第1讲组合概率优秀课件.ppt

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1、第1讲组合概率第1页，本讲稿共37页 概率模型概率模型变变量量是是随随机机变变量量 变量间关系错综复杂变量间关系错综复杂 现现实实世世界界充充满满不不确确定定性性有诸多不确定因素有诸多不确定因素 不存在确定的函数关系不存在确定的函数关系 往往借助于模拟仿真方法往往借助于模拟仿真方法第2页，本讲稿共37页随机现象的模拟随机现象的模拟一一.随机变量的模拟随机变量的模拟 掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的方法掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的方法,是模拟随机现象的重要方面是模拟随机现象的重要方面.例例 1 老鼠在哪个房间？老鼠在哪个房间？在任一时刻在任一时刻观察老鼠在有观察老鼠在有3 个房间的迷

2、宫内的个房间的迷宫内的情况情况,老鼠所在房号老鼠所在房号X 是一个随机变量是一个随机变量,模拟模拟X的的分布律分布律.例例1 1.1.doc两种模拟方法两种模拟方法 1利用理论分布，基于对问题的实际、合利用理论分布，基于对问题的实际、合理的假设理的假设,选择适当的理论分布模拟随机变量选择适当的理论分布模拟随机变量.2.基于实际数据的频率做近似模拟基于实际数据的频率做近似模拟.第3页，本讲稿共37页方法评价方法评价 缺点：缺点：限于十分简单的情况限于十分简单的情况.问题越复杂问题越复杂,数学数学处理变得越困难处理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息并且丢失了试验数据的信息.*方法方法2 优点：优

3、点：完全与观察数据相符完全与观察数据相符,并且随实际问并且随实际问题的复杂程度增大不会产生更大的困难题的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅增大仅增大工作量而已工作量而已.应用中常将两种模拟方法结合使用应用中常将两种模拟方法结合使用*方法方法1 优点：优点：可以计算各种可能结果的概率可以计算各种可能结果的概率,便于进便于进行数学分析和处理行数学分析和处理.缺点：缺点：不便于进行数学分析不便于进行数学分析,不得不依赖于模不得不依赖于模拟得到的统计结果拟得到的统计结果.第4页，本讲稿共37页二.利用理论分布 重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分布来模拟随机变量

4、布来模拟随机变量.1 1均匀分布均匀分布需掌握几种重要的概率理论分布需掌握几种重要的概率理论分布 均匀分布随均匀分布随机变量机变量X的的取值具有取值具有“均匀性均匀性”.第5页，本讲稿共37页 均匀性特点均匀性特点 均匀分布随机变量均匀分布随机变量X 落在落在(a,b)内任意子区间的概率只与子区间的长度有关内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而而与子区间的位置无关与子区间的位置无关.可以可以假设假设具有这种性质的随机变量具有这种性质的随机变量服从均匀分布服从均匀分布 例例2 穿越公路模型穿越公路模型 穿越公路者在穿越公路者在60 秒的期间内的每一时刻都可秒的期间内的每一时刻都可能到达公路旁

5、能到达公路旁,用用 0,60(单位单位:秒秒)上的均匀分布上的均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的的.渡口模型渡口模型中假设车身长度服从均匀分布中假设车身长度服从均匀分布,处处理起来虽然较简单但却显然不合理理起来虽然较简单但却显然不合理.第6页，本讲稿共37页 2正态分布正态分布 正态分布随机变量正态分布随机变量X的概率密度函数是的概率密度函数是正态分布由两个参数正态分布由两个参数和和唯一确定唯一确定：0 xf(x)f(x)0 x小小大大位置位置参数参数第7页，本讲稿共37页分布特点：分布特点：有有3原则：原则：实用判别方法实用判别方法

6、:较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量,可以用正态分布来模拟可以用正态分布来模拟.判别方法判别方法1.2.doc原理分析原理分析 例例*考试成绩服从正态分布；考试成绩服从正态分布；*单峰、对称；单峰、对称；*数学期望数学期望确定概率曲线的中心位置确定概率曲线的中心位置；*标准差标准差确定概率曲线的确定概率曲线的“宽窄宽窄”程度程度.第8页，本讲稿共37页 *测试误差服从正态分布；测试误差服从正态分布；*人的身高服从正态分布；人的身高服从正态分布；3指数分布指数分布指数分布指数分布 指数分布随机变量指数分布随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)

7、x第9页，本讲稿共37页 寿命寿命T则服从参数为则服从参数为的指数分布的指数分布.上述假设从技术上讲就是电子元件未出现上述假设从技术上讲就是电子元件未出现“老化老化”现象现象.对一些寿命长的元件对一些寿命长的元件,在稳定运在稳定运行的初期阶段老化很轻微行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的这种假设是合理的.指数分布比较确切地描述了电子元件在稳定指数分布比较确切地描述了电子元件在稳定阶段的寿命分布情况阶段的寿命分布情况.指数分布常用来描述指数分布常用来描述“寿命寿命”问题问题.设电子元件的寿命为设电子元件的寿命为T，假定元件在假定元件在t时刻尚正时刻尚正常工作的条件下常工作的条件下,其其瞬时失

8、效率瞬时失效率总总保持为常数保持为常数,即有即有第10页，本讲稿共37页指数分布具有指数分布具有无后效性无后效性(马氏性马氏性):对任意的实对任意的实数数s0，t0，均有均有永远年永远年轻性轻性 人类人类在在50岁或岁或60岁以前的寿命分布接近指数岁以前的寿命分布接近指数分布分布.若瞬时失效率是时间的函数若瞬时失效率是时间的函数(t),试试确定寿命确定寿命的分布的分布.(参见电子科大教材参见电子科大教材概率论与数理统计概率论与数理统计p76).思思考考 4泊松分布和泊松流泊松分布和泊松流 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律为的分布律为第11页，本讲稿共37页称称X 服从参数为服从参数为的泊

9、松分布的泊松分布.事件流：事件流：随时间的推移，逐个出现的随机事件列随时间的推移，逐个出现的随机事件列A1，A2，An，t0A1A2A3An 例例3 在渡口模型中，从渡船靠岸开始计时，在渡口模型中，从渡船靠岸开始计时，将第将第i 辆汽车的到达看成随机事件辆汽车的到达看成随机事件Ai发生，随汽发生，随汽车车连续不断地开到码头，就形成了一个事件流连续不断地开到码头，就形成了一个事件流 A1，A2，Ai，；第12页，本讲稿共37页*工作台上工件的逐件到达；工作台上工件的逐件到达；*机场跑道中飞机的逐架到达；机场跑道中飞机的逐架到达；*港口船舶的逐艘到达；港口船舶的逐艘到达；*电话交换台电话的到达；电

10、话交换台电话的到达；*餐厅顾客的到达餐厅顾客的到达;*工厂中机器故障的发生工厂中机器故障的发生,记记 N(t)为为 0,t时间内各事件发生的总次数时间内各事件发生的总次数0t)N(t)=3)N(t)=7N(t)是随是随机变量机变量第13页，本讲稿共37页 随机变量族随机变量族 N(t),t 0是一个随机过程是一个随机过程(计数过程计数过程).将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客及破将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客及破损的机器等统称为损的机器等统称为顾客顾客.称称 N(t),t 0为为顾客的顾客的到达过程到达过程,通常关心通常关心1)对每一时刻对每一时刻 t，在在0，t时间内到达的顾客数时间

11、内到达的顾客数 N(t)的分布；的分布；2)事件流事件流A1，A2，Ai，中两个事件发生中两个事件发生的间隔时间具有什么分布的间隔时间具有什么分布.形成泊形成泊1.2.doc松流的条件松流的条件 第14页，本讲稿共37页重要定理：重要定理：1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，如果顾客的到达过程是一个泊松过程，则在则在0,t期间内有期间内有n个顾客到达的概率为个顾客到达的概率为 并且，顾客相继到达的时间间隔并且，顾客相继到达的时间间隔 T1，T2，Ti，相互独立相互独立,都服从参数为都服从参数为的指数分布的指数分布.2.若顾客流到达的间隔时间是相互独立的随若顾客流到达的间隔时间是相互独立的随机

12、变量序列：机变量序列：T1,T2,Ti，且且Ti，i=1,2,均服均服从参数为从参数为指数分布指数分布,则在则在0，t内顾客到达内顾客到达数数N(t)，t0是一个泊松过程是一个泊松过程.第15页，本讲稿共37页 例例4.穿越公路模型穿越公路模型 用均值为用均值为1/q 的指数分布随机变量模拟两车经的指数分布随机变量模拟两车经过同一地点的时间间隔，相当于假设通过该点过同一地点的时间间隔，相当于假设通过该点的汽车流构成了一个泊松流，的汽车流构成了一个泊松流，0,t时间内到达时间内到达的汽车数目的汽车数目N(t)服从泊松分布服从泊松分布.第16页，本讲稿共37页 随机变量随机变量XB(n,p)，其分

13、布律为其分布律为 随机变量随机变量X是是 n 次独立贝努里试验中次独立贝努里试验中,事件事件A发生的总次数发生的总次数,其中其中p=P(A).5 5二项分布二项分布第17页，本讲稿共37页三.利用概率模型 重点阐述利用概率的特点计算某些特定概率重点阐述利用概率的特点计算某些特定概率.1 1古典概型古典概型需掌握几种重要的概率模型需掌握几种重要的概率模型.具有如下特点的试验模型为古典概型具有如下特点的试验模型为古典概型:(1)试验的样本空间只包含有限个样本点试验的样本空间只包含有限个样本点;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.*中学学过的利用排列组合计算的

14、概率中学学过的利用排列组合计算的概率.第18页，本讲稿共37页 2几何概型几何概型几何概型几何概型 具有如下特点的试验模型为几何概型具有如下特点的试验模型为几何概型:(1)试验的样本空间有无限个样本点试验的样本空间有无限个样本点;(2)试验中落入试验中落入A中的可能性与中的可能性与A的面积成正比的面积成正比,而与而与A的位置和形状无关的位置和形状无关.例例5 甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6时到时到7时会面时会面,并约定先并约定先到者应等候另一个人到者应等候另一个人20分钟分钟,过时即可离去过时即可离去,求两人求两人能够会面的概率能够会面的概率.第19页，本讲稿共37页利用概率模型的例题利用

15、概率模型的例题一一.报童的诀窍报童的诀窍 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。第20页，本讲稿共37页问问题题报童售报：报童售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进

16、太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望第21页，本讲稿共37页建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天需每天需求量为求量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔

17、；退回一份赔 b-c第22页，本讲稿共37页求解求解将将r视为连续变量视为连续变量第23页，本讲稿共37页结果解释结果解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rp第24页，本讲稿共37页即购进的份数应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。练习练习:利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？第25页，本讲稿共37页问题提出问题提出 在足球比赛中在足球比赛中

18、,球员在对方球门前不同的的位球员在对方球门前不同的的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的置起脚射门对球门的威胁是不一样的.在正前方在正前方射门的威胁大于两侧射门的威胁大于两侧,近距离对球门的威胁大于近距离对球门的威胁大于远射远射.已知标准球场长已知标准球场长104米米,宽为宽为69米米,球门高球门高2.44米米,宽为宽为7.32米米.对于职业球员假设基本素质差别不大对于职业球员假设基本素质差别不大.根据资根据资料显示料显示,射门时球的速度在射门时球的速度在10米米/秒左右秒左右.结合球结合球场和足球赛是实际研究问题场和足球赛是实际研究问题:二二.足球门的危险区域问题足球门的危险区域问题第26页，

19、本讲稿共37页 (1)针对球员在不同位置射门对球门的威胁度针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行研究进行研究,绘制出球门的危险区域绘制出球门的危险区域;(2)在有一名守门员防守的情况下在有一名守门员防守的情况下,对球员射门对球员射门的威胁度和危险区域作近一步的研究的威胁度和危险区域作近一步的研究.问题分析问题分析 (1)球员无论从哪个地方射门都有进与不进两球员无论从哪个地方射门都有进与不进两种可能种可能,是随机事件是随机事件;(2)影响球员射门的命中率的因素主要有球员影响球员射门的命中率的因素主要有球员的基本素质和射门时的位置的基本素质和射门时的位置.我们主要研究同质我们主要研究同质球员在球

20、场上任意一点射门时对球门的危险度球员在球场上任意一点射门时对球门的危险度.第27页，本讲稿共37页 (3)球员在球门前某处向球门内某目标点射门球员在球门前某处向球门内某目标点射门时时,球员到目标点的距离决定了到达目标点的概球员到目标点的距离决定了到达目标点的概率率.当位置固定时当位置固定时,球飞向球门所在的平面上的落球飞向球门所在的平面上的落点将呈现固定的概率分布点将呈现固定的概率分布(二维正态分布二维正态分布);(4)球员从球场上某点射门时球员从球场上某点射门时,必定在球门平面必定在球门平面上确定一个目标点上确定一个目标点,射门后球依据该概率分布落射门后球依据该概率分布落入球门所在平面入球门

21、所在平面.将球门视为平面上的一个区域将球门视为平面上的一个区域,在该区域内对该分布积分可得到该次射门的命在该区域内对该分布积分可得到该次射门的命中率中率.由于射门的目标点是任意的由于射门的目标点是任意的,因此遍历球门因此遍历球门区域内的所有点区域内的所有点,对命中率作积分对命中率作积分,将其定义为球将其定义为球场上某点对球门的威胁度场上某点对球门的威胁度,根据威胁度的大小来根据威胁度的大小来确定球门的危险区域确定球门的危险区域.第28页，本讲稿共37页1.模型假设模型假设(1)在理想状态下在理想状态下,认为球员是同质的认为球员是同质的,即基本素质相同即基本素质相同;(2)不考虑球员射门后空气、

22、地面对球速的影响不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响.设球速为设球速为10米米/秒秒;(3)球员射门只在前半场进行球员射门只在前半场进行,为此假设前半场为有效射门区域为此假设前半场为有效射门区域;(4)只考虑标准球场只考虑标准球场:104X69(m)和球门和球门7.32X2.44(m).2.符号说明符号说明(1)-半场上的一个球门所在的地面以上的半平面半场上的一个球门所在的地面以上的半平面;(2)A(x,y)-球场上的点球场上的点,(x,y)为其坐标为其坐标;(3)B(x,z)-球门内的点球门内的点,(x,z)为其坐标为其坐标;(4)P(x,y)-从球场上从球场上A点对准球门内点对准球门内B

23、点射门时点射门时,命中球门的概率命中球门的概率;(5)D(x,y)-球场球场(x,y)上点对球门的威胁度上点对球门的威胁度;(6)k -球员的基本素质球员的基本素质;(7)d-球场上球场上A点到球门内点到球门内B的直线距离的直线距离;(8)-直线直线AB在地面上的投影与球门平面在地面上的投影与球门平面 的夹角的夹角,为锐角为锐角.模型假设和符号说明模型假设和符号说明:第29页，本讲稿共37页首先建立空间坐标系首先建立空间坐标系,一球门的底边中点为原点一球门的底边中点为原点o,地面为地面为xoy面面,球门所在球门所在的平面为的平面为xoz面面.问题问题(1):根据前面对问题的分析根据前面对问题的

24、分析,假设素质为假设素质为k的球员从的球员从A()点向距离点向距离为为d的球门内目标点的球门内目标点B()射门时射门时,球在目标平面球在目标平面 上上 的落点的落点为二维正态分布为二维正态分布,且随机变量且随机变量x,z是相互独立的是相互独立的.其密度函数为其密度函数为其中方差其中方差 与球员素质与球员素质k成反比成反比,与射门点与射门点A和目标点和目标点B之间的距之间的距离离d成正比成正比,偏角偏角 越大方差越大方差 越小越小,当夹角为当夹角为90度时度时(即正对球门中心即正对球门中心),方差仅与方差仅与k、d有关有关.由此确定由此确定 的表达式为的表达式为模型建立与求解模型建立与求解:第3

25、0页，本讲稿共37页在密度函数中在密度函数中,关于变量关于变量x,z是对称的是对称的,但实际中球只能落在地面上但实际中球只能落在地面上,即即 ,为此令为此令则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率第31页，本讲稿共37页对命中球门的概率在球门区域对命中球门的概率在球门区域D内做积分内做积分,定义为球场上某点定义为球场上某点A对对球门的威胁度球门的威胁度,即即综合以上分析综合以上分析,对球场上任意一点对球场上任意一点A(x,y)对球门的威胁度为对球门的威胁度为其中其中要求解该问题较困难要求解该问题较困难,只能采用数值积分的方法求解只能采用数值积分的方法求解

26、.首先确定反应首先确定反应球员基本素质的参数球员基本素质的参数k.根据一般职业球员的情况根据一般职业球员的情况,认为球员在球门认为球员在球门的正前方即夹角为的正前方即夹角为0,距离球门距离球门10米处向球门劲射米处向球门劲射,标准差为标准差为1,由标由标准差的公式的准差的公式的k=10.第32页，本讲稿共37页问题问题(2):假设守门员站在射门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最假设守门员站在射门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置佳防守位置.球员在球场上某点对球门内任意一点球员在球场上某点对球门内任意一点B(x,z)起脚射门起脚射门,经过时经过时间间t到达球门平面到达球门平

27、面,球到达该点时球到达该点时,守门员对球都有一个扑获概率守门员对球都有一个扑获概率 ,下面分析这个函数的形式下面分析这个函数的形式.当当t一定时一定时,应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数减的二维函数,当当t减小时减小时,曲面的峰度应增高曲面的峰度应增高,而面积减小而面积减小,与二维正态密与二维正态密度函数类似度函数类似,因此采用该函数形式表示扑获函数因此采用该函数形式表示扑获函数,参数参数t表示从起脚射出到表示从起脚射出到球到达球门的时间球到达球门的时间,即守门员的反应时间即守门员的反应时间,该时间越长该时间越长,曲面越光滑曲面越光滑.因此因此

28、其中其中c为守门员的反应系数为守门员的反应系数,根据根据“纸条实验纸条实验”取取c=1/7.于是可得守门员防于是可得守门员防守时偏离球门中心的距离为守时偏离球门中心的距离为第33页，本讲稿共37页在问题在问题(1)的基础上的基础上,球员在球场上一点球员在球场上一点A()射入球射入球门的概率应修正为门的概率应修正为第34页，本讲稿共37页类似得到球场上任意一点类似得到球场上任意一点A(x,y)对球门的威胁度为对球门的威胁度为其中其中 ,同问题同问题(1).且且第35页，本讲稿共37页比较两个问题的结果可以看出比较两个问题的结果可以看出,问题问题(2)有防守的情况比问题有防守的情况比问题(1)无无

29、防守的情况有很大差别防守的情况有很大差别,问题问题(2)主要是守门员的作用主要是守门员的作用,使得危险区域使得危险区域明显缩小明显缩小.威胁度最大的区域还是球门附近威胁度最大的区域还是球门附近,特别是正前方特别是正前方.因此因此说明了球场上的大、小禁区的设置是合理的说明了球场上的大、小禁区的设置是合理的.模型中的模型中的k是估算出来的是估算出来的.通过计算证明了通过计算证明了,当当k增加时增加时,对球门的对球门的威胁明显增加威胁明显增加,危险区域变大危险区域变大,反之当反之当k减小时减小时,危险区域变小危险区域变小.关于守关于守门员的素质模型中没有考虑门员的素质模型中没有考虑,是为了问题简化是

30、为了问题简化.说明说明:这还是一个简化模型这还是一个简化模型,实际中从不同的角度位置射门实际中从不同的角度位置射门,所看所看到的球门区域到的球门区域D可能不是一个矩形可能不是一个矩形,为了简化认为是矩形为了简化认为是矩形,可能与实可能与实际有偏差际有偏差.另外另外,该题还可有多种解法该题还可有多种解法,例如可以借助初等几何和代数的方法例如可以借助初等几何和代数的方法,在不同的射门点进行随机模拟在不同的射门点进行随机模拟,通过可能射入球门的概率来定义威通过可能射入球门的概率来定义威胁度函数等等胁度函数等等.结果分析与说明结果分析与说明:第36页，本讲稿共37页练习练习:1.彩票方案的中奖率问彩票方案的中奖率问1.3.doc题题(2002年建模年建模B题题)2.航空公司的预定票策略航空公司的预定票策略1.3.doc(数学模型数学模型姜启源姜启源284页页)第37页，本讲稿共37页