小学数学典型例题解析.pdf

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1、小学数学典型例题解析小学数学典型例题解析一、和差问题：已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。和差问题的解题规律为：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2 倍；大数减去两数差就是小数，两数和减去两数差是小数的2 倍。因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。公式：（和（和+差）差）2=2=大数大数（和（和-差）差）2=2=小数小数例题：1.明明星期天上街买衣服，花75 元买了一条裤子和一件上衣，已知上衣比裤子贵15 元，明明买上衣花（）元解设：上衣 x 元，则裤子（x-15）元依题

2、意可得：x+(x-15)=752x=90X=45x-15=302.在期末数学考试中，甲乙成绩之和为184 分，乙丙成绩和为 187 分，丙丁成绩和为 188，甲比丁多一分，问甲乙丙丁各得多少分解题思路：解设：乙 x 分，则甲（184-x）分，丙（187-x）187-184=3 分丙比甲多三分分，丁为（188-187+x）分188-187=1 分丁比乙多 1 分则：184-x-1=188-187+x2x=182因为甲比丁多一分，则：甲比乙多 2 分，丙比乙x=91多 3+2=5 分184-x=93（184+2）2=93 分甲的分数187-x=9693-2=91 分乙的分数188-187+x=92

3、91+5=96 分丙的分数答：甲 93 分，乙 91 分，丙 96 分，丁 92 分91+1=92 分丁的分数训练中心：1.小兰期末考试语文和数学平均分是96 分，数学比语文多 4 分，问小兰语文（）分，数学（）分。2.学校做扫除，张娟和陈凡一共擦玻璃31 块，又知张娟比陈凡少擦9 块，张娟、陈凡各擦玻璃（）、（）块。3.甲筐内有苹果 30 千克，乙筐内有桔子若干千克，如果从乙筐取出12 千克桔子，苹果就比桔子多12 千克，乙筐原有桔子（）千克。4.今年弟弟 16 岁，哥哥 20 岁，当两人的年龄和是52 时，弟弟（）岁。6.无线电一厂、二厂共有工人864 人，为了照顾5.王老师买回 83 个

4、球，其中篮球是足球的2 倍，工人就近上班，从一厂调入二厂32 名工人，这样足球比排球多 5 个，这三种球各买了多少个？一厂工人人数还比二厂多48 人，一厂、二厂原来各有工人多少人？二、和倍问题已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做和倍问题。解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。公式：两数和两数和 倍数和倍数和=小数小数 小数小数 倍数倍数=大数大数 或或 两数和小数两数和小数=大数大数例题：某校买了几支红铅笔和白铅笔，已知红铅笔和白铅笔的和是64 支，红铅笔是白铅笔的3 倍，求两种铅

5、笔各几支。例题解说：倍，用 3x 表示，“红铅笔和白铅笔的和是 64 支”就“红铅笔是白铅笔的 3 倍”表示白铅笔是一倍数，红是说很红铅笔的支数+白铅笔的支数=64 支（总支铅笔是三倍数。因此，我们可以把白铅笔设为一数）倍数：用 x 表示，那么红铅笔就是白铅笔的3解：设白铅笔为 x（一倍数）支，那么红铅笔为13x 支。x+3x=644x=64x=644训练中心：1.三堆糖果共有 105 颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的 3 倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的 2 倍少 3 颗第三堆糖果有多少颗？2.549 是甲、乙、丙、丁 4 个数的和如果甲数加上 2，乙数减少 2，丙数乘以 2，丁数除以

6、2 以后，则 4 个数相等求 4 个数各是多少？（）三、差倍问题x=16红铅笔：3x=316=48（支）答：白铅笔有 16 支，红铅笔有 48 支。3.有 3 条绳子，共长 95 米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8 米，问 3 条绳子各长多少米？4.甲、乙、丙三个粮仓一共存有 109 吨粮食其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的 3 倍多 1 吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的 2 倍问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？差倍问题就是已知两个数的差与两个数的倍数关系，求这两个数是多少的应用题。差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1 倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关

7、系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。公式：两数之差两数之差（倍数（倍数-1-1）=小数小数小数小数 倍数倍数=大数大数或或 小数小数+两数之差两数之差=大数大数例题：六（1）班与六（2）班原有图书的本数一样多，后来，六（1）班又买来新书 100 本，六（2）班从本班原有书中取出 180 本送给三年级同学。这时，六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的 3 倍。求两班原有图书各多少本？例题分析：原来两个班的图书本数一样多，后来，六（1）班买进 100 本，六（2）班送出 180 本，这时，两个班相差 280 本。又知，这时六（1）班的图书是六（2）班所剩图

8、书的 3 倍，则两班图书的相差数应是六（2）班所剩图书的（31）倍，这样，六（2）所剩图书的本数即可求得。随之，原有图书本数也可以求出来了。计算：（1）六（2）班所剩图书多少本？解设六（2）班所剩 x 本书（180100）（31）依题意得（3-1）x=100+1802x=280=2802=140（本）x=140（2）两个班原有图书各多少本？所以 140+180=320（本）140180=320（本）答：两个班原有图书各 320 本。答：两个班原有图书各320 本。训练中心：1.第一粮仓存的小麦比第二粮仓多 96 吨。后来，2.大水池里现在有水 880 立方米，小水池里现在从两仓各运出小麦 30

9、 吨，所余小麦第一仓恰是第有水 200 立方米。计划往两水池里注入同样多的二仓的 3 倍。两仓原来各存小麦多少吨？水，使大水池的水量是小水池水量的3 倍。求两水池各应注入多少立方米的水？3.参加科技小组的人数，今年比去年多41 人，今年的人数比去年的3 倍少 35 人。两年各有多少人参加？四、植树问题1.植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。2.为使其更直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。专题分析专题分析+公式公式：一、在线段上的植树问题可以分为以下三种

10、情形。1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多 1，即：株数株数=段数段数+1=+1=全长全长 株距株距+1+1。2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：株数株数=段数段数=全长株距全长株距。3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：株数株数=段数段数1=1=全长全长 株距株距-1 1。4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数比要分的段数多1 再乘二，即：株数株数=（段数（段数+1+1）2 2。二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：株数株数=段数段数=全长株距全长株距。三、在正方形线路上植树，如果每个顶点

11、都要植树。则株数株数=（每边的株数（每边的株数1 1）边数边数。例题：1.长方形长方形场地：一个长 84 米，宽 54 米的长方形苹果园中，苹果树的株距是 2 米，行距是 3米这个苹果园共种苹果树多少棵？解法一：解法二：一行能种多少棵？842=42(棵)|这块地的面积是多少平方米？这块地能种苹果树多少行？543=18(行)8454=4536(平方米)这 块 地 共 种 苹 果 树 多 少 棵？一棵苹果树占地多少平方米？4218=756(棵)23=6(平方米)如果株距、行距的方向互换，结果相同：这块地能种苹果树多少棵？(843)(542)=2827=756(棵)45366=756(棵)2.直线直

12、线场地：在一条公路的两旁植树，每隔 3 米植一棵，植到头还剩 3 棵；每隔 2.5 米植一棵，植到头还缺少 37 棵，求这条公路的长度。解法一：（代数解法）公路长:【（205-3）/2-1】X3=300设一共有 x 棵树答:公路长度为 300 米【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5x=205解法二：（算术解法）思路：首先，我们在两边起点处各栽下一棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增加一个间距，为了简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3 米的间距植树时，最后剩下3 棵，也就是说植树的路线要比路长出3 个间距，33=9 米

13、，当按 2.5 米的间距植树时，最后还缺 37 棵树，也就是说植树的路线比路短了37 个间距，2.537=92.5 米，两次相差9+92.5=101.5 米，两次植树的间距相差是32.5=0.5 米，据此可以求出树的棵数：（不包括起点的2棵）101.50.5=203（个）知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了：3（2033）=600（米）或 2.5（203+37）=600（米）因为是双侧植树，所以路长为：6002=300（米）综合算式为：3（33+2.537）（32.5）32=300（米）或 2.5（33+2.537）（32.5）+372=300（米）（过程略）答：公路长度为 300 米。

14、3.圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120 米。如果在花坛周围每隔6 米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2 株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米解：根据棵数=全长间隔可求出栽丁香花的株数：1206=20（株）由于是在每相邻的 2 株丁香花之间栽 2 株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：220=40（株）由于 2 株丁香花之间的 2 株月季花是紧相邻的，而2 株丁香花之间的距离被2 株月季花分为 3 等份，因此紧相邻 2 株月季花之间距离为：63=2（米）答：可栽丁香花 20 株，可栽月季花 4

15、0 株，2 株紧相邻月季花之间相距 2 米。训练中心：1.在一条长 80 米的小路旁种松树，每隔16 米种一棵，两端都种，共可以种树多少棵？2.在相隔 50 米的两座楼房之间种桃树，每隔5 米种一棵，共可以种树多少棵？3.一个正方形鱼塘的周长是1200 米，在 4 个角上都种上树后，每条边上都有16 棵树，求每棵树之间相距多少米？4.小张要到金鹰大厦的 18 层去上班，一日因停电，他步行上楼。他从一层到6 层用了 100 秒，如果用同样的速度，走到 18 层，还需要多少秒？（两种解法）五、盈亏问题盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份数分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的

16、一种典型应用题。解题关键：解决盈亏问题，往往先用结果的相差数除以每份的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。所以在讲解时，应引导学生牢牢抓住两种分法上总的相差数和每次相差数三年级要求：掌握三类基本题型及解题思路和方法四年级要求：掌握三类题型的变化题型的转化思路和转化方法（讲解时注意运用对比例子，对比引导学生进行条件转换）公式：（盈（盈+亏）亏）两次分配量之差两次分配量之差=参加分配的份数参加分配的份数（大盈（大盈-小盈）小盈）两次分配量之差两次分配量之差=参加分配的份数参加分配的份数（大亏（大亏-小亏）小亏）两次分配量之差两次分配量之差=参加分配的份数参加分配的份数基本题型展示：1.第

17、一类：一盈一亏第一类：一盈一亏例 1：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分 3 块，则多出 16 块饼干；如果每人分 5 块，那么就缺 4 块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？分析：依题中条件，我们可知：或可用方程解：设共有饼干x 块第一种分法：每人 3 块，还剩 16 块则依题意得（x-16）3=（x+4）5第二种分法：每人 5 块，还少 4 块等价于（x-16）5=（x+4）3我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分去括号5x-3x=80+12法每人多分了 2 块，所以不仅把那剩下的 16 块分得2x=92x=46完，还少 4 块，总数上，第二次比第一次多所以幼儿园的小朋友有（x-16

18、）3=（46-16）16+4=20 块，换句话说：每人多分 2 块，就得多分3=1020 块，我们就可以算出有多少人了，202=10答：有 10 个小朋友，46 块饼干。（人），那总饼干数就是：103+16=46（块）或 105-4=46（块）2.第二类：二次都是盈第二类：二次都是盈例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分 3 块，则多出 16 块饼干；如果每人分 5 块，那么就多 4 块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？分析：依题中条件，我们可知：干数就是：63+16=34 或 65+4=34第一种分法：每人 3 块，还剩 16 块或方程解：设小朋友有 x 人第二种分法：每人 5 块，还多

19、 4 块则依题意得 3x+16=5x+42x=12我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分x=6法每人多分了 2 块，所以饼干由剩下 16 块变成只所以饼干有 3x+16=36+16=34剩下 4 块，总数上，第二次比第一次多16-4=12或 5x+4=56+4=34块，换句话说：每人多分 2 块，就得多分 12 块，答：幼儿园有 6 位小朋友，34 块饼干。我们就可以算出有多少人了，122=6 人，那总饼3.第三类：二次都是亏第三类：二次都是亏例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分 3 块，则少 4 块饼干；如果每人分 5 块，那么就少 16 块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？分析：

20、依题中条件，我们可知：或方程解：设有 x 个小朋友第一种分法：每人 3 块，还少 4 块则依题意得 3x-4=5x-16第二种分法：每人 5 块，还少 16 块2x=12我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分x=6法每人多分了 2 块，所以饼干由少 4 块变成了少所以饼干有 3x-4=36-4=1416 块，总数上，第二次比第一次多 16-4=12 块，或 5x-16=56-16=14换句话说：每人多分 2 块，就得多分 12 块，我们答：幼儿园有 6 个小朋友，14 块饼干。就可以算出有多少人了，122=6 人，那总饼干数就是：63-4=14 或 65-16=14训练中心：1.某校同学排

21、队上操.如果每行站 9 人，则多 37人；如果每行站 12 人，则少 20 人.一共有多少学生？（一盈一亏）2.小明计划用若干天读完一本书，如果每天读18页，还剩 120 页；如果每天读 22 页，还剩下 100页；小明计划几天读完？这本书共多少页？（二次都是亏）3.同学们种树，如果每人种2 棵，还有 18 棵没种；如果每人种 5 棵，还有 3 棵没种。问有多少学生共种多少棵树？（二次都是盈）4.（语言上的变化）小强由家里到学校，如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟走 60 米，就可以比上课时间提前2 分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？（1500）5.同学去划船，如果

22、每只船坐4 人，则少 1 只船；如果每只船坐 6 人，则多出 4 只船，问同学们共多少人？租了几只船？6.（条件上的变化）学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦 4 块，其余各擦 5 块，则余 12 块；若每人擦 6 块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？7.老师给学生分苹果，如果每人分 2 个，还多 30个，如果其中的 12 位小朋友每人分 3 个，剩下的每人分 4 个，正好分完，一共有多少个小朋友？有多少个苹果？六、相遇问题相遇问题是学生在掌握行程问题基本数量关系的基础上，理解相遇问题的运动特点、数量关系和解题思路，并能解答简单的相关问题。一般分为两个步骤：已知两物体的运动速

23、度和相遇时间，求路程。一直两物体的运动速度和路程，求相遇时间。要求用方程解决相遇问题中求相遇时间的问题。旧知识复习：小华每分钟走65 米，走了 4 分钟，一共走了多少米？答案：654=260（米）这样列式的原因：路程=速度时间公式：路程和路程和=速度和速度和 相遇时间相遇时间速度和速度和=路程和路程和 相遇时间相遇时间相遇时间相遇时间=路程和路程和 速度和速度和例题展示：1已知小明每分钟走 70 米，小丽每分钟走 56 米，一天他们在路的两端同时出发，经过半小时后两人相遇，问这条路多长？解题思路：因为速度速度 时间时间=路程路程，同时在两端出算术解得（70+56）30=12630发到相遇的小明

24、和小丽所用时间为半小时（即30=3780（米）分钟），从题意中看出小明和小丽走的路程相加答：这条公路一共 3780 米就是这条公路的长度。所以：2甲乙两人分别从相距20 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6 千米，乙每小时走 4 千米，两人几小时后相遇？分析：相遇时间=路程和速度和或方程解 设两人 x 小时后相遇20（6+4）依题意得（6+4）x=20=201010 x=20 x=2=2（小时）答：两人 2 小时后相遇。答：两人 2 小时后相遇。3甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲每小时行 48 千米，乙每小时行 42 千米，两车在离中点 18 千米处相遇，求 AB 两地间的

25、距离？分析：“两车在离中点 18 千米处相遇”，由于甲的速度更快，说明他们相遇时，甲过了中点18 千米，而乙离中点 18 千米，那甲比乙多走了18+18=36 千米，一小时甲比乙多走48-42=6 千米，我们就可以算出相遇时间：366=6 小时，再依公式路程和=速度和相遇时间=（48+42）6=540 千米或可方程解 设经过 x 小时后甲、乙相遇依题意得（48-42）x=1826x=36x=6所以 AB 两地相距（48+42）6=540（米）答 AB 两地的距离是 540 米。4甲乙两人同时从 A 到 B 地，甲每分钟行 250 米米，乙每分钟行 90 米米，甲到达 B 地后立即返回 A 地，

26、在离 B 地 1200 米米处与乙相遇，A、B 两地相距多少千米千米？分析：画图，从图中我们可以知道，甲比乙多走了2 个 1200，甲每分钟比乙多走 250-90=160 米，我们就可以求出总共走了多少时间：21200160=15 分钟，那么 A、B 两地相距：25015-1200=2550 米如图所示：AB也可设 两人共走了 x 分钟甲：依题意得（250-90）x=12002乙：x=15距离1200米相遇所以 25015-1200=2550 或 9015+1200=2550（米）=2.55(=2.55(千米千米)答：AB 两地相距 2.55 千米。训练中心：1从北京到沈阳的铁路长 738 千

27、米两列火车从两地同时相对开出，北京开出的火车，平均每小时行59千米；沈阳开出的火车，平均每小时行64 千米两车开出后几小时相遇？2甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行54 千米，乙车每小时行 53 千米，经过 5 小时相遇，两地相距多远？3两个工程队合开一条 670 米的隧道，同时各从一端开凿第一队每天开 12.6 米，第二队每天开 14.2米这个隧道要用多少天才能打通？打通时两队各开凿多少米？4甲乙两人同时从相距 1395 米的两地相对而行，9 分钟相遇，已知甲每小时走 69 米，乙每分钟走多少米？.5甲乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每小时行 10 千米，两人在距

28、中点 5 千米处相遇，求两地间的距离6甲乙两人同时从 A 到 B 地，甲每分钟行 250 米，乙每分钟行 90 米，甲到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B 地 3200 米处与乙相遇，A、B 两地相距多少千米？七、追及问题两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。公式：速度差（也叫追及距离）速度差（也叫追及距离）追及时间追及时间=追及路程追及路程/追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间追及时间追追及及时时

29、间间追追及及路路程程（快快速速慢慢速速）/追追及及路路程程 速速度度差差=追追及及时时间间(同同向向追追及及)速度差速度差=追及路程追及路程 追及时间追及时间【上面两条公式中任选一条记住】例题：1.好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解：（1）劣马先走 12 天能走多少千米？（追及也可方程解：设好马 x 天能追上劣马路程）已知 速度差追及时间=追及路程7512900（千米）依题意得：（120-75）x=7512（2）好马几天追上劣马？（追及时间）45x=900 x=20900（12075）20（天）答：好马 20 天能追上劣马。答：好马 2

30、0 天能追上劣马。2小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解析：小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，方程解：设小亮的速度是每秒x 米即 200 米，此时小亮跑了（500200）米，要知已知小明的速度是 20040=5（米）小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500 米所依题意得（5-x）40（500200）=200用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500（5-x）100=200米用40（500200）秒，则可求出小亮的速5-x=2度。x=3算术解：（5002

31、00）40（500200）答：小亮的速度是每秒 3 米。3001003（米）答：小亮的速度是每秒3 米。3一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解析：这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间。这个时间为162（4840）4（小时）所以两站间的距离为（4840）4352（千米）答：甲乙两站的距离是 352 千米。（可用相遇问题的思路解题）或方程解如下：解：设经过 x 小时客车和货车相遇依题意得（48-40

32、）x=1628x=32x=4所以两站间的距离为（48+40）x=884=352答：甲乙两站的距离是 352 千米。训练中心：1某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1 米，队尾的王老师以每秒2.5 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 秒，求队伍的长度是多少米？2两列火车从甲乙两地同时相对开出,4 小时后在距中点 48 千米的地方相遇，一直慢车是快车的5/7（慢车：快车=5:7），他们的速度分别是？甲乙相距？.3兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？4

33、.如图，在 400 米环形跑道上，A、B 两点相距 100 米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒 5 米，乙每秒 4 米，每人跑 100 米都要停 10 秒，那么甲追上乙需要多少秒？5孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。6一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙

34、两站的距离。八、流水问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。公式：顺水行程顺水行程=（船速（船速 水速）顺水时间水速）顺水时间逆水行程逆水行程=（船速水速）逆水时间（船速水速）逆水时间顺水速度顺水速度=船速船速+水速水速逆水速度逆水速度=船速水速船速水速水速：（顺水速度逆水速度）2水速：（顺水速度逆水速度）2静水速度（船速静水速度（船速)=)=（顺水速度（顺水速度+逆水速度）2逆水速度）2（注：船速也叫静水速度）例题展示：1.一条船在静水中每小时划行 4 千米，一条河的水流速度是 1.5 千米。甲乙

35、两镇分别在这条河的上下游，相距 11千米。这条船从甲镇到乙镇需要几小时？从乙镇到甲镇需要几小时？分析与解答：从甲镇到乙镇是顺水行船，已知船在静水中的划行速度是每小时 4 千米，水流速度是 1.5 千米，由此可知船在顺水中的速度是4+1.5=5.5 千米，又知道甲乙两镇的距离是11 千米，故从甲镇到乙镇需行船115.5=2 小时。从乙镇到甲镇是逆水行船，已知船在静水中的划行速度是每小时4 千米，水流速度是1.5 千米，由此可知船在逆水中的速度是 4-1.5=2.5 千米，又知道甲乙两镇的距离是 11 千米，故从甲镇到乙镇需行船 112.5=4.4 小时。所以：（1）从甲镇到乙镇需要多少小时？11

36、（4+1.5）=115.5=2（小时）（2）从乙镇到甲镇需要多少小时？11（4-1.5）=112.5=4.4（小时）答：这条船从甲镇到乙镇需要2 小时，从乙镇到甲镇需要4.4 小时。2甲乙两地相距 360 千米。某船从甲地到乙地顺水 18 小时到达，一直水流每小时 4 千米，从甲地返回乙地需要多少小时？分析与解答：综合列式：360（36018-42）从条件已知甲乙的两地是 360 千米，顺水行驶的=360（20-8）时间是 18 小时，由此可求出顺水速度是：=3601236018=20 千米，从条件还可知道水流速度是 4=30（小时）千米，由此可求出逆水速度是 20-42=12 千米，答：从乙

37、地返回甲地需要30 小时。即可求出逆水行驶时间。训练中心：.1一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。2两码头相距 108 千米，一艘客轮顺水行完全程逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千需要 10 小时，逆水行完全程需要 12 小时。求这米。求甲乙两地相距多少千米？艘客轮的静水速度和水流速度。3AB 两港相距 120 千米，甲乙两船从 AB 两港相向而行 6 小时后相遇。甲船顺水航行，甲船比乙船多行 48 千米，水速每小时 1.5 千米。求甲乙两船的静水速度。九、浓度问题在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（

38、水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。公式：溶液的重量溶剂的重量溶质的重量溶液的重量溶剂的重量溶质的重量浓度溶质的重量浓度溶质的重量 溶液的重量溶液的重量 100%100%溶质的重量溶质的重量=溶液的重量浓度溶液的重量浓度溶液的重量溶液的重量=溶质的重量浓度溶质的重量浓度例题展示：1爷爷有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀释成 10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？解：（1）需要加水多少克？5016%10%5030（克）（2）

39、需要加糖多少克？50（116%）（130%）50 10（克）答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。2要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？解 析：假设全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600（30%25%）30（克）这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量 600 克不变的情况下，用 15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100 克，就会减少糖 100（30%15%）15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100（3015）200（克）由此

40、可知，需要 15%的溶液 200 克；需要 30%的溶液 600200400（克）答：需要 15%的糖水溶液 200 克，需要 30%的糖水 400 克。训练中心：1有浓度为 7的盐水 600 克，要使盐水的浓度加大到10，需要加盐多少克？2有含糖 6的糖水 900 克，要使其含糖量加大到 10，需加糖多少克？（要用两种方法解决这个问题。）3甲容器有浓度为 12%的盐水 500 克，乙容器有 500 克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。4有 40 克食盐溶液，若加入 2

41、00 千克水，它的浓度就减少10%，这种溶液原来的浓度是多少？十、利润与折扣问题工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。利润问题也是一种常见的百分数应用题，商店出售商品总是期望获得利润，一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价期望利润率。公式：利润利润=售出价售出价-成本成本利润率利润率=利润利润 成本成本 100%=100%=（售出价（售出价 成本成本-1-1）100%100%涨跌金额涨跌金额=本金本金 涨跌百分比涨跌百分比折扣折扣=实际售价实际售价

42、原售价原售价 100%100%（折扣（折扣1 1）利息利息=本金本金 利率利率 时间时间税后利息税后利息=本金本金 利率利率 时间时间（1-20%1-20%）例题展示：1某商店将某种 DVD 按进价提高 35%后，打出“九折优惠酬宾，外送 50 元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利 208 元，那么每台 DVD 的进价是多少元？（B 级）解：定价是进价的 1+35%打九折后，实际售价是进价的135%90%=121.5%每台 DVD 的实际盈利：208+50=258（元）每台 DVD 的进价 258（121.5%-1）=1200（元）答：每台 DVD 的进价是 1200 元2一种服装，甲店比乙店

43、的进货便宜 10%甲店按照 20%的利润定价，乙店按照 15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜 11.2元，问甲店的进货价是多少元？（B 级）解析：设乙店的成本价为1，则（1+15%）是乙店的定价；（1-10%）（1+20%）是甲店的定价（1+15%）-（1-10%）（1+20%）=7%11.27%=160（元）160（1-10%）=144（元）答：甲店的进货价为 144 元。3原来将一批水果按 100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的 40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30

44、.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？（B 级）.要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解：设第二次降价是按 x%的利润定价的。（分析：38%40%是第一次降价所获得的利润的百分比，后面 x%（1-40%）同理，两者相加即为结果实际获得的总利润与原来利润的百分比）38%40%x%（1-40%）=30.2%x%=25%（1+25%）（1+100%）=62.5%答：第二次降价后的价格是原来价格的62.5%训练中心：1某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱，与按每个 11 元的利润卖出 12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元

45、？2租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金 7000 元。这些货物原计划要销售 3 个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了 1000 元。问：每千克货物的价格降低了多少元？3商店进了一批钢笔，用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖出 15 支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？4商店以每双 13 元购进一批凉鞋，售价为 14.8 元，卖到还剩 5 双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利 88 元。问：这批凉鞋共多少双？训练中心 答案：一、去括号，得4x+x+4x=5499x=5491.小兰语文 98，数学 94X=

46、612.张娟擦 11 块，陈凡擦 20 块玻璃所 以，甲 数2x-2=261-2=120乙 数3.乙筐桔子有 30 千克2x+2=261+2=124丁数 4x=461=2444.弟弟 24 岁答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、2445.解设：足球有 x 个，则篮球 2x 个，排球有3.解设第二条绳子长 x 米，则第一条绳子 x+7（x-5）个米，第三条绳子长 x-8 米依题意得：x+2x+（x-5）=83依题意得（x+7）+x+（x-8）=954x-5=83去括号，得3x-1=954x=88x=223x=96x=32篮球：2x=222=44所以 x+7=32+7=39x-8=32-

47、8=24排球：x-5=22-5=17答：第一、二、三条绳子依次是 39 米，32 米，答：王老师买了篮球 44 个，足球 22 个，排球24 米17 个。4.解设丙粮仓的粮食总量有 x 吨，则乙粮仓有6.解：已知从一厂调入二厂 32 人后，一厂人数2x 吨，甲粮仓有 32x+1=6x+1 吨还比二厂多48 人，则一厂原来人数比二厂多依题意得（6x+1）+2x+x=10932+48=80 人去括号，得9x+1=109设一厂原有 x 名工人，则二厂原有工人（x-80）9x=108人x=12依题意得x+（x-80）=864所以 甲粮仓-丙粮仓=6x+1-x=5x+1=512+1=612x=944答：

48、甲粮仓比乙粮仓多存粮61 吨。x=472三、所以x-80=3921.计算：（1）第二仓余下小麦多少吨？答：一厂原来有工人 472 人，二厂原有工人 39296（31）=48（吨）人。（2）第二仓原存小麦多少吨？二、48+30=78（吨）1.解设第二堆糖果共有x 颗，则第一堆有3x（3）第一仓原存小麦多少吨？颗，第三堆有（2x-3）颗78+96=174（吨）依题意得3x+x+（2x-3）=105答：第一仓原存小麦174 吨，第二仓原存小麦去括号，得6x-3=10578 吨6x=108x=18或 解设第二仓余下小麦 x 吨，则第二仓原存小所以 2x-3=218-3=33麦 x+30 吨，第一仓原存

49、小麦（x+30）+96 吨答：第三堆糖果有 33 颗。依题意得（3-1）x=962.解说：甲+2=乙-2=2丙=丁2，可以把其中三2x=96x=48个数值转化成由另一个数值表示的形式，这道例所以 x+30=48+30=78（x+30）+96=174题实际上可将甲、乙、丁转换成由丙表示的方程答：第一仓原存小麦174 吨，第二仓原存小麦式，从而求解。78 吨解 设 丙 为 x，则 甲 数 是（2x-2），乙 数 是2.计算：（1）注入水以后小水池的水量：（2x+2），丁数是 4x，（880-200）（3-1）依题意得（2x-2）+（2x+2）+x+4x=549=6802=340（立方米）注入的水量

50、：340-200=140（立方米）答：两水池各应注入 140 立方米的水。或解设注入水后的小水池的水量为x 立方米依题意得（3-1）x=880-200 x=340所以 340-200=140（立方米）答：两水池各应注入 140 立方米的水。3.解设去年参加技术小组的人数为 x，则今年的人数为（3x-35）依题意得（3-1）x-35=412x=76x=38所以 3x-35=338-35=79答：去年有 38 人参加，今年有 79 人参加。四、1.解：80 米中包含了多少段？80 16=5（段）共可以种树多少棵？5+1=6（棵）答：共可以种树 6 棵.或 设一共可以种树 x 棵（x-1）16=80