圆锥曲线常用的二级结论(非常实用).pdf

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1、圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线常用的二级结论椭圆双曲线标准方程1 ab0a2b2x2y21 a0,b0a2b2x2y2焦点F1c,0,F2c,0焦点F1c,0,F2c,0焦半径PF1 a ex0,PF2 a ex0PF1 ex0 a,PF2 ex0 ae为离心率，x0为点P的横坐标.PF a cP为双曲线上一点，F为焦点.过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为e为离心率，x0为点P的横坐标.焦半径范围a c PF a cP为椭圆上一点，F为焦点.过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径通径长为2b2a2b2a如图，直线l过焦点F1与椭圆相交于A,B如图，直线l过焦点F1与双曲线相交于两点.则ABF2

2、的周长为4a.A,B两点.则F2A F2B AB 4a.（即F2A F2B AB 4a）倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆相交倾斜角为的直线l过焦点F与双曲线相于A,B两点.焦点弦交于A,B两点.焦点弦长AB 2ab2a2b2sin2b.2焦点弦长AB 2ab2.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.a2b2sin2b2AF与BF数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于A,B两点，则直线l过焦点F与双曲线相交于A,B两点，则2a.2AFBFb112a.2AFBFb11已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b PO a.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO a.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点如图，

3、P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知F1PF2，PF1F2，已知F1PF2，PF1F2，PF2F1PF2F1，则2，则22sin（1）S b tan；PF1F2（2）离心率e.焦三角形b2（1）SPF1F2 b cot；2tan2（2）离心率e.sin sinsinsin sin如图，已知直线l与椭圆相交于A,B两点，点M为AB的中点，O为原点，则如图，已知直线l与双曲线相交于A,B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOMkABb2a2.垂径定理kOMkAB 2ab2.（注：直线（注：直线l与双曲线的渐近线相交于与双曲线的渐近线相交于A,B两点，其他条件不变，结论依然成立两点，其他条件不变，结

4、论依然成立）如图，已知点A,B椭圆长轴端点（短轴端点），P是椭圆上异于A,B的一点，如图，已知点A,B双曲线实轴端点，P是双曲线上异于A,B的一点，则kPAkPB 2.b2周角定理a则kPAkPB2.b2a推广：如图，已知点A,B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一点，若直线PA,PB的斜率存在且不为零，推广：如图，已知点A,B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A,B的一点，若直线PA,PB的斜率存在且不为零，kPAkPB 2ab2kPAkPBb2a2.直线l过焦点Fc,0与椭圆相交于A,B直线l过焦点Fc,0与双曲线相交于 a2两点，点P,0，c则APF BPF（

5、即kPA kPB 0）.a2A,B两点，点P,0，c则APF BPF（即kPA kPB 0）.已知点Px0,y0是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为x0 xy0y 1.22已知点Px0,y0是椭圆上一点，则椭圆切线方程x xy y0 1在点P处的切线方程为0.2ab2ab双曲线的结论双曲线的结论1过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：x2y2设斜率为k的直线l过定点P0,tt 0，双曲线方程为22 1a 0,b 0，过点P与双曲ab线相切时的斜率为k0.（1）当0 k时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；（2）当k时，直线l与双曲线只有一

6、个交点；（3）当 k k0时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；bbabaa（4）当k k0时，直线l与双曲线只有一个交点；（5）当k k0时，直线l与双曲线没有交点.x2y22如图，Fc,0是双曲线22 1a 0,b 0的焦点，过点F作FH垂直双曲线的其中一条ab渐近线，垂足为H，O为原点，则OH a,FH b.3点P是双曲线x2a2y2b2 1a 0,b 0上任意一点，则点P到双曲线的渐近线的距离之积为定值a2b2.a2 b24点P是双曲线x2a2y2b2 1a 0,b 0上任意一点，过点P作双曲线的渐近线的平行线分别与渐ab2.近线相交于M,N两点，O为原点，则平行

7、四边形OMPN的面积为定值如图，抛物线方程为y 2 pxp 0，准线x 与x轴相交于点P，过焦点F抛物线的结论抛物线的结论p2,0的直线l与2 p抛物线相交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，O为原点，直线l的倾斜角为.p2x x1,1422y1y2 p.p3焦点弦：AB.p22焦半径：AF x1，BF x2，AB x1 x2 p.22 psin2，AF BF.sin2AFBFp4AF,BF的数量关系：112p2p25三角形AOB的面积S AOB2 sin.6以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切.7直线PA,PB的斜率之和为零（kPA kPB 0），即APF BPF.8点A,O,N三点共线；点B,O,M三点共线.9如图，点A,B是抛物线y 2 pxp 0，O为原点，若AOB 90o，则直线AB过定点2 p,0.