计量经济学课件第3章.ppt

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1、计量经济学课件第计量经济学课件第3章章3.1 3.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式一般表现形式：i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数回归参数（regression coefficient）。习习惯惯上上：把常常数数项项看成为一虚虚变变量量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1+1）也也

2、被被称称为为总总体体回回归归函函数数的的随随机机表表达达形形式式。它它 的的非随机表达式非随机表达式为为:表示：表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的平均响应的平均响应。j也也被被称称为为偏偏回回归归系系数数，表表示示在在其其他他解解释释变变量量保保持持不不变变的的情情况况下下，Xj每每变变化化1个个单单位位时时，Y的的均值均值E(Y)的变化的变化;或或者者说说j给给出出了了Xj的的单单位位变变化化对对Y均均值值的的“直直接接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。总体回归模型总体回归模型n个随机方程的个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为为 其中其中用来估计总体回归函

3、数的用来估计总体回归函数的样本回归函数样本回归函数其其随机表示式随机表示式:ei称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residuals)，可看成是总，可看成是总体回归函数中随机扰动项体回归函数中随机扰动项 i的近似替代。的近似替代。样本回归函数样本回归函数的的矩阵表达矩阵表达:或或其中：其中：二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性 假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示 式：式：假设1，

4、n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，假设3，E(X)=0，即 假设4，向量 有一多维正态分布，即 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n时，或 其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵 假设6，回归模型的设定是正确的。3.2 3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 *二、最大或然估计二、最大或然估计 *三、矩估计三、矩估计 四、参数估计量的性质四、参数估计

5、量的性质 五、样本容量问题五、样本容量问题 六、估计实例六、估计实例 说说 明明估计方法：估计方法：3大类方法：大类方法：OLS、ML或者或者MM在经典模型中多应用在经典模型中多应用OLS在非经典模型中多应用在非经典模型中多应用ML或者或者MM在本节中，在本节中，ML与与MM为选学内容为选学内容一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2n 根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 其中 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组：正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式即由于XX满秩，故有

6、将上述过程用矩阵表示矩阵表示如下：即求解方程组：得到：于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中，可求得 于是 正规方程组正规方程组 的另一种写法对于正规方程组正规方程组 于是 或(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法(*)(*)样本回归函数的离差形式样本回归函数的离差形式i=1,2n其矩阵形式矩阵形式为 其中：在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通最

7、小二乘估计、最大或然估计最大或然估计及矩估计矩估计仍具有：线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性、无偏性 这里利用了假设:E(X)=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性）其中利用了 和 五、样本容量问题五、样本容量问题 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少

8、于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）,即 n k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度：n30 时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明论上的证明 六、多元线性回归模型的参数估计实例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国

9、居民人均中国居民人均消费消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1)估计区间估计区间：19792000年Eviews软件估计结果 3.3 3.3 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验）检验）四、参数的置信区间四、参数的置信区间 一、拟合优度检验一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数则 总离差平方和的分解总离差平方和的分解由于=

10、0所以有：注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象 可决系数可决系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，只要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整需调整。调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方将残差平方和与总离差

11、平方和分别除以各自的自由度，以剔和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系量与解释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著是否显著成立作出推断。成立作出推断。1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择

12、假设：H0：0=1=2=k=0 H1：j不全为0 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断断。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 服从自由度为(k,n-k-1)的F分布。给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上

13、的线性关系是否显著成立。对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3给定显著性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32 二元例：F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1)，即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论讨论 由可推出：与或 在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费一元模型一元模型中，中，在在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费消费二元模型二元模型中中，三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检

14、验）检验）方程的总体线性总体线性关系显著 每个解释变量每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t 检验完成的。检验完成的。1、t统计量统计量 由于 以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:因此，可构造如下t统计量 2、t检验检验 设计原假设与备择假设：H1：i0 给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/

15、2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。H0：i=0 （i=1,2k）注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0=0 进行检验;另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系：在中中国国居居民民人人均均收收入入-消消费费支支出出二二元元模模型型例中，由应用软件计算出参数的t值：给定显著性水平=0.05，查得相应临界值：t0.025(19)=2.093。可见，计计算算的的所所有有t值值都都大大于于该该临临界界值值，所以拒

16、绝原假设。即:包包括括常常数数项项在在内内的的3个个解解释释变变量量都都在在95%的的水水平下显著，都通过了变量显著性检验。平下显著，都通过了变量显著性检验。四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参参数数的的置置信信区区间间用来考察：在在一一次次抽抽样样中中所所估估计的参数值离参数的真实值有多计的参数值离参数的真实值有多“近近”。在变量的显著性检验中已经知道：在变量的显著性检验中已经知道：容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。在中国居民人均收入中国居民人均收入-消费支出消费支出二元模型二元模型例中,给定=0.05，查表得

17、临界值：t0.025(19)=2.093计算得参数的置信区间：0：(44.284,197.116)1：(0.0937,0.3489)2：(0.0951,0.8080)从回归计算中已得到：如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在同样的样本容量下，n n越越大，大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优

18、度越高，残差准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。平方和应越小。提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观一般情况下，样本观测值越分散测值越分散，(XX)-1的分母的的分母的|XX|的值越大，致的值越大，致使区间缩小。使区间缩小。3.4 3.4 多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测 一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间 二、二、Y0的置信区间的置信区间对于模型 给 定 样 本 以 外 的 解 释 变 量 的 观 测 值X0=(1,X10,X20,Xk0)，可以得到被解释变量的预测值：它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是

19、被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括区间，包括E(Y0)和和Y0的的置信区间置信区间。一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间易知 容易证明 于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间置信区间：其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值临界值。二、二、Y0的置信区间的置信区间如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：容易证明 e0服从正态分布，即 构造t统计量 可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间置信区间：中国居民人均收入中国居民人均收入-消费支出消费支出二元模型二元模型例中：2001年

20、人均GDP：4033.1元，于是人均居民消费的预测值人均居民消费的预测值为 2001=120.7+0.22134033.1+0.45151690.8=1776.8（元）实测值实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：相对误差：-0.31%预测的置信区间预测的置信区间：于是E(E(2001）的95%的置信区间为:或 （1741.8，1811.7）或 （1711.1,1842.4）同样，易得 2001的95%的置信区间为3.5 3.5 回归模型的其他函数形式回归模型的其他函数形式 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例二、非线性回归实例说说 明明在实际经济活动中，经济变量

21、的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函幂函数曲线数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 1 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s=a+b r+c r2 c0 s：税收；r：税率设X1=r，X2

22、=r2，则原方程变换为 s=a+b X1+c X2 c0 2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q=AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数：ln Q=ln A+ln K+ln L3、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到：(1+2=1)Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数，1、2：分配参数例如例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K-+2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。如取0阶、1阶、

23、2阶项，可得 二、非线性回归实例二、非线性回归实例 例例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变(*)(*)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（*）式与（）式与（*）式。）式。根据恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数幂函数的变化关系:首先,确定具体的函数形式对数变换:考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时(*)(*)(*)式也

24、可看成是对（*）式施加如下约束而得因此，对对（*）式式进进行行回回归归，就就意意味味着着原原需需求函数满足零阶齐次性条件求函数满足零阶齐次性条件。X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征：特征：消费行为在19811995年间表现出较强的一致性；1995年之后呈现出另外一种变动特征。建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:(9.03)(25.35

25、)(-2.28)(-7.34)按按零阶齐次性零阶齐次性表达式回归表达式回归:（75.86）(52.66)(-3.62)为了比较，改写该式为：与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。3.6 3.6 受约束回归受约束回归 一、模型参数的线性约束一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性三、参数的稳定性*四、非线性约束四、非线性约束说说 明明在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件。例如：需求函数的0阶齐次性阶齐次性条件生产函数的1阶齐次性阶齐次性条件

26、模型施加约束条件后进行回归模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回受约束回归归（restricted regression）;未加任何约束的回归称未加任何约束的回归称为无约束回归无约束回归（unrestricted regression）。）。一、模型参数的线性约束一、模型参数的线性约束例如对模型施加约束得或(*)(*)如果对（*）式回归得出则由约束条件可得：然而，对所考查的具体问题然而，对所考查的具体问题能否施加约束？能否施加约束？需需进一步进行相应的检验。进一步进行相应的检验。常用的检验有常用的检验有：F检验、检验、x2检验与检验与t检验。检验。F检验检验在同一样本下，记无约束无约束样本回

27、归模型为受约束受约束样本回归模型为于是 受约束受约束样本回归模型的残差平方和残差平方和RSSR于是ee为无约束无约束样本回归模型的残差平方残差平方和RSSU(*)受约束受约束与无约束无约束模型都有相同的相同的TSS由（*）式 RSSR RSSU从而 ESSR ESSU这这意意味味着着，通通常常情情况况下下，对对模模型型施施加加约约束束条件会降低模型的解释能力条件会降低模型的解释能力。但是但是，如果如果约束条件约束条件为为真真，则，则受约束受约束回归回归模型与模型与无约束无约束回归模型具有相同的解释能力回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。可用可用RSSR-RSSU的大小

28、来检验约束的真实性的大小来检验约束的真实性 根据数理统计学的知识：于是：讨论：讨论：如果约束条件无效，RSSR 与 RSSU的差异较大，计算的F值也较大。于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进行检验。注意，kU-kR恰为约束条件的个数。例例3.6.13.6.1 中中国国城城镇镇居居民民对对食食品品的的人人均均消消费费需需求求实例中实例中，对零阶齐次性零阶齐次性检验：取=5%，查得临界值临界值F0.05(1,10)=4.96 结结论论：不不能能拒拒绝绝中中国国城城镇镇居居民民对对食食品品的的人人均均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设消费需求函数具

29、有零阶齐次特性这一假设。无约束回归:RSSU=0.00324，kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332，KR=2 样本容量n=14，约束条件个数kU-kR=3-2=1这里的这里的F F检验适合所有关于参数线性约束的检验检验适合所有关于参数线性约束的检验如：多元回归中对方程总体线性性方程总体线性性的F检验：H0：j=0 j=1,2,k这里：受约束回归模型为这里，运用了ESSR 0。二、对回归模型增加或减少解释变量二、对回归模型增加或减少解释变量考虑如下两个回归模型(*)(*)(*)式可看成是（*）式的受约束回归：受约束回归：H0：相应的统计量为：如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1,Xk

30、+q对没有解释能力，则统计量较小；否则，约束条件为假，意味着额外的变量对有较强的解释能力，则统计量较大。因此，可通过F的计算值计算值与临界值临界值的比较，来判断额外变量是否应包括在模型中。讨论：讨论：统计量的另一个等价式统计量的另一个等价式 拉格朗日统计量LM本身是一个关于拉格朗日乘数的复杂的函数，在各约束条件为真的情况下，服从一自由度恰为约束条件个数的渐近2分布。n为样本容量，R2为如下被称为辅助回归辅助回归（auxiliary regression）的可决系数:如果约束是非线性的，辅助回归方程的估计比较复杂，但仍可按（*）式计算LM统计量的值。最后，一般地有最后，一般地有:LMLRW 同样地，如果为线性约束，LM服从一精确的2分布：(*)