万有引力与航天--经典题型及解析.pdf

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1、一、求天体的质量(或密度)1根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由R2gMmmg=G2得M GR.式中 M、g、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径已知一名宇航员到达一个星球,在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为 G1,在 两极用弹簧秤测量该物体的重力为2?G2,经测量该星球的半径为 R,物体的质量为 m.求:该星球的质量MmG R2G2 G2M.设星球的质量为 M,物体在两极的重力等于万有引力,即RGm解得2根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引Mmv2422力提供，利用牛顿

2、第二定律得G2 m mr mr2rrT.若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度或线速度v，rv242r32r3可求得中心天体的质量为M GGGT2例题、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量 G是已知的）（）A.地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 rB.月球绕地球运行的周期 T 和地球的半径 rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离 rD.月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r例题、天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 4.7 倍，质量是地球的 25 倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4 小时，引力常量 G=

3、6.67101122,-Nm/kg,由此估算该行星的平均密度为（）3333 A.1.810 kg/m B.5.610 kg/m10 kg/m D.2.910 kg/m4343C.1.1二、人造地球卫星的运动参量及轨道半径的关系问题Mmv2422根据人造卫星的动力学关系G2 m mr mr2 marrTGMGM42r3GM可得v,T,a 32rGMrr第 1 页由此可得线速度 v 及轨道半径的平方根成反比；角速度及轨道半径的立方的平方根成反比，周期 T 及轨道半径的立方的平方根成正比；加速度 a 及轨道半径的平方成反比例 1、两颗人造卫星 A、B 绕地球做圆周运动，周期之比为TA:TB1:8，则

4、轨道半径之比和运动速率之比分别为（）A.RA:RB 4:1,vA:vB1:2 B.RA:RB 4:1,vA:vB 2:1C.RA:RB1:4,vA:vB 2:1 D.RA:RB1:4,vA:vB1:2例 2、如图 1 所示,a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是 R 和2R(R 为地球半 径).下列说法中正确的是()22 A.a、b 的线速度大小之比是1 B.a、b 的周期之比是126 C.a、b 的角速度大小之比是 34 D.a、b 的向心加速度大小之比是 94例 3、发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选

5、址的优点是，在赤道附近（）A地球的引力较大 B地球自转线速度较大 C重力加速度较大 D地球自转角速度较大。三、地球同步卫星问题卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）及地球的自转周期相同，这种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方向自西向东，运动周期为 23 小时 56 分（一般近似认为周期为24 小Mm42时），由G2 mr2得 人 造 地 球 同 步 卫 星 的 轨 道 半 径rTr 4.24104km，所以人造同步卫星离地面的高度为3.6104km,利Mmv2用G2 m可得它运行的线速度为 3.07 km/s.总之，不同的rr人造地球同步卫星的轨

6、道、线速度、角速度、周期和加速度等均是相同的不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引第 2 页力人造地球同步卫星相对地面来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨道例、关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（）A.已知它的质量是 1.24 t，若将它的质量增为 2.84 t，其同步轨道半径变为原来的 2 倍B.它的运行速度为 7.9 km/sC.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播D.它距地面的高度约为地球半径的 6 倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的136四、求天体的第一宇宙速度问题在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也

7、可以用类似的方法计算，即v GMRg，式中的 M、R、g 分别表示r某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度例 1、若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s，某行星的质量是地球质量的 6 倍，半径是地球的 1.5 倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（）A.2 km/s B.4 km/s C.16 km/sD.32 km/s例 2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是()A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上,卫星周期及卫星质量有关C.卫星受月球的引力及它到

8、月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力五、人造卫星的变轨问题第 3 页发射人造卫星要克服地球的引力做功，发射的越高，克服地球的引力做功越多，发射越困难所以在发射同步卫星时先让它进入一个较低的近地轨道（停泊轨道）A，然后通过点火加速，使之做离心运动，进入一个椭圆轨道（转移轨道）B，当卫星到达椭圆轨道的远地点时，再次通过点火加速使其做离心运动，进人同步轨道 C。例 1、如图所示，轨道 A 及轨道 B 相切于 P 点，轨道 B 及轨道 C 相切于 Q 点，以下说法正确的是（）A.卫星在轨道 B 上由 P 向 Q 运动的过程中速率越来越小 B.卫星在轨道 C 上经

9、过 Q 点的速率大于在轨道 A 上经过 P 点的速率 C.卫星在轨道 B 上经过 P 时的向心加速度及在轨道 A 上经过P 点的向心加速度是相等 D.卫星在轨道 B 上经过 Q 点时受到地球的引力小于经过 P 点的时受到地球的引力例 2.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后及变轨前相比（）A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 C.线速度变小 D.角速度变小六、人造天体的交会对接问题交会对接指两个航天器（宇宙飞船、航天飞机等）在太空轨道会合并连接成一个整体空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接所谓交会是指两个或两个以上的航天器

10、在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体例、关于航天飞机及空间站对接问题，下列说法正确的是（）A.先让航天飞机及空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接B.先让航天飞机及空间站在同一轨道上，然后让航天飞机减速，即可实现对接C.先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接第 4 页D.先让航天飞机进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接七、双星问题两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫做双星双星中两棵子星相互绕着旋转看作匀速圆周运动的向心力由两恒星间的万有引力提供由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是

11、相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度及两子星的轨道半径成正比例、两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（）A.它们做圆周运动的角速度之比及其质量成反比B.它们做圆周运动的线速度之比及其质量成反比 C.它们做圆周运动的半径及其质量成正比 D.它们做圆周运动的半径及其质量成反比八、地面上物体随地球自转做圆周运动问题因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合

12、力提供，受力分析如图所示实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图所示这个重力及地面对物体的支持力是一对平衡力在赤道上时这些力在一条直线上在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力学关系为Mm422G2 N mR ma向 mR2RT，式中 R、M、T 分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即 N=0，这时物体做圆周运动的向心力完全由地

13、球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件第 5 页是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转的天体也是适用的。例 1、地球赤道上的物体重力加速度为 g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的()aA.B.g a C.g a D.ggaaa例 2一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）41()23G31()2G31()24G1()2G答案及解析一.例：解析要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径已知地球绕太阳运行的周

14、期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以 A 项不对已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以 B 项不对已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G量，所以 C42r3M GT2Mm2 mr可以求出中心天体地球的质2rMm42项正确由G2 mr2rT求得地球质量为，所以 D 项正确第 6 页3.解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球Mm42R运动的向心力由万有引力提供G2 m2,可求出地球的质量.RT然后根据3M4R3,可得该行星的密度约为 2.910 kg/m4342r3二 例一解析由T GM可得卫星的运

15、动周期及轨道半径的1:8可得轨道半径RA:RB1:4，立方的平方根成正比，由TA:TBr然后再由v GM得线速度vA:vB 2:1。所以正确答案为 C 项例 2.CD例三解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上的物体的线速度最大，发射时较节能，因此 B 正确三解析同步卫星的轨道半径是一定的，及其质量的大小无关所以 A 项错误因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于 7.9 km/s，而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，所以同步卫星的线速度一定小于 7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有 3.07 km/s。所以 B 项错误因同步卫星的轨道

16、在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步轨道不可能过北京的正上方所以 C 项错误同步卫星的向心加速度a GMr2，物体在地面上的重力加速度g 1g。36GMR2，依题意r 6R，所a 四例Mmv21解析由G2 mRRGMR得v GM8 m/s，某行星的第一R宇宙速度为v 6GM16 m/s1.5R例 2 解析“嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚,故选项 A 错第 7 页误;在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全提供向心力,Mm42rr3则G2 m2,T 2,即卫星周期及卫星的质量无关,故GM

17、rT选项 B 错误;卫星所受月球的引力F GMm,故选项 C 正确;在r2绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小于受月球的引力,故选项D 错误.五例1 解析卫星在轨道 B 上由 P 到 Q 的过程中，远离地心，克服地球的引力做功，所以要做减速运动，所以速率是逐渐减小的，A 项正确卫星在 A、C 轨道上运行时，轨道半径不同，根据v GM可知轨道半径越大，线速度小，所以有vPr vQ,所以 B 项错误卫星在 A、B 两轨道上经过 P 点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，C 项正确、卫星在轨道 B 上经过 Q 点比经过 P 点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，所以 D 项

18、正确例2 A六解析航天飞机在轨道运行时，若突然对其加速时，地球对飞机的万有引力不足以提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天飞机就会做离心运动，所以选项 A、B、D 不可能实现对接。正确答案为 C 项。七解析两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等由v r得线速度及两子星圆周运动的半径是成正比的因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由GM1M2 M1r12可知M1r12 M2r22，所2L以它们的轨道半径及它们的质量是成反比的而线速度又及轨道半径成正比，所以线速度及它们的质量也是成反比的正确答案为 B、D 选项第 8 页八例 1解析设地球原来自转的角速度为1，用 F 表示地球对赤道上的物体的万有引力,N 表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得F N mR12 ma而物体受到的支持力及物体的重力是一对平衡力,所以有N G mg当当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为2，有F mR22联立、三式可得例 2赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有42GR3m23 mR，化简得T 2RT3G21g aa，所以答案为 B。第 9 页