第11章机械振动优秀课件.ppt

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1、第11章机械振动第1页，本讲稿共43页本章内容本章内容9.1 9.1 简谐振动简谐振动9.9.2 2 旋转矢量法旋转矢量法9.9.3 3 简谐振动的能量简谐振动的能量9.9.4 4 一维简谐振动的合成一维简谐振动的合成 拍现象拍现象第2页，本讲稿共43页定义定义：任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为任一物理量在某一定值附近循环往复变化均称为振动振动振动振动.物体围绕一固定位置来回往复运动称为物体围绕一固定位置来回往复运动称为物体围绕一固定位置来回往复运动称为物体围绕一固定位置来回往复运动称为机械振动机械振

2、动机械振动机械振动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.周期和非周期振动周期和非周期振动周期和非周期振动周期和非周期振动 简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动：最简单、最基本的振动：最简单、最基本的振动：最简单、最基本的振动：最简单、最基本的振动.谐振子谐振子：作简谐运动的物体：作简谐运动的物体：作简谐运动的物体：作简谐运动的物体.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、例如一切发声体、心脏、海浪起伏、例如一切发声体、心脏、海浪起伏、例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等地震以及晶体中原子的振

3、动等地震以及晶体中原子的振动等地震以及晶体中原子的振动等.简谐运动复杂振动复杂振动复杂振动复杂振动合成分解11.1 简谐振动振动发声的乐器第3页，本讲稿共43页11.1.1 简谐振动的特征弹性系数为弹性系数为弹性系数为弹性系数为k k的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为的轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为mm的的的的物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为物体，这样的弹簧和物体构成的系统称为弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物

4、体所受的阻力忽略不计。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。把弹簧振子置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在设在设在设在OO点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称OO点点点点为为为为平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置。(1)以弹簧振动系统为例以弹簧振动系统为例以弹簧振动系统为例以弹簧振动系统为例演示演示第4页，本讲稿共43页定义定义：弹性力：弹性力：弹性力：弹性力F F的方向始终指向平衡位

5、置，称为的方向始终指向平衡位置，称为的方向始终指向平衡位置，称为的方向始终指向平衡位置，称为回复力回复力回复力回复力。定义定义：物体受力：物体受力：物体受力：物体受力F F与位移与位移与位移与位移x x成正比反向运动称为成正比反向运动称为成正比反向运动称为成正比反向运动称为简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动。(2)动力学特征动力学特征动力学特征动力学特征u u上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是上式反映了弹簧振子振动过程中的动力学特征，它是简谐简谐振动的动力学方程振动的动力学方程。演示演示对于一

6、个给定的弹簧振对于一个给定的弹簧振对于一个给定的弹簧振对于一个给定的弹簧振子，子，子，子，k k和和和和mm都是正值常都是正值常都是正值常都是正值常量，它们的比值可以用量，它们的比值可以用量，它们的比值可以用量，它们的比值可以用一个常量一个常量一个常量一个常量 2 2表示，即表示，即表示，即表示，即第5页，本讲稿共43页简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程反映的是简谐振动本质，当任何物反映的是简谐振动本质，当任何物反映的是简谐振动本质，当任何物反映的是简谐振动本质，当任何物理系统作简谐振动时，描述系统的物理量（如电流、电场理系统作简谐振动时，描述系统的物理量（如电流、电场理系统作简谐振动时

7、，描述系统的物理量（如电流、电场理系统作简谐振动时，描述系统的物理量（如电流、电场强度等）都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。强度等）都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。强度等）都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。强度等）都会满足上式，所以它也是简谐振动的定义式。(3)3)简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的运动方程(4)简谐运动速度、加速度简谐运动速度、加速度简谐运动速度、加速度简谐运动速度、加速度第6页，本讲稿共43页取取取

8、取(5)振动曲线振动曲线振动曲线振动曲线图图图第7页，本讲稿共43页 从受力角度来看从受力角度来看从受力角度来看从受力角度来看动力学特征动力学特征动力学特征动力学特征 从加速度角度来看从加速度角度来看从加速度角度来看从加速度角度来看运动学特征运动学特征运动学特征运动学特征 从位移角度来看从位移角度来看从位移角度来看从位移角度来看运动学特征运动学特征运动学特征运动学特征 要要要要证明一个物体是否作简谐运动证明一个物体是否作简谐运动证明一个物体是否作简谐运动证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子，只要证明上面三个式子，只要证明上面三个式子，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个

9、可以推出另外两个；中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法最简单的方法最简单的方法最简单的方法就是受力方就是受力方就是受力方就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。(6)总结、简谐运动的特点总结、简谐运动的特点总结、简谐运动的特点总结、简谐

10、运动的特点第8页，本讲稿共43页例例例例1 1：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。解解解解：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：两边取时间的微分：两边取时间的微分：两边取时间的微分：两边取时间的微分：此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的

11、小角度运动为简谐振动。小角度运动为简谐振动。小角度运动为简谐振动。小角度运动为简谐振动。第9页，本讲稿共43页例例例例2 2 一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为mm的物体。的物体。的物体。的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，今将物体向下拉一段距离后再放开，今将物体向下拉一段距离后再放开，今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。证明物体将作简谐振动。证明物体将作简谐振动。证明物体将作简谐振动。因此因此因此因此 ,此振动为简谐振此振动为简谐振此振动为简谐振此振动为简谐振动

12、。动。动。动。以平衡位置以平衡位置以平衡位置以平衡位置OO为原点为原点为原点为原点弹簧原长挂m后伸长某时刻m位置伸 长受弹力平衡位置解：求平衡位置解：求平衡位置解：求平衡位置解：求平衡位置第10页，本讲稿共43页11.2 描述简谐振动的物理量(1)振幅振幅(2)周期、频率与角频率周期、频率与角频率定义定义：物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期：物体作一次完全振动所经历的时间为振动的周期T。定义定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的：单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的频率频率。定义：定义：作简谐运动的物体离开平作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为衡位置的

13、最大位移的绝对值称为振幅。振幅。因为每经过一个周期，振动状态就完全重复一次，所以有因为每经过一个周期，振动状态就完全重复一次，所以有由上式得到由上式得到即即第11页，本讲稿共43页周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之为为固有周期固有周期和和固有频率固有频率。动物的心跳（次动物的心跳（次/分）分）昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz）定义：定义：表示物体在表示物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，称秒时间内所作的完全振动的次数，称为振动的为振动的角频率角频率。例如对于弹簧振子例如对于弹簧振子，因此弹簧振子的周期和频率分别

14、为第12页，本讲稿共43页(3)相位和初相简谐振动：简谐振动：可见，当振幅可见，当振幅 A 和角频率和角频率 给定时，物体在给定时，物体在 t 时刻的位置时刻的位置和速度完全由和速度完全由t+来确定。来确定。定义定义：t+是确定简谐运动状态的物理量，称之为是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位相位。在在t=0时，相位为时，相位为，称为初相位，简称，称为初相位，简称初相初相，它是决定初，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。始时刻物体运动状态的物理量。txOA-A=2 相位概念的重要性体现在相位能充分体现简谐振动的周期性。相位概念的重要性体现在相位能充分体现简谐振动的周期性。第13页，本讲稿共4

15、3页txvw t+j0A00T/40-w Ap/2T/2-A0pTA02p(4)振动过程中物体的状态与相位关系振动过程中物体的状态与相位关系在一次全振动中，不同的运动在一次全振动中，不同的运动状态都对应着一个在状态都对应着一个在02 内内的相位值。的相位值。设有两个简谐振动设有两个简谐振动相位差为相位差为(5)相位差相位差 t xOA1-A1A2-A2x1x2 ，x2比x1早达到正最大,称第二个简谐振动比第一个简谐振动超前;同理，则称第二个简谐振动比第一个简谐振动落后。第14页，本讲稿共43页可见，相位概念的重要性还在于可见，相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在比较两个简谐振动之间在“

16、步调步调”上的差异上的差异。两个简谐振动两个简谐振动同相同相两个简谐振动两个简谐振动反向反向txoA1-A1A2-A2x1x2T同相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相-A1第15页，本讲稿共43页(6)振幅和初相的确定初相初相:所在的象限可以由所在的象限可以由x0和和v0的方向来决定的方向来决定:取值在第取值在第象限象限取值在第取值在第象限象限取值在第取值在第象限象限取值在第取值在第象限象限第16页，本讲稿共43页比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？

17、讨论：讨论：讨论：讨论：第17页，本讲稿共43页11.2 旋转矢量法11.2.1 旋转矢量图示法 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量A，使它的模等于振动的振幅，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量，并使矢量 A在在 Oxy 平面内绕平面内绕点点O作逆时针方向的匀角速转作逆时针方向的匀角速转动，其角速度动，其角速度与振动频率相与振动频率相等，这个矢量就叫做等，这个矢量就叫做旋转矢量旋转矢量.Rotation Vector 第18页，本讲稿共43页11.2.2 旋转矢量与简谐运动的关系第19页，本讲稿共43页M点运动在点运动在x轴投影，为简谐振动轴投影，为简谐振动的运动方程。的运动方程。M点

18、速度在点速度在x轴投影，为轴投影，为简简谐振动的谐振动的速度。速度。M点加速度在点加速度在x轴投影，为轴投影，为简简谐振谐振动的加速度。动的加速度。结论：结论：这种以一个匀速旋转的矢量这种以一个匀速旋转的矢量 A，在，在ox轴上的投影来表示轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法。简谐振动的方法，称为旋转矢量法。第20页，本讲稿共43页 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）11.2.3 旋转矢量的应用(1)用旋转矢量图画简谐运动的 图第21页，本讲稿共43页(2)旋转矢量法确定初位相。旋转矢量法确定初位相。在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象

19、限象限第22页，本讲稿共43页几种特殊位置初位相。几种特殊位置初位相。第23页，本讲稿共43页oxotxa/4abT/8bccddeeT/29T/8T旋转矢量法的优点旋转矢量法的优点把变速直线运动转化为匀速圆周运动把变速直线运动转化为匀速圆周运动利用该方法可方便地画出利用该方法可方便地画出x-t,v-t,a-t 图图可方便地比较两个振动的相位可方便地比较两个振动的相位,方便地求初相位方便地求初相位方便地进行两个振动的合成方便地进行两个振动的合成例例3 试画出试画出x=Acos(t+/4)的的x-t 图线图线第24页，本讲稿共43页例例例例4 4：简谐振动的：简谐振动的：简谐振动的：简谐振动的x

20、-tx-t曲线如右图所示，求振动方程。曲线如右图所示，求振动方程。曲线如右图所示，求振动方程。曲线如右图所示，求振动方程。解解解解:当当当当t=0t=0时：时：时：时：设振动方程为：设振动方程为：设振动方程为：设振动方程为：由振动曲线知：由振动曲线知：由振动曲线知：由振动曲线知：.初始条件法：初始条件法：初始条件法：初始条件法：当当当当t=2t=2时：时：时：时：.旋转矢量法：旋转矢量法：旋转矢量法：旋转矢量法：第25页，本讲稿共43页ox解解（1）先求角频率先求角频率、振幅、振幅A、初相位、初相位由旋转矢量图知由旋转矢量图知=0所以运动方程为：所以运动方程为：A例题例题5：一轻弹簧的右端连着

21、一物体：一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k=0.72N/m,物体的质量物体的质量m=20g.(1)把物体从平衡位置向右拉把物体从平衡位置向右拉到到x=0.05m 处停下后再释放处停下后再释放,求简谐运动方程求简谐运动方程;(2)求物体从求物体从初位置运动到第一次经过初位置运动到第一次经过A/2处时的速率处时的速率;(3)如果物体在如果物体在x=0.05m处时速度不等于零处时速度不等于零,而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度v0=0.30m/s,求其运动方程求其运动方程.第26页，本讲稿共43页(2)求求A/2处的速度处的速度由运动方程由运动方程由旋转矢量图知第一次

22、经过由旋转矢量图知第一次经过A/2oxAA/2/3A(3)因因x0=0.05m,v0=0.3m/s又又 v0=Asin 0设设 x=A cos(6 t+)t=0 时时 x0=A cos 即：即：0.05=0.07cos所以所以 取取/4oxA-/4第27页，本讲稿共43页11.3 简谐振动的能量(1)动能动能(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)O x X11.3.1 简谐振动的能量简谐振动的能量(2)势能势能(3)机械能机械能简谐振动的能量与振幅的二次方成正比，这一点对于任一简简谐振动的能量与振幅的二次方成正比，这一点对于任一简谐运动系统都是成立的。振幅不仅描述了简谐振动的振动范谐运动系统都是成立

23、的。振幅不仅描述了简谐振动的振动范围，也表征了振动系统总能量的大小。围，也表征了振动系统总能量的大小。The energy simple harmonic vibration 第28页，本讲稿共43页11.3.2 简谐运动能量曲线4T2T43T能量第29页，本讲稿共43页简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变从势能曲线上看出从势能曲线上看出,势能曲线为势能曲线为一抛物线；系统的总能量守恒，一抛物线；系统的总能量守恒，为一水平直线；系统的动能为总为一水平直线；系统的动能为总能量与势能之差。能量与势能之差。能量守恒简谐运动方程推导(3)应用应用第30页，本讲稿共43页例例6：如图：如

24、图,弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数k=25N/m，物块，物块m1=0.6kg，物块，物块 m2=0.4kg，m1与与m2间最大静摩擦系数为间最大静摩擦系数为=0.5，m1与地面间与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，任其自由振动，使在振是光滑的。现将物块拉离平衡位置，任其自由振动，使在振动中动中m2不致从不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。多少。解：若解：若m2不从不从m1上滑落，则上滑落，则m1 与与 m2要具有相同的加速度。要具有相同的加速度。其最大加速度可表示为其最大加速度可表示为 amax=A2 (1)同时同时m2不从不从m1上落

25、下应满足上落下应满足由上式可得最大加速度应为由上式可得最大加速度应为 amax=g (2)联立联立(1)及及(2)两式，可得两式，可得把把A代入简谐振动能量表达式代入简谐振动能量表达式第31页，本讲稿共43页1.4.1 同方向同频率谐振动的合成(1)解析法解析法分振动分振动:合振动合振动:结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动演示11.4 一维简谐振动的合成 拍现象第32页，本讲稿共43页(2)旋转矢量合成法旋转矢量合成法讨论讨论:则则 A=A1+A2,两分振动两分振动相互加强相互加强，当，当 A1=A2 时时,A=2A1则则A=|A1-A2|,两分振动两分振动相互减弱相互减弱

26、，当，当 A1=A2 时时,A=0若两分振动同相若两分振动同相,即即 2 1=2k (k=0,1,2,)若两分振动反相若两分振动反相,即即 2 1=(2k+1)(k=0,1,2,)第33页，本讲稿共43页若两分振动同相，即当当 A1=A2 时时,A=2A1(3)讨论:第34页，本讲稿共43页若两分振动反相当当 A1=A2 时时,A=0第35页，本讲稿共43页加强加强减弱减弱小结第36页，本讲稿共43页例例例例7 7：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动

27、的振动方程。振动方程。振动方程。振动方程。解解解解:设合振动方程为：设合振动方程为：设合振动方程为：设合振动方程为：由图可知两个分振动反相，则由图可知两个分振动反相，则由图可知两个分振动反相，则由图可知两个分振动反相，则由于由于由于由于 ，则则则则第37页，本讲稿共43页分振动分振动11.4.2 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成 拍拍合振动合振动 合矢量合矢量A的大小也随时间而变化，并且以不恒定的角速度旋的大小也随时间而变化，并且以不恒定的角速度旋转，所以合矢量转，所以合矢量A在在x轴上的投影轴上的投影x=x1+x2不是做简谐运动不是做简谐运动.第38页，本讲稿共43页

28、为了简化起见，假定为了简化起见，假定且两个简谐振动的频率相差很小且两个简谐振动的频率相差很小令 则随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变其中 ，结论：结论：合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动可看作是振幅缓变的简谐振动。第39页，本讲稿共43页振幅 的变化从 2A0 0,可见合振动的振幅随时间发生周期性的变化，我们把这种现象称为拍。由 知拍发生的角频率为拍发生的角频率为又因为又因为 ，所以拍，所以拍频为频为拍频的数值等于两分振动拍频的数值等于两分振动频率之差。频率之差。第40页，本讲稿共43页例例例例6 6 6 6：两个完全相同的音叉，频率为两个完全相同的音叉，频率为两个完全相同的音叉，

29、频率为两个完全相同的音叉，频率为512Hz512Hz512Hz512Hz。其中一个缠上。其中一个缠上。其中一个缠上。其中一个缠上一圈铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这一圈铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这一圈铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这一圈铁丝，同时敲击两音叉，听到时大时小的嗡嗡声，这就是拍。若测的拍频为就是拍。若测的拍频为就是拍。若测的拍频为就是拍。若测的拍频为8Hz8Hz8Hz8Hz，求缠有铁丝的音叉的频率。，求缠有铁丝的音叉的频率。，求缠有铁丝的音叉的频率。，求缠有铁丝的音叉的频率。解解解解:音叉缠上铁丝，质量增大，惯音叉缠上铁丝，质量增大，惯音

30、叉缠上铁丝，质量增大，惯音叉缠上铁丝，质量增大，惯性变大，振动的变化就慢，所性变大，振动的变化就慢，所性变大，振动的变化就慢，所性变大，振动的变化就慢，所以音叉的频率变小。以音叉的频率变小。以音叉的频率变小。以音叉的频率变小。设标准音叉的频率为设标准音叉的频率为设标准音叉的频率为设标准音叉的频率为 2 2 2 2 ，缠有铁丝的音叉的频率缠有铁丝的音叉的频率缠有铁丝的音叉的频率缠有铁丝的音叉的频率为为为为 1 1 1 1 ，则有：，则有：，则有：，则有：第41页，本讲稿共43页两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图第42页，本讲稿共43页补充：弹簧的串并联1.1.弹簧的串联弹簧的串联弹簧的串联弹簧的串联k为系统的劲度系数，为系统的劲度系数，2.2.弹簧的并联弹簧的并联弹簧的并联弹簧的并联第43页，本讲稿共43页