随机变量及其分布 (2)精品文稿.ppt

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1、随机变量及其分布随机变量及其分布第1页，本讲稿共27页一、随机变量l随机变量概念随机变量概念 在条件S下，随机试验的每一个结果都用一个实数来表示，不同的取值表示不同的实验结果，对于样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，并用一个变量来表示这些实数，此变量称为随机变量随机变量 ，用希腊字母、或用大写英文字母X、Y、Z表示l随机变量的分类随机变量的分类 离散型随机变量 连续型随机变量 第2页，本讲稿共27页二、离散型随机变量l概率分布概率分布 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 其中，其中，P(X=xP(X=xk k)=p)=pk k是是X X的概率，的概率，x x1 1，x

2、x2 2，,x xn n,构成完备事件组构成完备事件组l概率分布性质概率分布性质 （1）p pk k 0 （2）p pk k=1（k=1，2，3）X Xx x1 1x x2 2x xn nP(X=xP(X=xk k)p p1 1p p2 2p pn nk第3页，本讲稿共27页二、离散型随机变量l分布函数分布函数 X为一随机变量，为一随机变量，x为任一实数，把为任一实数，把F(x)=P(Xx)称为称为X的分布函数。的分布函数。若实数若实数x1，x2（x1 x2）则有则有 P(x1X x2)=F(x2)-F(x1)试推导试推导l分布函数性质分布函数性质 （1）x1 x2时时 F(x1)F(x2)（

3、2）0 F(x)1且且 lim F(x)=0 ，lim F(x)=1 （3）F(x+0)=F(x)F(x)是右连续的是右连续的 x x+第4页，本讲稿共27页二、离散型随机变量l几种常见的概率分布几种常见的概率分布 1）两点分布）两点分布 设随机变量设随机变量X的取值只有两个：的取值只有两个：0和和1，它的分布列为，它的分布列为 P(X=1)=p ,P(X=0)=1-p=q (0p 1)则称则称X服从参数为服从参数为p的的两点分布两点分布，又称，又称01分布，记为分布，记为 XB（1，p）。）。例例 4-11 从一批次品率为从一批次品率为0.01的产品中任取一件，若的产品中任取一件，若 设设X

4、表示取得表示取得的次品数，则的次品数，则X服从参数服从参数p=0.01的两点分布的两点分布 凡是凡是只有两个基本事件或可归纳为两个状态的随机试验都可以确定一个服只有两个基本事件或可归纳为两个状态的随机试验都可以确定一个服从两点分布的随机变量从两点分布的随机变量 第5页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 2）二项分布）二项分布 设随机变量设随机变量X分布为分布为 P(X=k)=pkqn-k (k=0,1,2,n;0p 1,q=1-p)则称则称X服从参数为服从参数为n，p的的二项分布二项分布，记为，记为XB(n,p)一般地，对于一般地，对于n重贝努利实验，如果用重贝努利实验，如果用X表示表示n重贝

5、努利实验重贝努利实验中事件中事件A发生的次数，事件发生的次数，事件A发生的概率为发生的概率为p，则事件，则事件A发生的次数发生的次数X服从参数为服从参数为n，p的二项分布的二项分布 例例4-12 设有设有10台机床，每台发生故障的概率为台机床，每台发生故障的概率为0.2，求，求 ：同时有：同时有3台机床不发生故障、台机床不发生故障、7台机床发生故障的概率。台机床发生故障的概率。第6页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 3）几何分布）几何分布 设随机变量设随机变量X的分布为的分布为 P(X=k)=pqk-1 (k=0,1,2 ,n,;0p 1,q=1-p)则称则称X服从参数为服从参数为p的的几何

6、分布几何分布，记为，记为X G(P)例例4-13 某射手每次射击命中目标的概率为某射手每次射击命中目标的概率为0.8，若连续向目标射击，若连续向目标射击，直到命中目标为止，其设计的次数是一个随机变量，它服从参数直到命中目标为止，其设计的次数是一个随机变量，它服从参数p=0.8的几何分布。他射击的几何分布。他射击3次首次命中目标的概率为次首次命中目标的概率为P(X=3)=0.80.22=0.032.试求他至多射击试求他至多射击3次即可命中目标。次即可命中目标。注：注：一般地，在贝努利试验中，如果用一般地，在贝努利试验中，如果用X表示贝努利试验中事件表示贝努利试验中事件A首次发生的首次发生的次数，

7、事件次数，事件A发生的概率为发生的概率为p，则事件，则事件A首次发生的次数首次发生的次数X服从参数为服从参数为p的几何分的几何分布。布。第7页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 4）泊松分布）泊松分布 设随机变量设随机变量X的分布为的分布为 P(X=k)=e (k=0,1,2 ,n,;0)则称则称X服从参数为服从参数为的泊松分布，记为的泊松分布，记为X P().泊松分布常见于所谓的稠密性问题中，泊松分布常见于所谓的稠密性问题中，如放射性元素在某一段时间如放射性元素在某一段时间内放射的粒子数，某交换台的电话呼叫次数，一页书中印刷错误出现的内放射的粒子数，某交换台的电话呼叫次数，一页书中印刷错误出

8、现的次数，一批布上的瑕疵点数都服从泊松分布次数，一批布上的瑕疵点数都服从泊松分布K!k第8页，本讲稿共27页几种常见的概率分布l 4）泊松分布）泊松分布 泊松分布在泊松分布在二项分布近似计算中的运用二项分布近似计算中的运用 当当=np （n很大，很大，p很小）很小）limCnpk(1-p)n-k =e-一般地，当一般地，当n 10，np5时，便可以用泊松分布律近似替代二项分布。时，便可以用泊松分布律近似替代二项分布。实际中实际中n 20，p0.05近似效果颇佳，而当近似效果颇佳，而当n 100，np 10时，效果更时，效果更好好knK!k第9页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 例例4-13

9、电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从=3的泊松分布，即的泊松分布，即X P(3)，求一分钟内呼唤次数不超过求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率次的概率 例例4-14 假设稻种中混有假设稻种中混有0.5%的稗草籽。试求在的稗草籽。试求在1000粒稻种中至少有粒稻种中至少有3粒稗草粒稗草籽的概率籽的概率第10页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 5）超几何分布）超几何分布 一般来说，如果同类产品共有一般来说，如果同类产品共有N个，其中次品有个，其中次品有M个，现从中个，现从中随机取出随机取出n个（假定个（假定n N-M），则这），则这n个产品中所含的次品数个产品中所含

10、的次品数X是一个离散型随机变量，其概率分布为是一个离散型随机变量，其概率分布为超几何分布超几何分布。其公式为。其公式为 P(X=k)=(k=0,1,2,min(M,n)其中，其中，N-M是总体产品中合格品，是总体产品中合格品，n-k是从产品中抽取的合是从产品中抽取的合格品。称格品。称X服从以服从以n，N，M为参数的超几何分布，简记为参数的超几何分布，简记X H(n,N,M)第11页，本讲稿共27页三、连续型随机变量l分布密度函数分布密度函数 对于随机变量对于随机变量X，如果存在非负可积函数，如果存在非负可积函数f(x)及任意的及任意的a，b（ab），使得取值于区间（），使得取值于区间（a，b）

11、的概率为）的概率为 P(a X b)=则称则称X为连续型随机变量，并称为连续型随机变量，并称f（x）为）为X的的分布密度函数分布密度函数，简称分布密度，简称分布密度，记记X f（x）性质：性质：P(aX b)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=f（x）0（非负性）；（非负性）；=P（）=1 （规范性）（规范性）第12页，本讲稿共27页三、连续型随机变量l分布函数分布函数 设设X为连续型随机变量，称函数为连续型随机变量，称函数 F(X)=P(Xx)=（x ）为为X的累计分布函数，简称的累计分布函数，简称分布函数分布函数 P(a X b)=F(b)F(a)注注：f(x)=F(X)且且x1x

12、2时有时有 F(x1)F(x2)f(x)xaby=f(x)第13页，本讲稿共27页几种常见的概率分布l1）均匀分布）均匀分布 设随机变量设随机变量X的分布密度函数为的分布密度函数为 f（x）=则称则称X服从服从a，b上的上的均匀分布均匀分布，记为，记为XU（a，b）其分布函数为其分布函数为 F(x)=0b-a1ax bxa或或xbxf（x）abb-a10b-ax-a1xaxbax bab1xF(x)第14页，本讲稿共27页几种常见的概率分布l例例4-15 若随机变量若随机变量X服从区间服从区间a，b上的均匀分布，那么上的均匀分布，那么X落到落到c，d（其（其中，中，ac d b）的概率是什么？

13、）的概率是什么？l例例4-16 公共汽车每隔公共汽车每隔5分钟来一班，某人不知发车时间，他到达车站时刻是等分钟来一班，某人不知发车时间，他到达车站时刻是等可能的，求他等车时间不超过可能的，求他等车时间不超过4分钟的概率分钟的概率第15页，本讲稿共27页几种常见的概率分布2）指数分布）指数分布 设随机变量设随机变量X的分布密度函数为的分布密度函数为 f(x)=则称则称X服从参数为服从参数为的指数分布，记为的指数分布，记为X E（）其分布函数为其分布函数为 F(x)=e-x0 x0 x0 xf(x)O=3=1=1/201-e-xx0 x0第16页，本讲稿共27页几种常见的概率分布例4-17 某计算

14、机在发生故障前正常运行的时间X（单位：小时）是一个连续型随机变量，其分布密度 f(x)=问这台计算机在发生故障前正常运转50-150小时的概率。-ex/1000 x0 x0第17页，本讲稿共27页几种常见的概率分布l3）正态分布）正态分布 a.正态分布的定义及其图形正态分布的定义及其图形 设随机变量设随机变量X的分布密度函数为的分布密度函数为 f(x)=为常数为常数 则称则称X服从于参数为服从于参数为,正态分布正态分布，记为，记为X N（,2）Oxf(x)+h-h=0=1=2xf(x)=0.5=1OOxf(x)不变的正态分布密度函数图形不变的正态分布密度函数图形正态分布密度函数第18页，本讲稿

15、共27页几种常见的概率分布l正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为 F（x）=b.标准正态分布标准正态分布 当当=0,2=1时，正态分布的密度函数为时，正态分布的密度函数为 f(x)=此时称此时称X服从服从标准正态分布标准正态分布，记为，记为X N（0，1）第19页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 标准正态分布密度函数标准正态分布密度函数 标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数 f(x)=F(x)=(x)=Oxf(x)1(x)xO1/2a-a(-a)与与(a)什么关系？什么关系？第20页，本讲稿共27页几种常见的概率分布lc.正态分布性质正态分布性质 1.若X N（,2）则则 N(0

16、,1)2.若若X服从正态分布，则对任意的常数服从正态分布，则对任意的常数a(a0)、b，Z=aX+b也服从正态分也服从正态分布布 3.若若X、Y皆服从正态分布，且相互独立，则对任意的常数皆服从正态分布，且相互独立，则对任意的常数a、b（a、b不全为零）不全为零），Z=aX+BY也服从正态分布，并可推广。也服从正态分布，并可推广。X-第21页，本讲稿共27页几种常见的概率分布d.正态分布简化表正态分布简化表 (-x)=1-(x)例4-18 （1）设X N（0，1）求）求P(-1X3）的概率）的概率 （2）设）设X N（5，32）求）求P(2X 10）的概率）的概率 （3）某种零件的长度服从正态分

17、布，平均长度为）某种零件的长度服从正态分布，平均长度为10mm，标准差，标准差为为0.2mm，试问：为了保证产品的质量，要求以，试问：为了保证产品的质量，要求以95%的概率保证该零件的长度的概率保证该零件的长度在在9.5 10.5之间，这一要求能否达到？之间，这一要求能否达到？第22页，本讲稿共27页几种常见的概率分布e.二项分布的正态近似二项分布的正态近似 利用德莫佛利用德莫佛拉普拉斯定理可知，当拉普拉斯定理可知，当n充分大时，二项分布近似服从正态分布，充分大时，二项分布近似服从正态分布，正态分布是二项分布的极限分布。正态分布是二项分布的极限分布。设随机变量设随机变量X B(n,p),则对任

18、意则对任意X，有，有 limp =(x)即二项随机变量X近似地服从正态分布N（np，np（1-p）第23页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 若随机变量X服从二项分布，当n充分大时有 P(x1X x2）=P(a b）=(b)-(a)式中，a=b=q=1-p第24页，本讲稿共27页几种常见的概率分布 例4-19 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）任一时刻有70 86台车床在工作 的概率 （2）任一时刻有80台以上的车床在工 作的概率第25页，本讲稿共27页课堂作业课堂作业l某商店购进一批灯泡，其使用寿命的分布近似于值为1000小时，值为50小时的正态分布。试求任意取一只灯泡，其使用寿命在950 1050小时之间的概率第26页，本讲稿共27页课外作业课外作业l教材 P129 4-18，4-22，4-23第27页，本讲稿共27页