证明第6页，共15页解析几何专题经典结论x2y29.过椭圆221a b 0的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分ab|PF|e.线交x轴于P，则|MN|2证明x2y210.已知椭圆221a b 0，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点aba2b2a2b2P(x0,0),则 x0.aax2y211.设P点是椭圆221a b 0上异于长轴端点的任一点,F1、F2是焦点，记ab2b22F1PF2，则(1)|PF1|PF2|.(2)SPF1F2 b tan.1cos2第7页，共15页解析几何专题经典结论x2y212.设A,B是椭圆221a b

13、0的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,abPBA,BPA，c,e分别是椭圆的半焦距离心率，则有：2ab2|cos|(1)|PA|2.22a c cos2(2)tantan1e.(3)SPAB2a2b22cot.2b ax2y213.已知椭圆221a b 0的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相ab交于A,B两点，点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.证第

14、8页，共15页解析几何专题经典结论16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）（角分线定理+合比公式）17.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理）18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）双曲线双曲线x2y21.双曲线221（a 0,b 0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲abx2y2线于P2交点的轨迹方程是221.1P1与A2P1,P2时，Aabx2y22.过双曲线221（a

15、 0,b 0）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线abb2x0于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 2（常数）.a y0 x2y23.若P为双曲线221（a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1、F2是焦点,abPF1F2,PF2F1，则caca tancot（或 tancot）.ca22ca22x2y24.设双曲线221（a 0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任ab意一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有：sinc e.(sinsin)a第9页，共15页解析几何专题经典结论x2y25.若双曲线221（

16、a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，则当1 e 2 1ab时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x2y26.P为双曲线221（a 0,b 0）上任一点,F1、F2是焦点，A为双曲线内一定点，则ab|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.x2y27.双曲线221（a 0,b 0）与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是：ab22A a B2b2 C2.x2y28.已知双曲线221（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ.ab11112;（1）222|O

17、P|OQ|ab4a2b2（2）OP OQ的最小值为2;2b aa2b2（3）SOPQ的最小值是2.b a2x2y29.过双曲线221（a 0,b 0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MNab|PF|e.的垂直平分线交x轴于P，则|MN|222x2y210.已知双曲线221（a 0,b 0）,A,B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴aba2b2a2b2相交于点P(x0,0),则x0或x0.aax2y211.设P点是双曲线221（a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2是焦点，记abF1PF2，则：2b2(1)|PF1|PF2|.1cos(2)SPF1F2 b

18、cot22.x2y212.设A,B是双曲线221（a 0,b 0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,abPBA,BPA，c,e分别是双曲线的半焦距离心率，则有：2ab2|cos|(1)|PA|2.|a c2cos2|2(2)tantan1e.第10页，共15页解析几何专题经典结论(3)SPAB2a2b22cot.b a2x2y213.已知双曲线221（a 0,b 0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线ab与双曲线相交于A,B两点，点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相

19、应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线

20、段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.x2y2P M P0N，则19.已知椭圆221上一点P0 x0,y0，以直线与椭圆交于M,N两点，恒有0aba2b2b2a2直线横过x02,y0222a ba b证明第11页，共15页解析几何专题经典结论x2y219.已知椭圆221，不再椭圆上的一点P，过P做倾斜角互补的两直线，与椭圆交于abA,B,C,D四点，则A,B,C,D四点共圆证明其他常用公式：其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB 1k2x1 x211y1 y2k22、直线的一

21、般式方程：任何直线均可写成Ax ByC 0(A,B不同时为 0)的形式。3、知直线横截距x0，常设其方程为x my x0(它不适用于斜率为 0 的直线)，与直线l:Ax ByC 0垂直的直线可表示为Bx Ay C1 0。第12页，共15页解析几何专题经典结论4、两平行线l1:Ax By C1 0，l2:Ax By C2 0间的距离为d 5、若直线l1:Ax By C1 0与直线l2:Ax By C2 0平行，C1C2A B22。则A1B2 A2B1 0（斜率）且B1C2 B2C1 0（在y轴上截距）（充要条件）6、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E24F 0，特别提醒：只有

22、当DE D2 E24F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为,，半径为221D2 E24F的圆。二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是2AC 0，且B 0，且D2 E24AF 0。7、圆的参数方程：x arcos（为参数），其中圆心为a,b，半径为r。圆的参数方程的主y brsin222要应用是三角换元：x y r x rcos，y rsin；x2 y2 t x rcos，y rsin（0 r t）；8、Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2y y1y y2 0；2切线长：过圆x y Dx Ey F 0（xayb r）外一点P

23、x0,y0引圆的切线2222的长为：x0 y0 Dx0 Ey0 F 0（22xayb22r2）9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半21a及圆的半径r所构成的直角三角形来21解：r d a；过两圆C1:fx,y0、C2:gx,y 0交点的圆(公共弦)系为222fx,ygx,y0，当 1时，方程fx,ygx,y0为两圆公共弦所在直线方程.。第13页，共15页解析几何专题经典结论抛物线焦点弦性质总结 30 条1.以AB为直径的圆与准线l相切；p22.x1x2;423.y1y2 p;4.ACB 90;5.AFB=90;6.AB x1 x2 p 2x300p 2p;22sin112;AF

24、BFp8.A,O,B三点共线；9.B,O,A三点共线；7.10.SAOBp2；2sin32S p 11.AOB（定值）；AB2pp12.AF；BF；1cos1cos13.BC垂直平分BF；14.AC垂直平分AF；15.CF AB；16.AB 2p；11AB AA BB；22P18.kAB；y3y219.tan;px22220.AB 4 AF BF;17.CC 21.CF 1AB.222.切线方程y0y mx0 x223、AB是抛物线y 2pxp 0焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1 l，BB1 l，过A,B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M则有结论 6 6PA PB结论 7 7PF AB第14页，共15页解析几何专题经典结论结论 8 8M平分PQ结论 9 9PA平分A1AB，PB平分B1BA结论 1010FA FB PF结论 1111SPABmin p2二)非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果：结论 1212xP2y1y2y y2，yP12p2结论 1313PA平分A1AB，同理PB平分B1BA结论 1414PFA PFB结论 1515点M平分PQ结论 1616FA FB PF2第15页，共15页