一元二次方程的四种解法.pdf

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1、页眉内容页眉内容一元二次方程的解法一元二次方程的解法（1 1）一元二次方程的概念）一元二次方程的概念一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:(1)(2)(3)2、一元二次方程的一般形式:二、典型例题二、典型例题例 1：判断下列方程是否为一元二次方程：x2 x 1x21x2 2x 3y 0 x23 (x 1)(x 4)ax2bx c 0mx2 0（是不为零常数）例 2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)x210 x9000(3)2x215 0(2)5x210 x2.2 0(4)x23x 0(5)(x 2)2 3(6)(x 3)(x 3)0例

2、3：当m_时，关于x的方程（m+2）x|m|+3mx+1=0 是一元二次方程。三、课堂练习三、课堂练习1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（）A.3(x 1)2 2(x 1)B.11 2 0 x2yC.ax2bx c 0D.x2 2x x212、用换元法解方程(x2x)2(x2x)6 时，如果设x2xy，那么原方程可变形为（）A、y2y60C、y2y60B、y2y60D、y2y60页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容3、已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25,以这两数为根的一元二次方程是_.24、已知关于 x 的一元二次方程x(k 1)x 6 0的一个根是 2，求 k 的值四、课后

3、练习四、课后练习1.将方程3 x(x 1)5(x 2)化成一元二次方程的一般形式，得；其中二次项系数是；一次项系数是；常数项是.2.方 程(k 4)x2 5x 2k 3 0是 一 元 二 次 方 程，则k就 满 足 的 条 件是.3.已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个根，则代数式 m2-m=_4.在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（）（A）x2130 x 1400 0（B）x2 65 x 350 0（C）x2130 x 1400 0（D）x2 65x 3

4、50 02(m 3)x nx m 0，在什么条件下是一元二次方程？在什么x5关于 的方程条件下是一元一次方程？（2 2）直接开方法直接开方法一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾1、了解形如 x2=a(a0)或(xh)2=k(k0)的一元二次方程的解法 直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2 n(n 0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容【复习回顾】1.方 程(k 4)x2 5x 2k 3 0是 一 元 二 次 方 程，则k就 满 足

5、 的 条 件是.2.若（a+1）x2+(x-1)2=0 二次项的系数为-2,则 a=二、典型例题二、典型例题例 1：解下列方程：（1）x22（2）4x210例 2、解下列方程：(x 1)2 2(x 1)2 4 012(3 x)23 0推荐例 3：用直接开平方法解下列方程（1）12223x115 0（2）x3 42x1（3）x2 2ax a2b 04三、课堂练习三、课堂练习1.若方程（x-4）2=m-6 可用直接开平方法解，则 m 的取值范围是（）Am6BmoCm6Dm=62.方程（1-x）2=2 的根是（）A.-1、3B.1、-3C.1-2、1+2D.2-1、2+13.方程(3x1)2=5 的

6、解是。4.用直接开平方法解下列方程：(1)4x2=9；(2)（x+2）2=16页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容(3)(2x-1)2=3;(4)3(2x+1)2=12四、课后练习四、课后练习1、4 的平方根是_，方程x2 4的解是_.2、方程x11的根是_，方程4x11的根是_.223、当x取_ _时，代数式x25的值是 2；若x281 0，则x_.4、关于x的方程3x2 k 1 0若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是（）A、k1B、k1C、k1D、k15、解下列方程：212（1）x2 0（2）5x4 639（3）x5x5 7（4）26 x128 0（5）0.5y26、已知一个等腰三角形

7、的两边是方程4 (x 10)2 0的两根，求等腰三角形的面积222 0（6）x1 4x232页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容（3 3）配方法配方法一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（xh）2=k（n0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、填空：（1）x2+6x+=(x+)2；(2)x2-2x+=(x-)2；(3)x2-5x+=(x-)2；(4)x2+x+=(x+)2；(5)x2+px+=(x+)2；3、将方程 x2+2x-3=0 化为(x+h)2=k 的形式为；小结 1：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两

8、边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结 2：当一元二次方程二次项系数不为 1 时，用配方法解方程的步骤：二次项系数化为 1；移项；直接开平方法求解二、典型例题二、典型例题例:将下列各进行配方：2x26x_x210 x_（x_）（x_）2x225x_（x_）2x2+bx_（x_）4例:解下列方程：（1）x2 4x 3 0（2）x23x 1 0推荐例 3：用配方法解下列关于x的方程：（1）x110 x19 0（2）x26ax9a24b2 02页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容例 4：例 1 解方程：2x25x 2 03x2 4x 1 0例 5、一个小球

9、垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离 h（m）与抛出后小球运动的时间 t(s)有如下关系：h 24t 5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是 16m？推荐例 6：求证：对任意实数x，代数式x2 4x 4.5的值恒大于零。三、课堂练习三、课堂练习1.完成下列配方过程：（1）x2+8x+=(x+)2（2）x2-x+=(x-)2（3）x2+4=(x+)2（4）x2-+2.若 x2-mx+9=（x-）24497=(x+)2，则 m 的值为（）.255771414A.B.-C.D.-55553.用配方法解下列方程：(1)x2-6x-16=0；(2)x2+3x-2=0；22(3)x2+23x-4=0；

10、(4)x2-x-=0.334.已 知 直 角 三 角 形 的 三 边 a、b、c，且 两 直 角 边 a、b 满 足 等 式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜边 c 的值。页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容5.用配方法解方程 2y2-5y=1 时，方程的两边都应加上（）A.6.a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)27.用配方法解下列方程：(1)2x2+1=3x；(2)3y2-y-2=0；(3)3x2-4x+1=0；(4)2x2=3-7x.8.若 4x2-(4m-1)x+m2+1 是一个完全平方式，求 m.5555B.C.D.24416四、课后练习四、课后练习1、用

11、配方法解下列方程：（1）x26x16 0（2）x23x2 0211（3）x 7 6x（4）x2x 045、把方程x23x p 0配方，得到xm21.2（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容3、用配方法解方程x2 px q 0(p2 4q 0)4、用配方法解下列方程：（1）x215 10 x(2)3x212x(3)4212210(4)2x2 7x 2 0,(5)3x22x30(6)2x2 4x 5 02、你能用配方法求：当为何值时，代数式 3x2 6x 5有最大值？1 03（4 4）公式法公式法一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾1、把方程4-x2=3x

12、 化为 ax2+bx+c=0(a0)形式为，b2-4ac=.2、方程 x2+x-1=0 的根是。3、方程 3x2+2=4x 的判别式 b2-4ac=，所以方程的根的情况是.4、一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是（）页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定总结：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的情况可由来判断：当 b2-4ac0 时，当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac0 时，二、典型例题二、典型例题例 1：解下列方程：(1)x2 3x 2 0;(2)2x27x 4变式：1、解方程：(1)2x(x

13、1)3;(2)x21 x(2 5 x).例 2：解下列方程：(1)x2 x 1 0;(2)x2 2 3x 3 0;(3)2x2 2x 1 0.例 3：不解方程，判别下列方程根的情况.（1）2x2+3x+4=0；（2）2x2-5=6x；（3）4x(x-1)-3=0；（4）x2+5=25x.页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容题变：1、试说明关于 x 的方程 x2+(2k+1)x+k-1=0 必定有两个不相等的实数根.推荐例 4：当 k 为何值时，关于 x 的方程 kx2（2k1）xk3=0 有两个不相等的实数根？题变：1、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实

14、数根，求的取值范围.三、随堂练习三、随堂练习1.把方程(2x-1)(x+3)=x2+1 化为 ax2+bx+c=0 的形式，b2-4ac=，方程的根是.2.方程(x-1)(x-3)=2 的根是（）A.x1=1,x2=3B.x=223C.x=23D.x=-2233.关于 x 的一元二次方程 x2+4x-m=0 的一个根是5-2，则m=，方程的另一个根是.4.若最简二次根式m27和8m 2是同类二次根式，则的值为（）A.9 或-1B.-1C.1D.95.用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.页脚内容页脚内

15、容15页眉内容页眉内容6.方程(2x+1)(9x+8)=1 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定7.关于 x 的方程 x2+2kx+1=0 有两个不相等的实数根，则 k()A.k-1B.k-1C.k1D.k08.要使关于 x 的方程 kx2-4x+3=0 有实数根，则 k 应满足的条件是（）Ak4/3B.k4/3C.k4/3D.k4/39.已知方程 x2-mx+n=0 有两个相等的实数根，那么符合条件的一组 m，n 的值可以是 m=,n=.10.不解方程，判断下列方程根的情况：（1）3x2x1=3x（2）5（x21）=7x（3）3x243 3x

16、=411.解下列方程：(1)x2 6x 0;(2)x212x 27 0(3)2y2 y 5 0;(4)x2 6x 16 0四、课后练习四、课后练习1.用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的 b2-4ac 的值是（）A.16B.4C.32D.642.用公式法解方程 x2=-8x-15，其中b2-4ac=，方程的根是.。3.用公式法解方程 3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A.x1.2=12 144 1212 144 12B.x1.2=22页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容C.x1.2=12 144 1212 144 48D.x1.2=264.三角形两边长分别是 3 和 5，第三

17、边的长是方程 3x2-10 x-8=0 的根，则此三角形是三角形.x2 x 25.如果分式的值为零，那么 x=.x 16.用公式法解下列方程：(1)3y2-y-2=0(2)2x2+1=3x(3)4x2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)7.下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=08.方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac0B.b2-4ac0C.b2-4ac0D.b2-4ac09.如果方程 9x2-(k+6)x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么 k

18、=.（4 4）因式分解法因式分解法一、考点、热点回顾一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x 0(2)(x-3)2(x 3)0(3)x 1 2(x 1)211(4)x29 0页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：.将方程的右边化为.将方程左边因式分解.把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.二、典型例题二、典型例题例 1：用因式分解法解方程:(1)x2 4x(2)x 3 x(x 3)0例 2：解方程(2x 1)2 x2 0三、随堂练习三、随堂练习1.如果方程 x2-3x+

19、c=0 有一个根为 1，那么 c=，该方程的另一根为，该方程可化为（x-1）（x）=02.方程 x2=x 的根为（）A.x=0B.x1=0,x2=1 1C.x1=0,x2=-1-1D.x1=0,x2=2 23.用因式分解法解下列方程：（1）（x+2）2=3x+6；（2）（3x+2）2-4x2=0；（3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)；（4）2（x-3）2+(3x-x2)=0.4.用适当方法解下列方程：（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3；（4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.页脚内容页脚内容15页眉内容页眉内容四、课后训

20、练四、课后训练1 下面哪个方程用因式分解法解比较简便(1)x2 2x 5 0(2)(2x 1)21 0.2.已知方程 4x2-3x=0，下列说法正确的是（）3A.只有一个根 x=B.只有一个根 x=0433C.有两个根 x1=0,x2=D.有两个根 x1=0,x2=-443.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）A.x=1 或 x=-2B.必须 x=1C.x=2 或 x=-1D.必须 x=1 且 x=-24.方程（x+1）2=x+1 的正确解法是（）A.化为 x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为 x2+3x+2=0D.化为 x+1=05.解方程 x（x+1）=2 时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x1=,x2=.6.用因式分解法解下列方程：（1）x2+16x=0（2）5x2-10 x=-5（3）x（x-3）+x-3=0（4）2(x-3)2=9-x27.用适当的方法解下列方程：（1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)(2)4x2-20 x+25=7(3)3x2-4x-1=0(4)x2+2x-4=0页脚内容页脚内容15