第15章对策论优秀课件.ppt

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1、第15章对策论1第1页，本讲稿共39页第十五章 对策论 由“齐王赛马”引入2第2页，本讲稿共39页1 1 对策论的基本概念对策模型的三个基本要素：对策模型的三个基本要素：1.1.局中人局中人：参与对抗的各方；：参与对抗的各方；2.2.策略集：局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略集：局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策策略略；某局中人的所有可能策略全体称为；某局中人的所有可能策略全体称为策略集策略集；3.3.一局势对策的益损值：局中人各自使用一个对策就形一局势对策的益损值：局中人各自使用一个对策就形成了成了一个局势一个局势，一个局势决定了各局中人的对策结果（量，一个局势决定了各局中人的

2、对策结果（量化）称为该局势对策的化）称为该局势对策的益损值益损值。3第3页，本讲稿共39页“齐王赛马齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）1 1 对策论的基本概念4第4页，本讲稿共39页其中：齐王的策略集其中：齐王的策略集:S1=1,2,3,4,5,6，田忌的策略集：田忌的策略集：S2=1,2,3,4,5,6。下面矩阵称齐王的下面矩阵称齐王的赢得矩阵赢得矩阵：3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 A=1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 对策论的基本概念5第5

3、页，本讲稿共39页二人有限零和对策二人有限零和对策（又称（又称矩阵对策矩阵对策）：）：局中人为局中人为2 2；每个局中人的策略集的策略数目都是有限；每个局中人的策略集的策略数目都是有限的；每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的；每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的两个局中人的益损值之和为零。的两个局中人的益损值之和为零。通常将矩阵对策记为通常将矩阵对策记为:G=S1,S2,A S1：甲的策略集；：甲的策略集；S2：乙的策略集；：乙的策略集；A：甲的赢得矩阵。甲的赢得矩阵。“齐王赛马齐王赛马”是一个矩阵策略。是一个矩阵策略。1 1 对策论的基本概念6第6页，本讲稿共39页在

4、甲方的赢得矩阵中：在甲方的赢得矩阵中：A=aijmni 行代表甲方策略行代表甲方策略 i=1,2,m；j 行代表乙方策略行代表乙方策略 j=1,2,n；aij 代表甲方取策略代表甲方取策略 i，乙方取策略乙方取策略 j，这一局势下甲方的益损值。此时乙这一局势下甲方的益损值。此时乙方的益损值为方的益损值为-aij（零和性质）。（零和性质）。在考虑各方采用的策略时，必须注意一个前提，就是双方都是在考虑各方采用的策略时，必须注意一个前提，就是双方都是理智的，即双方都是从各自可能出现的最不利的情形选择一种最为理智的，即双方都是从各自可能出现的最不利的情形选择一种最为有利的情况作为决策的依据。有利的情况

5、作为决策的依据。2 2 矩阵对策的最优纯策略矩阵对策的最优纯策略2 2 矩阵对策的最优纯策略矩阵对策的最优纯策略7第7页，本讲稿共39页 例：甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每队由三名球员组成，双方都可例：甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每队由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看作一种策略，双方各选一种策略排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看作一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得1 1分，输者得分，输者得-1-1分，可知三赛三胜分，可知三赛三胜得得3 3分，三赛二胜得分，三赛二胜得1 1分，三赛一胜得分，三赛一胜得-1-1

6、分，三赛三负得分，三赛三负得-3-3分。甲队的策略分。甲队的策略集为集为S S1 1=1 1，2 2，3 3，乙队的策略集为，乙队的策略集为S S2 2=1 1，2 2，3 3。根据以往比赛的。根据以往比赛的资料，有甲队的赢得矩阵为资料，有甲队的赢得矩阵为A A，如下所示，如下所示，请问这次比赛各队采用哪种阵容上场最为稳妥请问这次比赛各队采用哪种阵容上场最为稳妥?2 2 矩阵对策的最优纯策略矩阵对策的最优纯策略8第8页，本讲稿共39页矩阵矩阵A A中每行的最小元素分别为中每行的最小元素分别为1 1，-3-3，-1-1。在这些最少赢得中最好的结果是在这些最少赢得中最好的结果是1 1，故甲队会采取

7、策略，故甲队会采取策略 1 1，无论对手采取，无论对手采取何策略，甲队至少得何策略，甲队至少得1 1分。对于乙队，分。对于乙队，1 1，2 2，3 3 可能带来的最少赢得，即可能带来的最少赢得，即A A中每中每列的最大元素，分别为列的最大元素，分别为3 3，1 1，3 3。乙队会采取。乙队会采取 2 2策略，确保甲队不会超过策略，确保甲队不会超过1 1分。分。1 1和和 2 2分别称为局中人甲队、乙队的最优策略。由于双方必然选择这一种策略，所以，分别称为局中人甲队、乙队的最优策略。由于双方必然选择这一种策略，所以，这种策略又称为最优纯策略。这种策略又称为最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵

8、这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=A=（a aijij）中等式）中等式 成立时，双方才有最优纯策略，并把（成立时，双方才有最优纯策略，并把（1 1,2 2）称为对策）称为对策G G在纯策略下的解，又称在纯策略下的解，又称（1 1,2 2）为对策）为对策G G的鞍点。把其值的鞍点。把其值V V称之为对策称之为对策G=SG=S1 1，S S2 2，AA的值。的值。2 2 矩阵对策的最优纯策略矩阵对策的最优纯策略9第9页，本讲稿共39页 例例 某单位采购员在秋天决定冬季取暖用煤的储量问题，已知在某单位采购员在秋天决定冬季取暖用煤的储量问题，已知在正常的冬季气温条件下要消耗正常的冬季气温条件下要消耗15

9、15吨煤，在较暖和较冷的天气下要消耗吨煤，在较暖和较冷的天气下要消耗1010吨和吨和2020吨。假定冬天的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖和、吨。假定冬天的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖和、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为1010元、元、1515元、元、2020元。又设冬元。又设冬季时煤炭价格为每吨季时煤炭价格为每吨1010元。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条元。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋天储煤多少吨能使得单位的支出最少？件下，秋天储煤多少吨能使得单位的支出最少？解：局中人解：局中人I I为采购员，局中人为采购员，局中人I

10、III为大自然，采购员有三个策略，买为大自然，采购员有三个策略，买1010吨、吨、1515吨、吨、2020吨。分别记为吨。分别记为 1 1，2 2，3 3。大自然也有三个策略：暖、正。大自然也有三个策略：暖、正常、冷，分别记为常、冷，分别记为 1 1，2 2，3 3。2 2 矩阵对策的最优纯策略矩阵对策的最优纯策略10第10页，本讲稿共39页赢得矩阵如下：赢得矩阵如下：在此表上计算，有在此表上计算，有 得得故（故（3 3，3 3）为对策）为对策G G的解，的解，V VG G=-200=-200。1231(10吨）-100-175-3002(15吨）-150-150-2503(20吨）-200-

11、200-200123min1(10吨）-100-175-300-3002(15吨）-150-150-250-2503(20吨）-200-200-200-200*max-100-150-200*2 2 矩阵对策的最优纯策略矩阵对策的最优纯策略11第11页，本讲稿共39页 设矩阵对策设矩阵对策 G=S1,S2,A。当当 max min aij min max aij i j j i时，不存在最优纯策略。时，不存在最优纯策略。例：设一个赢得矩阵如下例：设一个赢得矩阵如下:min min 5 9 5 5 9 5 A=max 6 =max 6 策略策略 2 8 6 6 8 6 6 i i max 8 9

12、 max 8 9 min 8 min 8 策略策略 1 j j3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略12第12页，本讲稿共39页 当甲取当甲取策略策略 2 2，乙取，乙取策略策略 1 1时，甲实际赢得时，甲实际赢得8比预期的多比预期的多2 2，乙当然，乙当然不满意。考虑到甲可能取不满意。考虑到甲可能取策略策略 2 2这一点，乙采取策略这一点，乙采取策略 2 2。若甲也分析到。若甲也分析到乙乙可能采取策略可能采取策略 2 2这一点，取策略这一点，取策略 1 1，则赢得更多为则赢得更多为9 9 。此时，对两个局中。此时，对两个局中人甲、乙来说，没有一个双方均可接受的平衡局势，其主要原因是甲和

13、乙没有执人甲、乙来说，没有一个双方均可接受的平衡局势，其主要原因是甲和乙没有执行上述原则的共同基础，即行上述原则的共同基础，即 max min aij min max aij。i j j i 一个自然的想法：对甲（乙）给出一个选取不同策略的概率分布，以一个自然的想法：对甲（乙）给出一个选取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各种情况下的平均赢得（损失）最多（最少）使甲（乙）在各种情况下的平均赢得（损失）最多（最少）-即混合即混合策略。策略。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略13第13页，本讲稿共39页 求解求解混合策略的混合策略的问题有问题有图解法、迭代法、线性方程法和线性规划法图解法

14、、迭代法、线性方程法和线性规划法等，我们这里只介绍等，我们这里只介绍线性规划法线性规划法，其他方法略。，其他方法略。例：设甲使用策略例：设甲使用策略 1 1的概率为的概率为X1 1，使用策略，使用策略 2 2的概率为的概率为X2 ，并设在最，并设在最坏的情况下，甲赢得的平均值为坏的情况下，甲赢得的平均值为V（未知）。（未知）。5 9 A=STEP 1 8 6 1)1)X1+X2=1 X1,X2 0 3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略14第14页，本讲稿共39页2)2)无论乙取何策略，甲的平均赢得应不少于无论乙取何策略，甲的平均赢得应不少于V:V:对乙取对乙取 1 1：5X 5X1 1

15、+8X+8X2 2 V V对乙取对乙取 2 2：9X 9X1 1+6X+6X2 2 V V注意注意 V0,V0,因为因为A A各元素为正。各元素为正。STEP 2 STEP 2 作变换：作变换：X X1 1=X=X1 1/V;X/V;X2 2=X=X2 2/V/V得到上述关系式变为：得到上述关系式变为：X X1 1+X+X2 2=1/V (V=1/V (V愈大愈好）待定愈大愈好）待定 5X 5X1 1+8X+8X2 2 1 1 9X 9X1 1+6X+6X2 2 1 1 X X1 1,X,X2 2 0 03 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略15第15页，本讲稿共39页建立线性模型：建立

16、线性模型：min X min X1 1+X+X2 2 s.t.5Xs.t.5X1 1+8X+8X2 2 1 1 X X1 1=1/21=1/21 9 9X X1 1+6X+6X2 2 1 1 X X2 2=2/21=2/21 X X1 1,X,X2 2 0 1/V=0 1/V=X X1 1+X+X2 2=1/7=1/7 所以，所以，V=7 V=7 返回原问题：返回原问题：X X1 1=X X1 1V=1/3V=1/3 X X2 2=X X2 2V=2/3V=2/3于是甲的最优混合策略为：于是甲的最优混合策略为：以以1/31/3的概率选的概率选 1 1，以以2/32/3的概率选的概率选 2 2，

17、最优值，最优值V=7V=7。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略16第16页，本讲稿共39页 同样可求乙的最优混合策略：同样可求乙的最优混合策略：设乙使用策略设乙使用策略 1 1的概率为的概率为Y Y1 1 Y Y1 1+Y+Y2 2=1=1设乙使用策略设乙使用策略 2 2的概率为的概率为Y Y2 2 Y Y1 1,Y,Y2 2 0 0 设在最坏的情况下，甲赢得的平均值为设在最坏的情况下，甲赢得的平均值为V V。这也是乙损失的平均值，越小越好。这也是乙损失的平均值，越小越好。作变换：作变换：Y Y1 1=Y=Y1 1/V/V，Y Y2 2=Y=Y2 2/V/V 建立线性模型：建立线性模

18、型：max Y max Y1 1+Y+Y2 2 s.t.5Ys.t.5Y1 1+9Y+9Y2 2 1 1 Y Y1 1=1/14=1/14 8 8Y Y1 1+6Y+6Y2 2 1 1 Y Y2 2=1/14=1/14 Y Y1 1,Y,Y2 2 0 1/V=0 1/V=Y Y1 1+Y+Y2 2=1/7=1/7 所以，所以，V=7 V=7 3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略17第17页，本讲稿共39页返回原问题：返回原问题：Y1=Y1V=1/2 Y2=Y2V=1/2于是乙的最优混合策略为：于是乙的最优混合策略为：以以 的概率选的概率选 1 1；以以 的概率选的概率选 2 2，最优值

19、，最优值 V=7。当赢得矩阵中有非正元素时，当赢得矩阵中有非正元素时，V 0 的条件不一定成立，可以作下列的条件不一定成立，可以作下列变换：变换：选一正数选一正数 k，令矩阵中每一元素加上，令矩阵中每一元素加上 k 得到新的正矩阵得到新的正矩阵A A，其对应，其对应的矩阵对策的矩阵对策G G=S=S1 1,S,S2 2,A,A 与与 G=S G=S1 1,S,S2 2,A,A 解相同，但解相同，但VG=VG k。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略18第18页，本讲稿共39页例例：求解：求解“齐王赛马齐王赛马”问题。问题。已知齐王的赢得矩阵已知齐王的赢得矩阵A A求得求得故不存在纯策略

20、问题下的解，可求其混合策略。故不存在纯策略问题下的解，可求其混合策略。A A中有负元素，可以取中有负元素，可以取k=2,k=2,在在A A的每个元素上加的每个元素上加2 2得到得到A A如下：如下：3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略19第19页，本讲稿共39页 建立对建立对G G=S=S1 1，S S2 2，A A 中求甲方最佳策略的线性规划如下：中求甲方最佳策略的线性规划如下：Min x Min x1 1+x+x2 2+x+x3 3+x+x4 4+x+x5 5+x+x6 6 约束条件：约束条件：5x 5x1 1+3x+3x2 2+3x+3x3 3+x+x4 4+3x+3x5 5+3

21、x+3x6 6 11 3x 3x1 1+5x+5x2 2+x+x3 3+3x+3x4 4+3x+3x5 5+3x+3x6 6 11 3x 3x1 1+3x+3x2 2+5x+5x3 3+3x+3x4 4+3x+3x5 5+x+x6 6 11 3x 3x1 1+3x+3x2 2+3x+3x3 3+5x+5x4 4+x+x5 5+3x+3x6 6 11 x x1 1+3x+3x2 2+3x+3x3 3+3x+3x4 4+5x+5x5 5+3x+3x6 6 11 3x 3x1 1+x+x2 2+3x+3x3 3+3x+3x4 4+3x+3x5 5+5x+5x6 6 11 x xi i 0,i=1,2

22、,0,i=1,2,6,6 可解得解为：可解得解为：x x1 1=x=x4 4=x=x5 5=0,x=0,x2 2=x=x3 3=x=x6 6=0.111,v=0.111,v=3,x=3,x1 1=x=x4 4=x=x5 5=0=0，x x2 2=x=x3 3=x=x6 6=1/3,=1/3,即即X X*=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T T，所以甲的最优策略为作出策略，所以甲的最优策略为作出策略 2 2、3 3、6 6的概率都为的概率都为0.333,0.333,而作出而作出 1 1、4 4、5 5 的概率为的概率为0 0，此时，此时V VG G=

23、V=V=3=3。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略20第20页，本讲稿共39页 同样可以建立对策同样可以建立对策G G=S=S1 1，S S2 2，A A 中求乙方最佳策略的线性规划如下：中求乙方最佳策略的线性规划如下：Min y Min y1 1+y+y2 2+y+y3 3+y+y4 4+y+y5 5+y+y6 6 约束条件：约束条件：5y 5y1 1+3y+3y2 2+3y+3y3 3+3y+3y4 4+y+y5 5+3y+3y6 6 11 3y 3y1 1+5y+5y2 2+3y+3y3 3+3y+3y4 4+3y+3y5 5+y+y6 6 11 3y 3y1 1+y+y2 2

24、+5y+5y3 3+3y+3y4 4+3y+3y5 5+3y+3y6 6 11 y y1 1+3y+3y2 2+3y+3y3 3+5y+5y4 4+3y+3y5 5+3y+3y6 6 11 3y 3y1 1+3y+3y2 2+3y+3y3 3+y+y4 4+5y+5y5 5+3y+3y6 6 11 3y 3y1 1+3y+3y2 2+y+y3 3+3y+3y4 4+3y+3y5 5+5y+5y6 6 11 y yi i0,i=1,2,0,i=1,2,6,6 可解得解为：可解得解为：y y1 1=y=y4 4=y=y5 5=0.111,y=0.111,y2 2=y=y3 3=y=y6 6=0,v

25、=0,v=3,y=3,y1 1=y=y4 4=y=y5 5=1/3=1/3，y y2 2=y=y3 3=y=y6 6=0=0，即，即Y Y*=(1/3,0,0,1/3,1/3,0)=(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T T。所以田忌的最优混合策略为作出策略所以田忌的最优混合策略为作出策略 1 1、4 4、5 5的概率都为的概率都为1/3,1/3,而作出而作出 2 2，3 3，6 6的概率为的概率为0 0，此时，此时V VG G=V=VG G-k=1-k=1。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略21第21页，本讲稿共39页 齐王赛马问题的对策最优解可简记为齐王赛马问题的对策最优解可简

26、记为X X*=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T T，Y Y*=(1/3,0,0,1/3,1/3,0)(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T T，对策值，对策值V VG G=1=1。例例 两个局中人进行对策，规则是两人互相独立的各自从两个局中人进行对策，规则是两人互相独立的各自从1 1、2 2、3 3这三个数字中任这三个数字中任意选写一个数字。如果两人所写的数字之和为偶数，则局中人乙支付给局中人甲意选写一个数字。如果两人所写的数字之和为偶数，则局中人乙支付给局中人甲以数量为此和数的报酬；如果两人所写数字之和为奇数，则局中人甲付给局中人以数量为此和数

27、的报酬；如果两人所写数字之和为奇数，则局中人甲付给局中人乙以数量为此和数的报酬。试求出其最优策略。乙以数量为此和数的报酬。试求出其最优策略。解：首先计算局中人甲的赢得矩阵如下表：解：首先计算局中人甲的赢得矩阵如下表：4-56-34-52-34 1 1（出（出1 1）2 2（出（出2 2）3 3（出（出3 3）3 3（出（出3 3）2 2（出（出2 2）1 1（出（出1 1）甲的赢甲的赢 得得甲的策略甲的策略3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略乙的策略22第22页，本讲稿共39页即甲的赢得矩阵为即甲的赢得矩阵为A A：可知无纯策略意义的解，下面求其在混合策略下的解。可知无纯策略意义的解，

28、下面求其在混合策略下的解。A A的各元素都加上的各元素都加上6 6，得到，得到建立线性规划模型如下：建立线性规划模型如下：Min x Min x1 1+x+x2 2+x+x3 3 Max yMax y1 1+y+y2 2+y+y3 3 S.T.8xS.T.8x1 1+3x+3x2 2+10 x+10 x3 3 1 8y1 8y1 1+3y+3y2 2+10y+10y3 311 3x 3x1 1+10 x+10 x2 2+x+x3 3 1 3y1 3y1 1+10y+10y2 2+y+y3 3 11 10 x 10 x1 1+x+x2 2+12x+12x3 3 1 10y1 10y1 1+y+y

29、2 2+12y+12y3 311 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3 0 y0 y1 1,y,y2 2,y,y3 3 00 3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略23第23页，本讲稿共39页得到得到x x1 1=0.25,x=0.25,x2 2=0.50,x=0.50,x3 3=0.25=0.25；y y1 1=0.25,y=0.25,y2 2=0.50,y=0.50,y3 3=0.25=0.25。即此对策的解为即此对策的解为X X*=(0.25,0.50,0.25)=(0.25,0.50,0.25)T T，Y Y*=(0.25,0.50,0.25)=(0.25,0.50,0.25

30、)T T。V VG G=V=VG G-k=0-k=0。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略24第24页，本讲稿共39页例例4 4 甲乙两个企业生产同一种电子产品，甲企业可以采取的策略措施有甲乙两个企业生产同一种电子产品，甲企业可以采取的策略措施有:(1)(1)降低产品价降低产品价格；格；(2)(2)提高产品质量；提高产品质量；(3)(3)推出新产品。乙企业考虑采取的策略措施有推出新产品。乙企业考虑采取的策略措施有(1)(1)增增加广告费用；加广告费用；(2)(2)增设维修网点，加强售后服务；增设维修网点，加强售后服务；(3)(3)改进产品性能。由于甲改进产品性能。由于甲乙两个企业财力有

31、限，都只能采取一个措施。假定这两个企业所占有的市场乙两个企业财力有限，都只能采取一个措施。假定这两个企业所占有的市场总份额一定，由于各自采取的措施不同，通过预测今后两个企业的市场占有总份额一定，由于各自采取的措施不同，通过预测今后两个企业的市场占有份额变动情况如下表，试求出这两个企业各自的最优策略。份额变动情况如下表，试求出这两个企业各自的最优策略。3-58-6510108-12 1 1（措施（措施1 1）2 2（措施（措施2 2）3 3（措施（措施3 3）3 3（措施（措施3 3）2 2（措施（措施2 2）1 1（措施（措施1 1）3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略甲的赢甲的赢 得

32、得甲的策略甲的策略乙的策略25第25页，本讲稿共39页解：解：易知此对策无纯策略意义下的解。把易知此对策无纯策略意义下的解。把A A的每一个元素加上的每一个元素加上1212，得到，得到A A建立线性规划模型如下：建立线性规划模型如下：Min x Min x1 1+x+x2 2+x+x3 3 Max yMax y1 1+y+y2 2+y+y3 3 S.T.22xS.T.22x1 1+20 x+20 x2 21 22y1 22y1 1+6y+6y2 2+15y+15y3 3 11 6x 6x1 1+17x+17x2 2+22x+22x3 3 1 20y1 20y1 1+17y+17y2 2+7y+

33、7y3 3 11 15x 15x1 1+7x+7x2 2+20 x+20 x3 3 1 22y1 22y2 2+20y+20y3 3 11 x x1 1,x,x2 2,x,x3 30 y0 y1 1,y,y2 2,y,y3 300得到：得到：x x1 1=0.027,x=0.027,x2 2=0.020,x=0.020,x3 3=0.023=0.023；y y1 1=0.0225,y=0.0225,y2 2=0.0225,y=0.0225,y3 3=0.025=0.025。V=14.29V=14.29。x x1 1=0.3858,x=0.3858,x2 2=0.2858,x=0.2858,x3

34、 3=0.3286=0.3286；y y1 1=0.3215,y=0.3215,y2 2=0.3215,y=0.3215,y3 3=0.3572=0.3572。即此对策的解为即此对策的解为 X X*=(0.3858,0.2858,0.3286)=(0.3858,0.2858,0.3286)T T,Y,Y*=(0.3215,0.3215,0.3572)=(0.3215,0.3215,0.3572)T T。V VG G=V=VG G-k=2.29-k=2.29。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略26第26页，本讲稿共39页优超原则：优超原则：假设假设矩阵对策矩阵对策 G=SG=S1 1,

35、S,S2 2,A,A 甲方赢得矩阵甲方赢得矩阵 A=a A=aijij m m n n若存在两行（列），若存在两行（列），s s 行（列）的各元素均优于行（列）的各元素均优于 t t 行（列）的元素，即行（列）的元素，即a asjsj a atj tj j=1,2 j=1,2 n (a n (ais is a ait it i=1,2 i=1,2 m)m)称甲方策略称甲方策略 s s优超于优超于 t t(s s优超于优超于 t t)。优超原则优超原则：当局中人甲方的策略：当局中人甲方的策略 t t被其它策略所被其它策略所优超时，可在其赢得优超时，可在其赢得矩阵矩阵A A中划去第中划去第t t行

36、（同理，当局中人乙方的策略行（同理，当局中人乙方的策略 t t被其它策略所被其它策略所优超时，可优超时，可在矩阵在矩阵A A中划去第中划去第t t列）。列）。如此得到阶数较小的赢得矩阵如此得到阶数较小的赢得矩阵A A，其对应的矩阵对策其对应的矩阵对策G=S1,S2,A 与与 G=S1,S2,A 等价，即解相同。等价，即解相同。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略27第27页，本讲稿共39页例例.设设甲方的益损值，赢得矩阵为甲方的益损值，赢得矩阵为 3 2 0 3 0 被第被第3 3、4 4行所优超行所优超 5 0 2 5 9 被第被第3 3行所优超行所优超A=7 3 9 5 9 4 6

37、 8 7 5.5 6 0 8 8 3得到得到 7 3 9 5 9 被第被第1 1列所优超列所优超A1=4 6 8 7 5.5 被第被第2 2列所优超列所优超 6 0 8 8 33 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略28第28页，本讲稿共39页得到得到 7 3 9 A2=4 6 5.5 6 0 3 被第被第1 1行所优超行所优超得到得到 7 3 9 被第被第1 1列所优超列所优超 A3=4 6 5.5 7 3最终得到最终得到 A4=4 6 3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略29第29页，本讲稿共39页对对A A4 4计算，用线性规划方法得到：计算，用线性规划方法得到：（注意：余下

38、的策略为（注意：余下的策略为 3 3，4 4，1 1，2 2）甲：甲：X*=(0，0，1/15，2/15，0)T V=5 X*=(0，0，1/3，2/3，0)T 乙：乙：Y*=(1/10，1/10，0，0，0)T V=5 Y*=(1/2，1/2，0，0，0)T。注：注：利用优超原则化简赢得矩阵时，有可能将原对策问题的解也划去一利用优超原则化简赢得矩阵时，有可能将原对策问题的解也划去一些（多解情况）；些（多解情况）；线性规划求解时有可能是多解问题。线性规划求解时有可能是多解问题。3 3 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略30第30页，本讲稿共39页 4 4 其他类型的对策论简介其他类型的对策论

39、简介 在对策论中可以根据不同方式对对策问题进行分类，通常分类的方式有（1）根据局中人的个数，分为二人对策和多人对策；（2）根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零，可分为零和对策和非零和对策；（3）根据局中人是否合作，又可分为合作对策和非合作对策；（4）根据局中人的策略集中个数，又分为有限对策和无限对策（或连续对策）；（5）也可根据局中人掌握信息的情况及决策选择是否和时间有关可分为完全信息静态对策、完全信息动态对策、非完全信息静态对策及非完全信息动态对策；也可以根据对策模型的数字特征又分为矩阵对策、连续对策、微分对策、阵地对策、凸对策、随机对策。本节只对对策论中非合作对策的完全信息对策、多人非合

40、作对策、非零和对策作一个简单的叙述性介绍。31第31页，本讲稿共39页 4 4 其他类型的对策论简介其他类型的对策论简介一、完全信息静态对策一、完全信息静态对策 该对策是指掌握了参与人的特征、战略空间、支付函数等知识和信息并且参与人同时选该对策是指掌握了参与人的特征、战略空间、支付函数等知识和信息并且参与人同时选择行动方案或虽非同时但后行动者并不知道前行动者采取了什么行动方案。择行动方案或虽非同时但后行动者并不知道前行动者采取了什么行动方案。纳什均衡是一个重要概念。在一个战略组合中，给定其他参与者战略的情况下，任何参纳什均衡是一个重要概念。在一个战略组合中，给定其他参与者战略的情况下，任何参与

41、者都不愿意脱离这个组合，或者说打破这个僵局，这种均衡就称为与者都不愿意脱离这个组合，或者说打破这个僵局，这种均衡就称为纳什均衡纳什均衡。下面以著。下面以著名的名的“囚徒困境囚徒困境”来进一步阐述。来进一步阐述。例例1“1“囚徒困境囚徒困境”说的是两个囚犯的故事。这两个囚徒一起做坏事，结果被警察发现抓了起来，分说的是两个囚犯的故事。这两个囚徒一起做坏事，结果被警察发现抓了起来，分别关在两个独立的不能互通信息的牢房里进行审讯。在这种情形下，两个囚犯都可以做出自己的选择：别关在两个独立的不能互通信息的牢房里进行审讯。在这种情形下，两个囚犯都可以做出自己的选择：或者坦白（即与警察合作，从而背叛他的同伙

42、），或者抵赖（也就是与他的同伙合作，而不是与警察合或者坦白（即与警察合作，从而背叛他的同伙），或者抵赖（也就是与他的同伙合作，而不是与警察合作）。这两个囚犯都知道，如果他俩都能抵赖的话，就都会被释放，因为只要他们拒不承认，警方无法作）。这两个囚犯都知道，如果他俩都能抵赖的话，就都会被释放，因为只要他们拒不承认，警方无法给他们定罪。但警方也明白这一点，所以他们就给了这两个囚犯一点儿刺激：如果他们中的一个人坦白，给他们定罪。但警方也明白这一点，所以他们就给了这两个囚犯一点儿刺激：如果他们中的一个人坦白，即告发他的同伙，那么他就可以被无罪释放。而他的同伙就会被按照最重的罪来判决。当然，如果这两即告发

43、他的同伙，那么他就可以被无罪释放。而他的同伙就会被按照最重的罪来判决。当然，如果这两个囚犯都坦白，两个人都会被按照轻罪来判决。如图个囚犯都坦白，两个人都会被按照轻罪来判决。如图1-11-1所示。所示。32第32页，本讲稿共39页 4 4 其他类型的对策论简介其他类型的对策论简介坦白坦白抵赖抵赖轻罪，轻罪轻罪，轻罪重罪，无罪重罪，无罪重罪，无罪重罪，无罪释放，释放释放，释放坦白坦白抵赖抵赖图图1-1 1-1 囚徒困境囚徒困境 由分析可知，上例中每个囚犯都会选择坦白，因此这个战略组合是固定的，(坦白，坦白)就是纳什均衡解。而这个均衡是不会被打破的，即使他们在坐牢之前达成协议。囚徒困境反映了个人理性

44、和集体理性的矛盾。对于双方，（抵赖，抵赖）的结果是最好的，但因为每个囚徒都是理性人，他们追求自身效应的最大化，结果就变成了（坦白，坦白）。个人理性导致了集体不理性。33第33页，本讲稿共39页 4 4 其他类型的对策论简介其他类型的对策论简介二、完全信息动态对策二、完全信息动态对策 在完全信息静态对策中，假设各方都同时选择行动。现在情况稍复杂一些。在完全信息静态对策中，假设各方都同时选择行动。现在情况稍复杂一些。如果各方行动存在先后顺序，后行的一方会参考先行者的策略而采取行动，而先如果各方行动存在先后顺序，后行的一方会参考先行者的策略而采取行动，而先行者也会知道后行者会根据他的行动采取何种行动

45、，因此先行者会考虑自己行动行者也会知道后行者会根据他的行动采取何种行动，因此先行者会考虑自己行动会对后行者的影响后选择行动。这类问题称为完全信息动态对策问题。会对后行者的影响后选择行动。这类问题称为完全信息动态对策问题。例例2 2 某行业中只有一个垄断企业某行业中只有一个垄断企业A A，有一个潜在进入者，有一个潜在进入者企业企业B B。B B可以选择进入或不进入可以选择进入或不进入该行业这两种行动，而该行业这两种行动，而A A当当B B进入时，可以选择默认或者报复两种行动。如果进入时，可以选择默认或者报复两种行动。如果B B进入后进入后A A企业报复，企业报复，将造成两败俱伤的结果，但如果将造

46、成两败俱伤的结果，但如果A A默认默认B B进入，必然对进入，必然对A A的收益造成损失。同样的，如果的收益造成损失。同样的，如果B B进入而进入而A A报报复，则复，则B B受损，反之，将受益。把此关系用图受损，反之，将受益。把此关系用图1-21-2表示。表示。默许默许报复报复50,10050,100-20,0-20,00,2000,2000,2000,200进入进入不进入不进入图图1-2 A1-2 A、B B的行动及结果的行动及结果A AB B34第34页，本讲稿共39页 4 4 其他类型的对策论简介其他类型的对策论简介 由分析可知，上例中（由分析可知，上例中（B B选择不进入，选择不进入

47、，A A选择报复）和（选择报复）和（B B选择进入，选择进入，A A选择默许）都是纳什均衡解。但在实际中，（选择默许）都是纳什均衡解。但在实际中，（B B选择不进入，选择不进入，A A选择报复）这种情况是不可能出现的。因为选择报复）这种情况是不可能出现的。因为B B知道他如果进入，知道他如果进入，A A只能默许，所以只有（只能默许，所以只有（B B选择进入，选择进入，A A选择选择默许）会发生。或者说，默许）会发生。或者说，A A选择报复行动是不可置信的威胁。选择报复行动是不可置信的威胁。对策论的术语中，称（对策论的术语中，称（A A选择默许，选择默许，B B选择进入）为精炼纳什选择进入）为精

48、炼纳什均衡。当只当参与人的战略在每一个子对策中都构成纳什均均衡。当只当参与人的战略在每一个子对策中都构成纳什均衡，这个纳什均衡才称为衡，这个纳什均衡才称为精炼纳什均衡精炼纳什均衡。当然，如果当然，如果A A下定决心一定要报复下定决心一定要报复B B，即使自己暂时损失。，即使自己暂时损失。这时威胁就变成了可置信的，这时威胁就变成了可置信的，B B就会选择不进入，（就会选择不进入，（B B选择不选择不进入，进入，A A选择报复）就成为精炼纳什均衡。选择报复）就成为精炼纳什均衡。军事交战时，军事交战时，“破釜沉舟破釜沉舟”讲的就是一种可置信威胁。讲的就是一种可置信威胁。实际企业经营中也有很多类似的例

49、子。实际企业经营中也有很多类似的例子。35第35页，本讲稿共39页 4 4 其他类型的对策论简介其他类型的对策论简介三、多人非合作对策三、多人非合作对策 有三个或三个以上对策方参加的对策就是有三个或三个以上对策方参加的对策就是“多人对策多人对策”。多人对策同样也是。多人对策同样也是对策方在意识到其他对策方的存在，意识到其他对策方对自己决策的反应和反作对策方在意识到其他对策方的存在，意识到其他对策方对自己决策的反应和反作用存在的情况下寻求自身最大利益的决策活动。因而，它们的基本性质和特征与用存在的情况下寻求自身最大利益的决策活动。因而，它们的基本性质和特征与两人对策是相似的，我们常常可以用研究两

50、人对策同样的思路和方法来研究它们，两人对策是相似的，我们常常可以用研究两人对策同样的思路和方法来研究它们，或将两人对策的结论推广到多人对策。不过，毕竟多人对策中出现了更多的追求或将两人对策的结论推广到多人对策。不过，毕竟多人对策中出现了更多的追求各自利益的独立决策者，因此，策略的相互依存关系也就更为复杂，对任一对策各自利益的独立决策者，因此，策略的相互依存关系也就更为复杂，对任一对策方的决策引起的反应也就要比两人对策复杂得多。并且，在多人对策中还有一个方的决策引起的反应也就要比两人对策复杂得多。并且，在多人对策中还有一个与两人对策有本质区别的特点，即可能存在与两人对策有本质区别的特点，即可能存