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1、机械波(2)1本讲稿第一页，共八十三页第十一章第十一章 机械波机械波11.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播11.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数11.4 惠更斯原理与波的反射和折射惠更斯原理与波的反射和折射 11.6 多普勒效应多普勒效应 11.5 波的叠加波的叠加 波的干涉波的干涉 驻驻 波波11.3 波的能量波的能量 波的强度波的强度2本讲稿第二页，共八十三页11.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一、机械波产生的条件一、机械波产生的条件 波源波源（振源）（振源）弹性介质（弹性介质（媒媒质质）电磁波电磁波 只需振源只需振源 可在真空中传播可在真空中传播物质波物质波 物

2、质的固有性质物质的固有性质横波：横波：各振动方向与波传播方向垂直各振动方向与波传播方向垂直纵波：纵波：各振动方向与波传播方向一致各振动方向与波传播方向一致横波横波纵波纵波二、横波二、横波 纵波纵波3本讲稿第三页，共八十三页三、波阵面三、波阵面 波射线波射线波射线波射线(或波线或波线)：波传播的方向射线波传播的方向射线波阵面波阵面(或波面或波面)：某时刻，同某时刻，同一波源向外传一波源向外传播的波到达的各播的波到达的各空间点空间点连成的连成的面面(同相面同相面)。波阵面波阵面波波 面面4本讲稿第四页，共八十三页在各向同性介质中在各向同性介质中点源：点源：波面是球面波面是球面 所以称为所以称为球面

3、波球面波线源：线源：波面是柱面波面是柱面 所以称为所以称为柱面波柱面波面源：面源：波面是平面波面是平面 所以称为所以称为平面波平面波球面波球面波柱面波柱面波平面波平面波5本讲稿第五页，共八十三页 （1)1)波面与波射线的关系：波射线垂直波面波面与波射线的关系：波射线垂直波面 （2)2)波射线是波的能量传播方向波射线是波的能量传播方向 （3)3)平面谐振波是最理想的波（一维问题平面谐振波是最理想的波（一维问题 能量不能量不发散）发散）某时刻，各点振动的位移某时刻，各点振动的位移 y(广义：任一物理广义：任一物理量量)与相应的平衡位置与相应的平衡位置坐标坐标 x 的关系曲线。的关系曲线。波形图：波

4、形图：6本讲稿第六页，共八十三页平平 面面:波面是平面波面是平面(一维、能量不损失一维、能量不损失)简谐波简谐波:各点均作简谐振动各点均作简谐振动 以绳上横波为例以绳上横波为例 说明波的传播特征说明波的传播特征11.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数一、波函数一、波函数二、一维平面简谐波的波函数二、一维平面简谐波的波函数7本讲稿第七页，共八十三页无外界干扰时各质点均处在自己的平衡位置处无外界干扰时各质点均处在自己的平衡位置处第第1 1个质点受一干扰，准备离开自己的个质点受一干扰，准备离开自己的平衡位置向正方向振动。平衡位置向正方向振动。振动振动状态状态oxy8本讲稿第八页，共八十三页第第

5、4 4个质点准备个质点准备第第7 7个质点准备个质点准备yxyx1oo9本讲稿第九页，共八十三页第第1010个质点准备个质点准备第第1313个质点准备个质点准备741yxyx10741 1310本讲稿第十页，共八十三页 当第当第1 1个质点振动个质点振动1 1个个周期周期后，它的后，它的最初最初的振动的振动相位相位传传到第到第1313个质点。个质点。从从相位相位来看，第来看，第1 1个质点领个质点领先第先第1313质点质点 。结论结论1.1.波是波是振动状态振动状态的传播，不是质点的流的传播，不是质点的流动。各点均在自己的平衡位置附近作振动。各点均在自己的平衡位置附近作振动。动。2.2.波长波

6、长 波的周期波的周期 频率频率 波速波速10741 1311本讲稿第十一页，共八十三页波长：波线上相位差为波长：波线上相位差为2 2 的的相邻两点相邻两点间的距离间的距离波的周期：一个完整的波通过波的周期：一个完整的波通过某点某点所需的时间所需的时间波的频率：单位时间内通过波的频率：单位时间内通过某点某点完整波的数目完整波的数目波速：振动状态传播的速度波速：振动状态传播的速度某点某点波长波长 波速与频率之间的关系波速与频率之间的关系12本讲稿第十二页，共八十三页3.3.波射线上各点振动相位波射线上各点振动相位(振动状态振动状态)的关系的关系（1)1)同时同时看波线上各点看波线上各点 沿传播方向

7、，各点相位依次落后。沿传播方向，各点相位依次落后。相差是相差是 相距一个波长的两点，相距一个波长的两点，相位差是相位差是2 2.如第如第1313点和第点和第1 1点点或说振动时间差或说振动时间差1 1个个周周期期则相位差为则相位差为2 2.13本讲稿第十三页，共八十三页任意两质元间距为任意两质元间距为a b图中图中b点比点比 a点的相位点的相位落后落后:相距相距 x 的任意两点的相位差的任意两点的相位差14本讲稿第十四页，共八十三页（2)2)从两质元振动的从两质元振动的重复性重复性看看 t t 时刻时刻 第第1313质元的振动是第质元的振动是第1 1质元在质元在t tT T 时刻的振动；时刻的

8、振动；第第1 1点和第点和第1313点之间：点之间：振动时间差：振动时间差：相位差相位差:间距间距:间距为任意间距为任意 x 的两点的关系：的两点的关系：在波线下方在波线下方b点，点，t t 时刻的振动是前方时刻的振动是前方a点在点在时的振动。时的振动。15本讲稿第十五页，共八十三页一般关系：一般关系：若已知波传播若已知波传播a点点的振动形式可用函数的振动形式可用函数f(t)表示，表示，a点与点与b点相距为点相距为l,则则b点的振动函数是点的振动函数是 f(t-l/u)。周期性的体现周期性的体现 普遍的结论普遍的结论a b同样，同样，若若b点点的振动形式是函数的振动形式是函数 f(t)，a点与

9、点与b点相点相距为距为l ，则则a点的振动函数是点的振动函数是 f(t+l/u).).16本讲稿第十六页，共八十三页三、平面简谐波的波函数三、平面简谐波的波函数 设波沿着设波沿着x 轴轴的正方向传播，的正方向传播，波源波源o 的振动形的振动形式为式为波线上波线上任意一点任意一点 P P 坐标为坐标为 x由由相位关系相位关系,P P点相位落后波源点相位落后波源o的振动相位：的振动相位：17本讲稿第十七页，共八十三页所以，就在所以，就在o点振动表达式的基础上改变相位因子，点振动表达式的基础上改变相位因子，就得到了就得到了P 的振动表达式。的振动表达式。或或一维平面简谐波的波函数一维平面简谐波的波函

10、数18本讲稿第十八页，共八十三页讨论讨论1.负负(正正)号表示向号表示向x 轴轴正正(负负)向传播向传播2.2.波函数的物理意义波函数的物理意义 当坐标当坐标 x 确定确定 表达式变成表达式变成 yt 关系关系,表达了表达了 x 点的振动点的振动如图：如图：yTtox点的振动曲线点的振动曲线19本讲稿第十九页，共八十三页 当时刻当时刻 t 确定确定 表达式变成表达式变成 y-x关系关系,表达了表达了 t 时刻空间各时刻空间各点位移分布点位移分布波形图波形图yxot 时刻的波形曲线时刻的波形曲线（空间周期）（空间周期）当坐标当坐标x 和和时刻时刻 t 都变化都变化 表达式变成表达式变成 y=f(

11、x,t)关系关系,反映了波形的反映了波形的传播传播行波行波20本讲稿第二十页，共八十三页例题例题1 一横波在弦上传播，其波方程是一横波在弦上传播，其波方程是求求 振幅、波长、频率、周期和波速。振幅、波长、频率、周期和波速。将给定方程与标准方程比较将给定方程与标准方程比较,求出各物理量求出各物理量 标准方程：标准方程：给定方程：给定方程：解：解：21本讲稿第二十一页，共八十三页比较得：比较得：标准方程：标准方程：给定方程：给定方程：22本讲稿第二十二页，共八十三页由物理量的物理意义求各物理量由物理量的物理意义求各物理量 同一时刻同一时刻t 波线上波线上位相差为位相差为 的两点之间的距离的两点之间

12、的距离解法解法223本讲稿第二十三页，共八十三页12质元质元 t1 时刻的位相时刻的位相=质元质元 t2 时刻的位相时刻的位相波速指位相传播的速度波速指位相传播的速度24本讲稿第二十四页，共八十三页周期指位相传播一个波长所需要的时间周期指位相传播一个波长所需要的时间25本讲稿第二十五页，共八十三页例例题题2 沿沿x轴轴负负方方向向传传播播的的平平面面简简谐谐波波在在t=2s时时的的波波形形曲曲线线如如图图所所示示，设设波波速速u=0.5m/s,求求原原点点o的的振振动表达式。动表达式。由由t=2s时的波形图时的波形图解：解：（看下一时刻的波形曲线（看下一时刻的波形曲线）t=2s时在原点时在原点

13、x=0处的位相：处的位相：26本讲稿第二十六页，共八十三页o点的振动表达式为：点的振动表达式为：由波的传播特性可知：由波的传播特性可知：o点质元在点质元在t=0时的位时的位相与相与t=T/2=2s时的位时的位相相差相相差解法二：解法二：画波形曲线画波形曲线初位相初位相27本讲稿第二十七页，共八十三页t=0s时的波形比时的波形比 t=2s时时的波形倒退的波形倒退1m由图知：由图知：t=0 s时：时：o点的振动表达式为：点的振动表达式为：28本讲稿第二十八页，共八十三页五、平面简谐波的复数表示法五、平面简谐波的复数表示法经典波：经典波：波函数表示实在物理量，只有取实部才有意波函数表示实在物理量，只

14、有取实部才有意义，但可以使计算方便。义，但可以使计算方便。量量 子子：波函数本身一般就是复数波函数本身一般就是复数.29本讲稿第二十九页，共八十三页一、机械波的能量一、机械波的能量 能量密度能量密度1.1.机械波的能量机械波的能量每个质元振动所具有的动能每个质元振动所具有的动能每个质元形变所具有的势能每个质元形变所具有的势能之和之和2.2.能量密度能量密度 波场中单位体积的能量波场中单位体积的能量11.3 波的能量波的能量 波的强度波的强度30本讲稿第三十页，共八十三页如果介质中传播的是平面简谐波如果介质中传播的是平面简谐波则波的表达式为：则波的表达式为：介质质元介质质元 中的能量中的能量简谐

15、波的能量密度简谐波的能量密度31本讲稿第三十一页，共八十三页讨论讨论（1）适用于各种谐波适用于各种谐波（2 2）平均能量密度）平均能量密度普适结论普适结论（3 3）机械谐波）机械谐波w最大值出现在形变最大处最大值出现在形变最大处32本讲稿第三十二页，共八十三页波的能量现象现象将一软绳（弹性媒质）划分为多个小质元将一软绳（弹性媒质）划分为多个小质元上上下下抖抖动动振速振速 最小最小振速振速 最大最大形变最小形变最小形变最大形变最大时刻波形时刻波形波动中各小质元产生不同程度的波动中各小质元产生不同程度的 弹性形变弹性形变未起振的体积元未起振的体积元波波 的的 能能 量量33本讲稿第三十三页，共八十

16、三页二、波的强度二、波的强度 1.1.能流能流 单位时间内通过介质中某面积的能量单位时间内通过介质中某面积的能量2.2.平均能流平均能流3.3.能流密度能流密度 单位时间内垂直通过单位面积的能量单位时间内垂直通过单位面积的能量即通过单位面积的能流即通过单位面积的能流34本讲稿第三十四页，共八十三页4.4.波的强度（也称平均能流密度）波的强度（也称平均能流密度）单位单位讨论讨论2.2.任意谐波任意谐波1.1.机械波的特性阻抗机械波的特性阻抗两介质比较：两介质比较：Z Z 较小者称较小者称波疏波疏介质介质 Z Z 较大者称较大者称波密波密介质介质光波：光波：折射率较大者称光密介质折射率较大者称光密

17、介质作业作业11.511.611.1011.1135本讲稿第三十五页，共八十三页一、一、惠更斯原理惠更斯原理 1.1.物理上的定性和半定量方法物理上的定性和半定量方法 但但大多数情况是很难写出波动方程的，所以大多数情况是很难写出波动方程的，所以物理上通常采用定性和半定量的方法加以补充物理上通常采用定性和半定量的方法加以补充（实际上是相当重要的补充）。（实际上是相当重要的补充）。要解决波的传播问题要解决波的传播问题原则：原则：列出波动方程列出波动方程 然后解方程然后解方程 从而得到运动的表述从而得到运动的表述11.4 惠更斯原理与波的衍射惠更斯原理与波的衍射 反射和折射反射和折射36本讲稿第三十

18、六页，共八十三页惠更斯原理就是非常成功的定性和半定量方法惠更斯原理就是非常成功的定性和半定量方法 1678 1678年惠更斯提出：简洁的作图法定性解决年惠更斯提出：简洁的作图法定性解决了波的传播问题，称为惠更斯原理。了波的传播问题，称为惠更斯原理。菲涅耳菲涅耳在光学方面做了重要发展，在光学方面做了重要发展，称称惠菲原理惠菲原理 经经基尔霍夫基尔霍夫在数学上描述在数学上描述 发展成发展成“光传播光传播”的重要计算手段的重要计算手段 所以说：在研究波的传播问题中所以说：在研究波的传播问题中 波动方程和惠更斯原理同等重要，相互补充。波动方程和惠更斯原理同等重要，相互补充。37本讲稿第三十七页，共八十

19、三页2 2、惠更斯原理、惠更斯原理基本内容：基本内容：子波子波概念概念 波面上任一点都是新的振源波面上任一点都是新的振源 发出的波叫发出的波叫子波子波子波面的包络线子波面的包络线-新波面新波面 t 时刻各子波波面的公共切面（包络面）时刻各子波波面的公共切面（包络面）就是该时刻的新波面就是该时刻的新波面作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面作用：已知一波面就可求出任意时刻的波面38本讲稿第三十八页，共八十三页t+t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面 t+tut 在各向同性介质中传播在各向同性介质中传播例：例：39本讲稿第三十九页，共八十三页二、惠更斯原理的应用二、惠更

20、斯原理的应用1.1.原理给出：一切波动都具有衍射现象原理给出：一切波动都具有衍射现象衍射衍射-偏离原来直线传播的方向偏离原来直线传播的方向 所以：所以：衍射是波动的判据衍射是波动的判据衍射物衍射物衍射物衍射物平面波经平面波经小孔衍射小孔衍射成球面波成球面波40本讲稿第四十页，共八十三页线度线度小小衍射现象衍射现象明显明显线度线度大大衍射现象衍射现象不明显不明显衍射是否明显？衍射是否明显？视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较视衍射物（包括孔、缝）的线度与波长相比较对一定波长的波对一定波长的波41本讲稿第四十一页，共八十三页2.2.用惠更斯作图法导出了光的折射定律用惠更斯作图法导出了光的折射定

21、律作图步骤：作图步骤：u2 t媒质媒质1折射率折射率n1 1媒质媒质2折射率折射率n2 2i法线法线B入射波入射波AECu1 1u1 tFDu2 2折射波传播方向折射波传播方向r导出折射定律导出折射定律得得42本讲稿第四十二页，共八十三页折射定律折射定律绝对折射率定义绝对折射率定义即即43本讲稿第四十三页，共八十三页3 3、反射波与入射波、反射波与入射波 反射点反射点 b b处是波节？处是波节？还是波腹？还是波腹？或或 若从若从疏到密疏到密(1u u1 2u u2)反射点处有半波损失反射点处有半波损失 b b点是波节点是波节 入射波入射波若从若从密到疏密到疏(1 1u u1 1 2 2u u2 2)反射点处无半波损失反射点处无半波损失 b b点是波腹点是波腹作业作业11.2311.2411.2544本讲稿第四十四页，共八十三页例题例题 已知入射波的表达式，写反射波的表达式。已知入射波的表达式，写反射波的表达式。若全反射若全反射以以b b为参考点写反射波为参考点写反射波b b点的振动：点的振动：45本讲稿第四十五页，共八十三页若波从波疏向波密介质入射若波从波疏向波密介质入射b b点振动为：点振动为：正号正号表示沿表示沿 x 负方向传播的波负方向传播的波 20000Hz的声波的声波作业作业11.33 11.3411.36 11.3883本讲稿第八十三页，共八十三页