向量知识点及习题.pdf

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1、1 向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同方向相同的向量2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：a b a b a b运算性质：交换律：a b b a；结合律：a b c a b c；a 0 0a a坐标运算：设a x1,y1，b x2,y2，则a b x1 x2,y1 y23、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运

2、算：设a x1,y1，b x2,y2，则a b x1 x2,y1 y2设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1 x2,y1 y24、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aCaba b C Ca a；当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0运算律：aa；a a a；a b a b坐标运算：设a x,y，则a x,yx,y5、向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b ab b 0设a x1,y1，其中b 0，则当且仅当x1y2 x2y1 0时，向量a、b x2,y2，共线6、平面向量基本定

3、理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a 1e12e2（不共线不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当1 2时，点的坐标是8 平面向量的数量积：ab a b cosa 0,b 0,0 180零向量与任一向量的数量积为0 x1x2y1y2,时，就为中点公式。）（当111ab a b；性质：设a和b都是非零向量，则a b ab 0 当a与b同向时，2当a与b反向时，ab a b；aa a a或a aaab a b2运算律：ab b

4、 a；ab ab ab；a b c ac b c坐标运算：设两个非零向量a x1,y1，b x2,y2，则ab x1x2 y1y2若a x,y，则a x y，或a 222 x2 y2 设a x1,y1，b x2,y2，则a b x1x2 y1y2 0设a、b都 是 非 零 向 量，a x1,y1，b x2,y2，是a与b的 夹 角，则cosaba bx1x2 y1y2x y2121x y22221.下列各量中不是向量的是A浮力2下列命题正确的是B风速C位移（）D密度（）A向量AB与BA是两平行向量B若 a a、b b 都是单位向量,则 a a=b bC若AB=DC,则 A、B、C、D 四点构成

5、平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3在 ABC 中，D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点，点 M 是 ABC 的重心，则MA MB MC等于AOB4MDC4MF（）D4ME（）4已知向量a与b反向，下列等式中成立的是A|a|b|a b|C|a|b|a b|B|a b|a b|D|a|b|a b|5在 ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则（）AAB与AC共线CAD与AE相等BDE与CB共线DAD与BD相等6已知向量 e e1、e e2不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e e1+(2x-3y)e e2=6e e1+3e e2,则 x-y 的

6、值等于()A3B3C0D27.设 P（3，6），Q（5，2），R 的纵坐标为9，且 P、Q、R 三点共线，则 R 点的横坐标为()A9B6C9D68.已知a 3，b 2 3,ab=3，则a与b的夹角是C60()A150B1209.下列命题中，不正确的是Aa=a2D30()B(ab)=a(b)Da与b共线ab=a bC（ab）c=acbc10下列命题正确的个数是AB BA 0AB AC BCA1()0 AB 0（ab）c=a（bc）D4B2C311已知 P1（2，3），P2（1，4），且P1P 2 PP2，点 P 在线段 P1P2的延长线上，则 P点的坐标为A（()D（4，5）()5445，）B

7、（，）C（4，5）333312已知a 3，b 4，且（a+kb）（akb），则 k 等于A43B34C35D45二、填空题二、填空题13已知点 A(1,5)和向量a=2,3,若AB=3a,则点 B 的坐标为.14 若OA 3e1，OB 3e2，且 P、Q 是 AB 的两个三等分点，则OP，OQ.15若向量a=（2，x）与b=（x,8）共线且方向相反，则 x=.16已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是 120O,而a在e方向上的投影为2，则a.一、选择题1若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线，则有（）Aa 3,b 5Bab1 0C2ab 3Da2b 02设0 2，已知两个向量OP

8、1cos,sin，OP22sin,2cos，则向量P1P2长度的最大值是（）A.2B.3C.3 2D.2 33下列命题正确的是（）A单位向量都相等B若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量（）C|a b|a b|，则ab 0D若a0与b0是单位向量，则a0b014已知a,b均为单位向量，它们的夹角为600，那么a 3b（）A7B10C13D45已知向量a，b满足a 1,b 4,且ab 2,则a与b的夹角为A6B4C3D26若平面向量b与向量a (2,1)平行，且|b|2 5，则b()A(4,2)B(4,2)C(6,3)D(4,2)或(4,2)二、填空题1若|a|1,|b|2,c

9、 ab，且c a，则向量a与b的夹角为2已知向量a (1,2)，b (2,3)，c (4,1)，若用a和b表示c，则c=_。3 若a 1,b 2，a与b的夹角为600，若(3a5b)(mab)，则m的值为4若菱形ABCD的边长为2，则ABCBCD _。aa5若=(2,3)，b=(4,7)，则在b上的投影为_。6已知向量a (cos,sin)，向量b (3,1)，则2a b的最大值是7若A(1,2),B(2,3),C(2,5)，试判断则ABC 的形状_8若a (2,2)，则与a垂直的单位向量的坐标为_。9若向量|a|1,|b|2,|a b|2,则|ab|。10平面向量a,b中，已知a (4,3)

10、，b 1，且a b 5，则向量b _。1以下说法错误的是（）A零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2下列四式不能化简为ADAD的是（）（ABABCDCD）BCBC；（ADADMMB B）（）（BCBCCMCM）；）；ABCMMB BADADBMBM；DOCOCOAOACDCD；3已知a=（3，4），b=（5，12），a与b则夹角的余弦为（）A1363B65C565D134 已知 a a、b b 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么|a a+3b b|=（）A7B10 C13D45已知 ABCDEF 是正六边形，且ABa，AEb，

11、则BC（）（A）12 (a b)（B）(b a)（C）ab（D）(a b)1212126设a，b为不共线向量，ABa+2b,BC4ab,CD5a3b,则下列关系式中正确的是（）（A）ADBC（B）AD2BC（C）ADBC（D）AD2BC7设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1e2与e1ke2共线，则 k 的值是（）（A）1（B）1（C）1（D）任意不为零的实数8在四边形 ABCD 中，ABDC，且ACBD0，则四边形 ABCD 是（）（A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9已知 M（2，7）、N（10，2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN2PM，则 P 点的坐标为（）（A）（

12、14，16）（B）（22，11）（C）（6，1）（D）（2，4）10已知a（1，2），b（2，3），且 ka+b与akb垂直，则 k（）（A）12（B）2 1（C）2 3（D）3211、若平面向量a (1,x)和b (2x 3,x)互相平行，其中xR.则ab（）A.2或 0；B.2 5；C.2 或2 5；D.2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）220a 0a b b aa a(ab)c a(b c)ab ab(A)0 (B)1 (C)2 (D)313若AB (3,4),点的坐标为（，），则点的坐标为14已知a a (3,4),b b (2,3)，则2|a a|3a ab b 15

13、、已知向量a 3,b (1,2)，且a b，则a的坐标是_。16、ABC 中，A(1,2),B(3,1),重心 G(3,2)，则 C 点坐标为_。17如果向量与 b 的夹角为，那么我们称b 为向量与 b 的“向量积”，b是一个向量，它的长度|b|=|b|sin，如果|=4,|b|=3,b=-2，则|b|=_。18、（14 分)设平面三点 A（1，0），B（0，1），C（2，5）（1）试求向量 2ABAC的模；（2）试求向量AB与AC的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标19（12 分）已知向量=,求向量 b，使|b|=2|，并且与 b 的夹角为。20.（1313 分分)已知平面向量a (

14、3,1),b (,13).若存在不同时为零的实数k 和 t,使22x a(t23)b,y ka tb,且x y.（1）试求函数关系式 k=f（t）（2）求使 f（t）0 的 t 的取值范围.21（1313 分分)如图，=(6,1),，且。(1)求 x 与 y 间的关系；(2)若，求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积。22（1313 分分)已知向量 a a、b b 是两个非零向量，当 a a+tb b(tR)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a a、b b 共线同向时，求证 b b 与 a a+tb b 垂直1化简AC BD CD AB得（）AABBDACBCD02 在AB

15、C 中，a2b2c2bc，则 A 等于（）A60B120C30D 1503向量 a，b 满足|a|1，|b|2，(ab)(2ab)，则向量 a 与 b 的夹角为()A45B60C90D1205、如图所示，已知AB 2BC，OA a，OB b，OC c，则下列等式中成立的是(A)c 32b12a(B)c 2ba(C)c 2ab(D)c 32a12b6.若A(3,6),B(5,2),C(6,2)三点共线，则y（）,A13B13C9D97 已知a,b均为单位向量，它们的夹角为600，那么a 3b（）A7B10C13D4)1ABACABAC9已知非零向量AB与AC满足(+)BC=0 且=,则ABC 为()2|AB|AC|AB|AC|A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形A831BC.D944