中考数学二次函数部分压轴题及解答.pdf

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1、1 1、（20102010 湖南常德）湖南常德）如图 9,已知抛物线y 两点，与y轴交于 C 点（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段 AB 上的动点，作EF/AC 交 BC 于 F，连接 CE，当CEF 的面积是BEF面积的 2 倍时，求 E 点的坐标;（3）若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作y轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标y12x bxc与x轴交于 A(4，0)和 B(1，0)2AOC图 9Bx12【答案】解：（1）由二次函数y x bxc与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点可得：213(4

2、)24bc 0，b，2解得：2112bc 0c 2213故所求二次函数的解析式为y x2x222BF1BF1（2）SCEF=2 SBEF,.CF2BC3EF/AC,BEF BAC,BFE BCA,BEFBAC,BEBF15,得BE,BABC332故 E 点的坐标为(,0).3（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，2）若设直线AC的解1k ,2 0b,析式为y kxb，则有解得：20 4k bb 2故直线AC的解析式为y x21231若设P点的坐标为a,a2a 2，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线221AC的交点，则Q点的坐标为（a,a 2)则有：21311PQ(a2a

3、 2)(a2)a22a222212a 2 22即当a 2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（2，3）解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD AB 要使线段PQ最长，则只须APC的面积取大值时即可.设P点坐标为（x0,y0)，则有:SV ADP S梯形DPCOSVACOSV APC111ADPD(PDOC)ODOAOC222111x0y02y0y0 2x0422222y0 x042x2 123x0 x02 x04222204x0 x0 2 4即x0 2时，APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标为（2，3）2 2、（20102010 湖南郴州）湖南郴州）如图（1），抛物线y x x4与

4、y 轴交于点 A，E（0，b）为y 轴上一动点，过点 E 的直线y xb与抛物线交于点 B、C.（1）求点 A 的坐标；（2)当 b=0 时（如图（2），VABE与VACE的面积大小关系如何？当b 4时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b，使得VBOC是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，说明理由.2yyC CC CE EE EB BO OxO OxB BA AA A图（1）图（2）第 26 题【答案】（1）将 x=0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，4）（2）当 b0 时，直线为y x，由y xx1 2，y x2 x4解得yx2 21 2y2 2

5、所以 B、C 的坐标分别为（2，2），（2，2）S1242 4，S1V ABEV ACE242 4所以SV ABE SV ACE（利用同底等高说明面积相等亦可）当b 4时，仍有SV ABE SV ACE成立.理由如下由y xbx1b4x2 b4y x2 x4，解得，y1b4 by2 b4 b所以 B、C 的坐标分别为（b 4，b 4+b），（b 4，b 4+b），作BF y轴，CG y轴，垂足分别为 F、G，则BF CG b 4，而VABE和VACE是同底的两个三角形，所以SV ABE SV ACE.（3）存在这样的 b.因为BF CG,BEF CEG,BFE CGE 90所以VBEF VCE

6、G所以BE CE，即 E 为 BC 的中点所以当 OE=CE 时，VOBC为直角三角形因为GE b4 bb b 4 GC所以CE 2 b 4，而OE byGC CR RB BO OFQ Q所以2 b4 b，解得b1 4,b2 2，所以当 b4 或2 时，OBC 为直角三角形.3 3、（20102010 湖南怀化）湖南怀化）图 9 是二次函数y (x m)k的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).（1）求出图象与x轴的交点 A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB25SMAB,若存在，求出 P 点的4坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻

7、折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y xb(b 1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.图 92【答案】解;(1)因为 M(1,-4)是二次函数y (x m)k的顶点坐标，所以y (x 1)4 x 2x 3令x 2x 3 0,解之得x1 1,x2 3.A，B 两点的坐标分别为 A（-1，0），B（3,0）(2)在二次函数的图象上存在点P，使SPAB设p(x,y),则SPAB2 y 2225SMAB411AB y 2 y，又SMABAB 4 8,2258,即y 5.4二次函数的最小值为-4，y 5.当y 5时，x 2,或x 4.故 P 点坐标为（-2

8、，5）或（4，5）7 分（3）如图 1，当直线y xb(b 1)经过 A 点时，可得b 1.8 分图 1当直线y xb(b 1)经过 B 点时，可得b 3.由图可知符合题意的b的取值范围为3b14 4、（20102010 湖北鄂州）湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点 P 沿过 B 点且垂直于 AB 的射线 BM 运动，P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度，射线 BM 与 x 轴交与点 C（1）求点 C 的坐标（2）求过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式（3）若 P 点开始运动时，Q 点也同时从 C 出发，以 P 点相同的速度沿 x 轴负方向向点 A 运动，

9、t 秒后，以P、Q、C 为顶点的三角形为等腰三角形（点 P 到点 C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求 t 的值（4）在（2）（3）的条件下，当 CQ=CP 时，求直线 OP 与抛物线的交点坐标【答案】（1）点 C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A、B、C 三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A、B、C 三点的坐标代入得：1a 20 abc31232 cb 解得，抛物线的解析式是：y=x+x+22220 16a4bcc 2（3）设 P、Q 的运动时间为 t 秒，则 BP=t，CQ=t以 P、Q、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若 CQ=PC，如图所示，

10、则 PC=CQ=BP=t有 2t=BC=2 5，t=5若 PQ=QC，如图所示，过点 Q 作 DQBC 交 CB 于点 D，则有 CD=PD由ABCQDC，可得出 PD=CD=4010 52 54 5t，t 2 5 t，解得 t=11552 512 5PC，t=552若 PQ=PC，如图所示，过点 P 作 PEAC 交 AC 于点 E，则 EC=QE=（2 5-t），解得 t=32 5 4011（4）当 CQ=PC 时，由（3）知 t=5，点 P 的坐标是（2，1），直线 OP 的解析式是：y=1113x，因而有x=x2+x+2，即 x2-2x-4=0，解得 x=15，直线 OP 与抛物线的2

11、2221515）和（1-5，）22交点坐标为（1+5，5 5、（20102010 湖北省咸宁）湖北省咸宁）已知二次函数y x2bx c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（3m，0）（m 0）（1）证明4c 3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x 1，试求二次函数的最小值【答案】（1）证明：依题意，m，3m是一元二次方程x2bx c 0的两根根据一元二次方程根与系数的关系，得m(3m)b，m(3m)cb 2m，c 3m24c 3b212m2b（2）解：依题意，1，b 2233(2)2344y x22x 3(x 1)24由（1）得c b2二次函数的最小值为46 6、（20102010

12、湖北恩施自治州）湖北恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x bx c的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C，那么是否存在点 P，使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积./2【答案】解：（1）将 B、C 两点的坐

13、标代入得3bc 0c 3解得：2b 2c 3所以二次函数的表达式为：y x 2x 3（2）存在点 P，使四边形 POP C 为菱形设 P 点坐标为（x，x2 2x 3），PP 交 CO 于 E若四边形 POP C 是菱形，则有 PCPO连结 PP 则 PECO 于 E，/OE=EC=2y=322x 2x 3=332解得x1=2 102 10，x2=（不合题意，舍去）22P 点的坐标为（2 10，3）8 分22（3）过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，x2 2x 3），易得，直线 BC 的解析式为y x 3则 Q 点的坐标为（x，x3）.S四边形ABPC SABC SBPQ SCPQ111ABOC QPOE QPEB2221143(x23x)32223375=x 228当x 3时，四边形 ABPC 的面积最大2 3215，四边形 ABPC 的4此时 P 点的坐标为,面积的最大值为758