中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》 .pdf

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1、中考压轴题分类专题二线段和差的最值问题基本题型：基本题型：一、两线段和的最小值：一、两线段和的最小值：A/已知两点 A、B 与直线l，直线l上有一动点 P，求 PA+PB 的最小值。求出 A 点关于直线l的对称点A/，连接A/B交直线l于点 P，则点P/为所求最小值所取的点，A B PA PBmin。yAP本题可转化为求ABP的周长的最小值。拓展：已知两点 A、B 与两直线l1与l2，动点 P 在OxBl1上，动点 Q 在l2上，求 AP+PQ+QB 的最小值。求出 A 点关于直线l1的对称点A，再求出 B 点关于直线l2的对称点B，连接A B分别交直线l1于点P、交直线l2于点 Q，则 P、

2、Q 为所求最小值所取的点，/A BAP PQ QBmin。/本题可转化为求四边形APQB的周长的最小值。二、两线段差的最大值：二、两线段差的最大值：已知两点 A、B 与直线l（AB 与l不平行且在l同侧），动点 P 在l上，求PA PBmax。连接AB并延长交直线l于点 P，则点 P 为所求最大值时所取的点，AB PA PBmax所需知识点：所需知识点：一、一、中点公式：中点公式：已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则线段 PQ 的中点 M 为 x1 x2y1 y2,。22拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC的顶点分别为Ax1,y1,Bx2,y

3、2,Cx3,y3，则ABC的重心 G 为 x1 x2 x3y1 y2 y3,。33二、二、直线的斜率：直线的斜率：直线的斜率是指直线与x轴正方向所成角的正切值。0 90时，k tan 0；90 180时，0000k tan tan 1800 0。已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则直线 PQ 的斜率：kPQy1 y2。x1x2三、三、平面内两直线之间的位置关系：平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：l1:y k1x b1，l2:y k2x b2k1k2 0。（一）k1 k2（二）k1 k2 l1与l2相交。特别是k1k2 1 l1 l2。l1l2。b1 b2四、四、求已知点关于已知直线的

4、对称点：求已知点关于已知直线的对称点：/已知点Px0,y0与直线l:y kx bk 0，求点P关于直线l的对称点P。过点P作直线l的垂线l。则k/11/，又因为l过点P，将P代入l:y x b，既可求出l。将l与kky kx b/，既可求出垂足G点的坐标x1,y1。因为G为线段PP的中点，所以利用中点公式可求得Pl联立得1/y x bk为2x1 x0,2y1 y0。典型例题课后练习：典型例题课后练习：例一（例一（0909 深中四月月考）深中四月月考）：已知：抛物线y ax bxca 0与x轴交于 A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于2点 M，抛物线的顶点为P，且PB 2 5。（1）求 P

5、 点的坐标及抛物线的解析式；（2）求MOP的面积（O 为坐标原点）；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使MOQ的周长最短？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。（5）（2）（2）6M42A5B-2-4P-8例二例二（05 深圳中考题）已知ABC 是边长为 4 的等边三角形，BC 在 x 轴上，点D 为 BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与 y 轴的正半轴相交于点 E，点 B（-1，0），P 是 AC 上的一个动点（P 与点 A、C 不重合）（1）（2 分）求点 A、E 的坐标；（2）（2 分）若 y=6 32x bxc过点 A、E，求抛物线的解析式。7（3）（5 分）连结

6、 PB、PD，设 L 为PBD 的周长，当 L 取最小值时，求点 P 的坐标及 L 的最小值，并判断此时点 P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。yAEOBDCx例三例三(2009(2009 衢州卷衢州卷)：如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线y ax2上(1)求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2)平移抛物线y ax2，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，A

7、C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由Ay8642BDC-4-2O24x-2-4课后练习：课后练习：1、如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 P 是 BC 边的中垂线 MN 上任一点，则 PCPD的最小值为MADPCADPNMB第 14 题图BCN第 16 题图2、如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是_

8、3、先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分 10 分）【材料一】：如图，直线 l 上有A1、A2两个点，若在直线 l 上要确定一点 P，且使点 P 到点A1、A2的距离之和最小，很明显点 P 的位置可取在A1和A2之间的任何地方，此时距离之和为A1到A2的距离.如图，直线 l 上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线 l 上要确定一点 P，且使点 P 到点A1、A2、A3的距离之和最小，不难判断，点P 的位置应取在点A2处，此时距离之和为A1到A3的距离.(想一想，这是为什么？)不难知道，如果直线l 上依次有A1、A2、A3、A4四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P

9、应取在点A2和A3之间的任何地方；如果直线 l 上依次有A1、A2、A3、A4、A5五个点，则相应点 P 的位置应取在点A3的位置.A A1 1图A A2 2l lA A1 1A A2 2图A A3 3l l【材料二】：数轴上任意两点 a、b 之间的距离可以表示为ab.【问题一】：若已知直线 l 上依次有点A1、A2、A3、A25共 25 个点，要确定一点 P，使它到已知各点的距离之和最小，则点 P 的位置应取在；若已知直线 l 上依次有点A1、A2、A3、A50共 50 个点，要确定一点 P，使它到已知各点的距离之和最小，则点 P 的位置应取在.【问题二】：现要求x1 x x1 x2 x3

10、L x97的最小值，根据问题一的解答思路，可知当x 值为时，上式有最小值为.4、已知抛物线y ax bx(a0)的顶点在直线y 21x1上，且过点 A(4，0)2求这个抛物线的解析式；设抛物线的顶点为 P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形 OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.设点 C(1，3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使ADCD的值最大，请直接写出点D 的坐标.5、如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，-1），且 P（-1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值y BQAOxMP图 11yBQAOxMCP图 12