第2讲含绝对值的不等式和一元二次不等式优秀课件.ppt

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1、第2讲含绝对值的不等式和一元二次不等式1第1页，本讲稿共46页第一单元集合与常用逻辑用语第2页，本讲稿共46页第第2讲讲含绝对值的不等式和含绝对值的不等式和一元二次不等式一元二次不等式第3页，本讲稿共46页1.会会利利用用绝绝对对值值的的几几何何意意义义求求解解以以下下类类型型的不等式：的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c;|x-a|+|x-b|c.2.通通过过函函数数图图象象了了解解一一元元二二次次不不等等式式与与相相应的二次函数、一元二次方程的联系应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式会解一元二次不等式.第4页，本讲稿共46页2.不等式不等式

2、|3x-4|2的整数解的个数为的整数解的个数为()BA.0 B.1 C.2 D.大于大于2由由|3x-4|2，得，得-23x-42,即即 x0的解集为的解集为()CA.x|x0 B.x|-1x0C.x|0 x1 D.x|x1原不等式原不等式x(x-1)00 x0的的解解集集是是R，q:-1a0的的解解集集是是R等等价价于于4a2+4a0，即即-1a0，故故选选C.第7页，本讲稿共46页5.(2010广广东东潮潮州州实实验验中中学学一一模模）若若集集合合A=x|ax2-ax+10=，则则实实数数a的的取取值值范围是范围是()DA.a|0a4 B.a|0a4C.a|00时时,相相应应二二次方程中的

3、次方程中的=a2-4a0，得，得a|00)；|ax+b|c(c0).2.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法一元一次不等式一元一次不等式axb(a0)的解集为：的解集为：（1）当）当a0时，解集为时，解集为 ；|a|+|b|a|+|b|-cax+bcax+bc或或ax+b-cx|x 第9页，本讲稿共46页（2）当）当a0(a0)或或ax2+bx+c0)；（2）求出相应的一元二次方程的根（注意）求出相应的一元二次方程的根（注意0的情况的情况)；（3）利用二次函数的图象与）利用二次函数的图象与 确确定一元二次不等式的解集定一元二次不等式的解集.x|x x轴的交点轴的交点第10页，本讲稿共46页

4、4.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集判别式=b2-4ac 0=0 0二次函数y=ax2+bx+c（aba；x|xx2或或xx1；x|x ；R；x|x1x8.这这是是一一个个含含有有两两个个绝绝对对值值符符号号的的不不等等式式，为为了了使使其其转转化化为为不不含含绝绝对对值值符符号的等式，要进行分类讨论号的等式，要进行分类讨论.第14页，本讲稿共46页（方方法法一一）由由代代数数式式|x+3|、|x-3|知知，-3和和3把把实实数数集集分分为为三三个个区区间间：x-3；-3x3；x3.当当x8，即即x-4，此此时时不不等式的解集为等式的解集为x|x-4.当当-3x8，此此时时不不等等式式

5、无无解解.当当x3时时，得得x+3+x-38，即即x4，此此时时不不等等式的解集为式的解集为x|x4.第15页，本讲稿共46页取取式的并集得原不等式的解集为式的并集得原不等式的解集为x|x4.（方方法法二二）不不等等式式|x+3|+|x-3|8表表示示数数轴轴上上与与A（-3），B（3）两两点点距距离离之之和和大大于于8的的点点，而而A、B两两点点距距离离为为6，因因此此线线段段AB上上每每一一点点到到A、B的的距距离离之之和和都都等于等于6.如图甲所示，要找到与如图甲所示，要找到与A、B距离之和为距离之和为8的点，只需由点的点，只需由点B向右移向右移1个单位长度个单位长度第16页，本讲稿共4

6、6页（这这时时距距离离之之和和增增加加2个个单单位位长长度度），即即移移到到点点B1（4），或或由由点点A向向左左移移1个单位长度，即移到点个单位长度，即移到点A1（-4）.可可以以看看出出，数数轴轴上上点点B1(4)向向右右的的点点或或者者点点A1(-4)向向左左的的点点到到A、B两两点点的的距距离离之和均大于之和均大于8.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|x4.图甲图甲第17页，本讲稿共46页（方方法法三三）分分别别画画出出函函数数y1=|x+3|+|x-3|和和y2=8的图象，如图乙所示的图象，如图乙所示.y1=-2x(x-3)6(-3xy2，只需只需x4.所以原不等式的解集为

7、所以原不等式的解集为x|x4.图乙图乙第18页，本讲稿共46页（方方法法四四）如如果果我我们们将将x看看作作一一个个从从原原点点出出发发的的位位置置向向量量z(即即复复数数z)，那那么么方方程程|z+3|+|z-3|=8表表示示的的就就是是一一个个以以(3,0)为为焦焦点点，以以4为为长长半半轴轴的的椭椭圆圆，而而|z+3|+|z-3|8就就表表示示椭椭圆圆的的外外部部.而而对对于于实实数数x来来说说，不不等等式式|x+3|+|x-3|8的的解解就就是是在在x轴轴上上其其椭椭圆圆长长轴轴的的两两个个端端点点的的外外部部，即即x|x4.第19页，本讲稿共46页含绝对值不等式的解法：含绝对值不等式

8、的解法：（1）讨讨论论法法：讨讨论论绝绝对对值值中中的的式式子子大大于于零零还还是是小小于于零零，然然后后去去掉掉绝绝对对值值符符号，转化为一般不等式号，转化为一般不等式.适适合合解解这这类类绝绝对对值值不不等等式式：|x-a|+|x-b|c或或|x-a|+|x-b|c.第20页，本讲稿共46页（2）等价变形：解绝对值不等式常用以下）等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：等价变形：|x|a x2a2-ax0)；|x|a x2a2 xa或或x0)；一般有：一般有：|f(x)|g(x)-g(x)f(x)0)；|f(x)|g(x)f(x)g(x)或或f(x)0).第21页，本讲稿共46页(200

9、9上上海海卷卷)不不等等式式|x-1|1的的解解集是集是 .x|0 x2由由|x-1|1-1x-11 0 x2，故填故填x|0 x0的解集为的解集为x|xm或或xn(nm0.第23页，本讲稿共46页 （1）证明：因为）证明：因为a2+(y1+y2)a+y1y2=0,所以所以(a+y1)(a+y2)=0，得，得y1=-a或或y2=-a.（2）证证明明：当当a0时时，二二次次函函数数f(x)的的图图象象开开口口向向上上，图图象象上上的的点点A、B的的纵纵坐坐标标至至少少有有一一个个为为-a，且且小小于于零零，所所以以图图象象与与x轴有两个交点轴有两个交点.当当a0的解集为的解集为x|xm或或xn(

10、nm0)，可知，可知，m、n为方程为方程ax2+bx+c=0的两根，的两根，即即am2+bm+c=0(m0)，从而从而c +b +a=0.同理同理,c +b +a=0,第25页，本讲稿共46页从而方程从而方程cx2+bx+a=0有两个根为有两个根为x1=，x2=,则方程则方程cx2-bx+a=0的两个根为的两个根为 x1=-，x2=-.因为因为nm0，所以，所以-0的解集为的解集为 x|x-或或x-.第26页，本讲稿共46页 一一元元二二次次不不等等式式的的求求解解步步骤骤：(1)通通过过对对不不等等式式的的变变形形，使使不不等等式式右右边边为为零零，左左边边二二次次项项系系数数大大于于零零；

11、(2)计计算算出出相相应应二二次次方方程程的的判判别别式式；(3)求求出出相相应应一一元元二二次次方方程程的的根根(或或判判断断相相应应方方程程没没有有实实根根)；(4)根根据据(3)画画正正值值的的一一种种情情形形(当当x2的的系系数数为为负负值值时时，可可先先化成正值再来解决化成正值再来解决)对于一元二次不等式的解集对于一元二次不等式的解集,有的有的第27页，本讲稿共46页 学学生生因因为为理理解解不不够够而而死死记记硬硬背背，常常常常将将对对应应的的二二次次不不等等式式应应该该是是空空集集还还是是实实数数集集相相混混淆淆，要要解解决决这这个个问问题题，最最好好的的办办法法就就是是将将二二

12、次次不不等等式式与与对对应应的的二二次次方方程程、二二次次函函数数的的图图象象真真正正联联系系起起来来，时时时时注注意意数数形形结结合合，这这样样就就不不会会出出现现那那样样的的错错误了，要注意真正理解不等式解的含义误了，要注意真正理解不等式解的含义.对于含有参数的不等式对于含有参数的不等式,在求解过程在求解过程第28页，本讲稿共46页 中中，注注意意不不要要忽忽视视对对其其中中的的参参数数进进行行恰恰当当地地分分类类讨讨论论，尤尤其其是是涉涉及及形形式式上上看看似似是是二二次次不不等等式式，而而其其中中的的二二次次项项系系数数中中又又含含有有参参变变量量时时，往往往往需需要要针针对对这这个个

13、系系数数是是否否为为零零进进行行分分类类讨讨论论，并并且且如如果果对对应应的的二二次次方方程程有有两两个个不不等等的的实实根根且且根根的的表表达达式式中中又又含含有有参参变变量量时时，还还要要再再次次针针对对这这两两根根的的大大小小进进行行分类讨论分类讨论.第29页，本讲稿共46页 上上述述不不等等式式不不一一定定为为一一元元二二次次不不等等式式，当当a=0时时，为为一一元元一一次次不不等等式式；当当a0时时，为为一一元元二二次次不不等等式式，故故应应对对a进进行行讨讨论论，然然后后分分情情况况求解求解.(2010山山东东模模拟拟）已已知知常常数数aR，解关于，解关于x的不等式的不等式ax2-

14、2x+a0.（2）若）若a0时，时，=4-4a2.当当0时，即时，即0a1时，时，方程方程ax2-2x+a=0的两根为的两根为 ，所以不等式的解集为所以不等式的解集为 x|x ;当当=0，即，即a=1时，时，x；当当1时，时，x.第31页，本讲稿共46页（3）若）若a0时，即时，即-1a0时，时，不等式的解集为不等式的解集为x|x ;当当=0时，即时，即a=-1时，不等式化为时，不等式化为(x+1)20，所以所以xR且且x-1;当当0，即，即a-1时，时，xR.综上所述，当综上所述，当a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为；当当0a1时，解集为时，解集为x|x0；当当-1a0时，解集为时

15、，解集为x|x ；当当a=-1时，解集为时，解集为x|xR且且x-1；当当a-1时，解集为时，解集为R.第33页，本讲稿共46页题型三题型三 含绝对值不等式与含绝对值不等式与一元二次不等式的综合运用一元二次不等式的综合运用例3 (2009重重庆庆卷卷）不不等等式式|x+3|-|x-1|a2-3a对对任任意意实实数数x恒恒成成立立，则则实实数数a的取值范围为（的取值范围为（）A.（-，-14，+)B.（-，-25，+)C.1，2D.（-，12，+）A第34页，本讲稿共46页 设设函函数数f(x)=|x+3|-|x-1|，则则问问题题等等价价于于f(x)maxa2-3a，只只要要求求出出函函数数f

16、(x)的的最最大大值值，就就将将问问题题转转化化成成为为关关于于a的的一一元元二二次次不不等等式式的的解解的的问问题题.其其中中，函函数数f(x)的的最最大大值值可可以以通通过过把把函函数数化化为为分分段段函函数数的的方方式式解决解决.第35页，本讲稿共46页（方法一方法一）设函数）设函数f(x)=|x+3|-|x-1|，则则 f(x)=-4(x-3)2x+2(-31).当当-3x1时，时，-4f(x)4，故函数，故函数f(x)的的最大值为最大值为4.只要只要a2-3a4，即，即(a+1)(a-4)0，所以所以a-1或或a4.故选故选A.第36页，本讲稿共46页（方方法法二二）求求|x+3|-

17、|x-1|的的最最值值时时，还还可可以以利利用用绝绝对对值值不不等等式式求求解解.绝绝对对值值不不等等式式是是|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|,只只要要利利用用其其中中的的|a|-|b|a-b|即可，即可，令令a=x+3，b=x-1，代入上面不等式，代入上面不等式 即得即得|x+3|-|x-1|(x+3)-(x-1)|=4，即即|x+3|-|x-1|4，故故|x+3|-|x-1|的最大值为的最大值为4.以下同方法一以下同方法一.不等式恒成立问题是考查考生转化思想的良好素材，本题考查了一个带有绝对值的函数（实际上就是分段函数）最大值的求法、一元二次不等式的解，是在两个重要知识点的交汇

18、处命题.第37页，本讲稿共46页 某某段段城城铁铁线线路路上上依依次次有有A,B,C三三站站，AB=5km,BC=3km.在在列列车车运运行行时时刻刻表表上上，规规定定列列车车8时时整整从从A站站发发车车，8：07分分到到达达B站站并并停停车车1分分钟钟，8：12分分到到达达C站站.在在实实际际运运行行时时，假假设设列列车车从从A站站正正点点发发车车，在在B站站停停留留1 min，并并在在行行驶驶时时以以同同一一速速度度v km/h匀匀速速行行驶驶，列列车车从从A站站到到达达某某站站的的时时间间与与时时刻刻表表上上相相应应时时间间之之差差的的绝绝对对值值称称为为列车在该站的运行误差列车在该站的

19、运行误差.第38页，本讲稿共46页 本本题题主主要要考考查查解解不不等等式式等等基基本本知知识识，考考查查应应用用数数学学知知识识分分析析问问题和解决问题的能力题和解决问题的能力.(1)分分别别写写出出列列车车在在B、C两两站站的的运运行行误误差差;(2)若若要要求求列列车车在在B、C两两站站的的运运行行误误差差之之和不超过和不超过2 min，求，求v的取值范围的取值范围.第39页，本讲稿共46页（1）列车在）列车在B、C两站的运行误差两站的运行误差(单位：单位：min)分别是分别是|-7|和和|-11|.（2）由于列车在）由于列车在B,C两站的运行误差之和不超两站的运行误差之和不超过过2 m

20、in，所以所以|-7|+|-11|2.(*)当当0v 时，时，(*)式变形为式变形为 -7+-112,解得解得39v ；第40页，本讲稿共46页当当 v 时时，(*)式式变变形形为为7-+-112，解解得得时时，(*)式式变变形形为为7-+11-2，解解得得v .综综上上所所述述，v的的取取值值范范围围是是39,.本题考查了运用绝对值概念及不等式等知识的能力，解答时要先读懂题意，后根据题中条件构造函数模型（建立不等式），在解不等式过程中利用分类讨论的方法去掉绝对值符号是行之有效的方法.第41页，本讲稿共46页1.含含绝绝对对值值的的不不等等式式的的解解法法，应应紧紧扣扣绝绝对对值值的的几几何何

21、意意义义，能能与与平平面面向向量量、圆圆锥曲线结合思考，解法就更妙了锥曲线结合思考，解法就更妙了.2.一一元元二二次次不不等等式式应应紧紧扣扣二二次次函函数数的的图图象，函数是统帅，图象是灵魂象，函数是统帅，图象是灵魂.第42页，本讲稿共46页 分分段段去去绝绝对对值值，转转化化为为三个不等式组求解三个不等式组求解.(2009福建卷福建卷)解不等式解不等式|2x-1|x|+1.当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为-2x+10,又因为又因为x0,所以所以x不存在不存在.学例1第43页，本讲稿共46页当当0 x 时，原不等式可化为时，原不等式可化为-2x+10,又因为又因为0 x ，所以，所以0 x .当当x 时，时，原不等式可化为原不等式可化为2x-1x+1，解得，解得x2,又因为又因为x ，所以，所以 x2.综上，原不等式的解集为综上，原不等式的解集为x|0 x2.第44页，本讲稿共46页 先先将将不不等等式式等等价价地地转转化化为为(ax-1)(x+1)0，然然后后根根据据a的的不不同同取取值值进进行行分分类类讨讨论论，与与不不等等式式的的解解集集进进行行比比较较，确确定定a的值的值.(2009湖湖北北卷卷)已已知知关关于于x的的不不等等式式 0的的解解集集是是(-,-1)(,+),则则a=.学例2-2第45页，本讲稿共46页本节完，谢谢聆听第46页，本讲稿共46页