最新高三教案-数列极限的四则运算1 精品.pdf

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1、数列极限的四则运算教案数列极限的四则运算教案教学内容：教学内容：1数列极限的四则运算法则；2运用四则运算法则求数列的极限教学目标：教学目标：1使学生理解数列极限的四则运算法则，并能运用极限的四则运算法则求数列的极限；2通过数列极限的求解中转化的思想和分类讨论的思想的运用，培养学生思维的灵活性、科学性和批判性；3通过数列极限的求解，帮助学生进一步认识极限的思想和方法，培养学生有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证观点教学过程教学过程一、课题引入一、课题引入给出如下几个数列，请学生求出它们的极限(1)234n1，；n1233n22n5(2)；2n4(3)nn22n学生运用数列极限的定义，一般都能

2、求出数列(1)的极限为 1 但对(2)，(3)的极限的求解，感到束手无策，求知的欲望驱使学生迫切地希望获得求解的方略（这正是教师有意识地设置(2)，(3)两题所希望出现的局面）此时，教师趁热打铁，顺水推舟，指出通常求极限的问题比较复杂，仅凭定义来确定极限是不方便的，因此我们需要研究数列极的运算方法，并以此引出课题数列极限的四则运算法则 考虑到不必证明，故随即开门见山地给出数列极限的四则运算法则二、知识讲解二、知识讲解上述课题引入的过程也是给出数列极限的四则运算法则的过程，设疑的目的是为了激发学生的求知欲数列极限的四则运算法则如下：如果limanA，limbnB；nn即么lim（anbn）=AB

3、；limnnanA（B0）bnB特别地，如果C是常数，那么，lim（Can）=lim Climan=CAnnn对数列极限的四则运算法则，我们作如下说明：1四则运算法则的每一个式子中都有两种运算，即加法运算和极限运算；减法运算和极限运算；乘法运算和极限运算；除法运算和极限运算四则运算法则的实质是每个式子中两种运算先后顺序的可交换性例如，第一个式子表明，先求an与bn的和，再求这个和的极限，与先分别求an、bn的极限，再求这两个极限的和实质上是等效的，等等2数列an、bn的极限必须存在，才能用此法则3加、减、乘的运算法则可推广到任意有限个数列（强调仅仅是有限个数列）的情况4对于商的极限的情形，作为

4、分母的数列的极限不能为零三、例题分析三、例题分析作为数列极限四则运算法则的应用，并兼顾方法和技能的培养，可选配如下例题：例 1已知liman=5，limbn=3，求lim（3an4bn）nnn通过本例的求解训练，可使学生熟练极限的四则运算法则事实上，原式=lim3 anlim4bn=3liman4limbn=3543=3nnnn例 2求：(1)lim（5n12n1）；(2)lim2n3n2n本例是数列极限四则运算的简单应用 对于(1)，可直接使用法则；对于(2)，由于分子、分母的极限均不存在，因此不能直接运用商的极限法则，而需要作适当的变形，使之具备运算法则的条件为此，将分子分母同除以n2即可

5、解：(1)原式=lim5limnn1=50=5n212nn(2)原式=limn232n21lim2nnn=2lim 32nn21limlim2nnnn=2lim3lim2nnn0030通过本例(2)中的求解，可培养学生逻辑推理能力，以及思维的严密性和科学性3n22n52nn2nlim例 3求：(1)lim；(2)2nnn4分析：这是课题引入中的(2)、(3)两小题，它们显然都不具备四则运算法则的条件对于(1)，可引导学生仿例 2(2)的策略，请学生自行求解对于(2)，应先进行分子有理化，再将分子分母同除以n2然后再求极限252nn解：(1)原式=limn412n25lim3limlim2nnn

6、nn=limn4lim1lim2nnn300=1033求解本题一个常见的错误是：原式=nlim3n2lim2nlim5limnlim4nnn2n1这个解法错误有三处，一是错用了“商”的极限运算法则（事实上分子、分母的极限都不存在）；二是错用了“和”的极限运算法则（事实上，除了 5 和 4以外，3n2，2n，n2的极限都不存在）；三是错误地进行了约分运算（事实上，“”不是一个确定的数，因而不能进行通常的约分运算）(2)原式=lim2nnn2n2112n2n=limn=nlim2nlim1lim 1n2n=21 1=1求解本题一个常见的错误是：原式=limnlimnnn22n=0这个解法错误有二处

7、同，一是由于n与n22n的极限都不存在，因此直接运用差的极限运算法则是错误的；二是由于“”不是一个确定的数，因此“=0”是没有根据的例 4求下列极限473n1）；nn21n21n211111（2）lim n（1）（1）（1）（1）n3n124（1）lim（分析：对于（1），应先求和，然后再求极限；对于（2），应先求积，然后再求极限解：（1）原式=lim=limn473n1n21nn 3n52 n213n25n=limn2n225n=limn222n323求解本题一个常见的错误是：473n1limlim=000=0nn21nn21nn21这一解法的错误在于未注意运算法则仅对有限个有极限的数列而言

8、的 而本原式=lim题中当n时，实际上是无穷多个数列了，因此不能运用此法则1 2 3n（2）原式=lim（n）n2 3 4n1n=limnn1=lim111nn=1通过例 3、例 4 的求解训练，可进一步熟练数列极限的四则运算法则，培养了学生观察分析能力和运算推理能力，以及思维的灵活性、科学性和批判性，同是也训练了学生求数列极限的技能和技巧四、习四、习题题1已知lim an=3，lim bn=5，求下列极限：nn（1）lim（2an5bn3）；（2）limnnanbnanbn2求下列极限：24n1（1）lim；n4nn2n33n2n1（2）lim；3n14n122232n2333（4）limn

9、n3nnn（3）limnn1n1；参考答案1（1）16（2）2（1）1（2）1214（3）0 提示：利用分子有理化11（4）提示：先求和，注意 1222n2=n（n1）（2 n+1）36五、小结或总结五、小结或总结本节课主要介绍了数列极限的四则运算法则以及数列极限的求法、四则运算法则的实质是加、减、乘、除运算与极限运算的可交换性运用四则运算法则求数列的极限时，必须注意法则所要求的条件六、引申与提高六、引申与提高设f(n)和 (n)都是n的多项式，且f(n)=ak nkak1 nk1a1 na0（ak0），(n)=blnlbl1nl1b1nb0（bl0）（k，lN N），ak（即 f（n）与 （n）最高次项系数之比）（k=l），blf n则limnn=0（kl），=不存在（kl）.这一结论可仿本课中例 2（2）及例 3（1）的求解方法而获得利用这一结论，极易解决本单元教学指导库中测试题一（3）中的问题事实上，由题意知，只有a1，64a=故选 D七、思七、思考考题题设liman=A，limbn=B，利用极限定义，证明：lim（anbn）=ABnnn32证明：任给 0，由于liman=A，故对 1=n，存在N1，2当nN1时，anA1=恒成立2取N1与N2中的较大者为N，则当nN时，anbnABanAbnBanAbnB1=222=lim（anbn）=ABn