【精品】【人教版】2018年八年级上册数学：第十三章《轴对称》精品导学：课题学习 最短路径问题（可编辑）.ppt

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1、【人教版】2018年八年级上册数学：第十三章轴对称精品导学：课题学习 最短路径问题高效课时通高效课时通第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题高效课时通高效课时通 本本节课以数学史中的一个以数学史中的一个经典典问题“将将军饮 马问题”为载体开展体开展对“最短路径最短路径问题”的的课题研研 究，究，让学生学生经历将将实际问题抽象抽象为数学的数学的线段和最段和最 小小问题，再利用，再利用轴对称将称将线段和最小段和最小问题转化化为 “两点之两点之间，线段最短段最短”（或（或“三角形两三角形两边之和大之和大 于第三于第三边”）问题 高效课时通高效课时通学学习目目标：能利用能利用轴对称解决称解决

2、简单的最短路径的最短路径问题，体会，体会图形形 的的变化在解决最化在解决最值问题中的作用，感悟中的作用，感悟转化思想化思想学学习重点：重点：利用利用轴对称将最短路径称将最短路径问题转化化为“两点之两点之间，线 段最短段最短”问题 课件件说明明高效课时通高效课时通高效课时通高效课时通问题1相相传，古希腊，古希腊亚历山大里山大里亚城里有一位久城里有一位久负盛名的学者，名叫海盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将有一天，一位将军专程拜程拜访海海伦，求教一个百思不得其解的，求教一个百思不得其解的问题：从从图中的中的A 地出地出发，到一条笔直的河，到一条笔直的河边l 饮马，然，然后到后到B 地到河地到河边什

3、么地方什么地方饮马可使他所走的路可使他所走的路线全程全程最短？最短？探索新知探索新知BAl高效课时通高效课时通精通数学、物理学的海精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用稍加思索，利用轴对称的称的 知知识回答了回答了这个个问题这个个问题后来被称后来被称为“将将军饮马 问题”你能将你能将这个个问题抽象抽象为数学数学问题吗？探索新知探索新知BAl高效课时通高效课时通追追问1这是一个是一个实际问题，你打算首先做什么？，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象两地抽象为两个点，将河两个点，将河l 抽象抽象为一条直一条直 线 探索新知探索新知BAl高效课时通高效课时通（1）从）从A 地出地出发，到河，到河边l

4、 饮马，然后到，然后到B 地；地；（2）在河）在河边饮马的地点有无的地点有无穷多多处，把，把这些地点与些地点与A，B 连接起来的两条接起来的两条线段的段的长度之和，就是从度之和，就是从A 地地 到到饮马地点，再回到地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和；探索新知探索新知追追问2你能用自己的你能用自己的语言言说明明这个个问题的意思，的意思，并把它抽象并把它抽象为数学数学问题吗？高效课时通高效课时通探索新知探索新知追追问2你能用自己的你能用自己的语言言说明明这个个问题的意思，的意思，并把它抽象并把它抽象为数学数学问题吗？（3）现在的在的问题是怎是怎样找出使两条找出使两条线段段长度之和度之和为最

5、最 短的直短的直线l上的点上的点设C 为直直线上的一个上的一个动点，上点，上 面的面的问题就就转化化为：当点：当点C 在在l 的什么位置的什么位置时，AC 与与CB 的和最小（如的和最小（如图）BAlC高效课时通高效课时通追追问1对于于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一的另一侧B处，满足直足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的的长度度相等？相等？探索新知探索新知问题2 如如图，点，点A，B 在直在直线l 的同的同侧，点，点C 是直是直 线上的一个上的一个动点，当点点，当点C 在在l 的什么位置的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlA

6、高效课时通高效课时通追追问2你能利用你能利用轴对称的称的有关知有关知识，找到上，找到上问中符合条中符合条件的点件的点B吗？探索新知探索新知问题2 如如图，点，点A，B 在直在直线l 的同的同侧，点，点C 是直是直线上的一个上的一个动点，当点点，当点C 在在l 的什么位置的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA高效课时通高效课时通作法：作法：（1）作点）作点B 关于直关于直线l 的的对称称 点点B；（2）连接接AB，与直，与直线l 相交相交 于点于点C 则点点C 即即为所求所求 探索新知探索新知问题2 如如图，点，点A，B 在直在直线l 的同的同侧，点，点C 是直是直线上的一个上的

7、一个动点，当点点，当点C 在在l 的什么位置的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC高效课时通高效课时通探索新知探索新知问题3你能用所学的知你能用所学的知识证明明AC+BC最短最短吗？BlABC高效课时通高效课时通证明：明：如如图，在直，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），重合），连接接AC，BC，BC 由由轴对称的性称的性质知，知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC探索新知探索新知问题3你能用所学的知你能用所学的知识证明明AC+BC最短最短吗？BlABCC高效课时通高效课时通探索新知探索新知问题3你能用

8、所学的知你能用所学的知识证明明AC+BC最短最短吗？BlABCC证明：明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短高效课时通高效课时通若直若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就，就说明明AC+BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追追问1证明明AC+BC 最短最短时，为什么要在直什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），不重合），证明明AC+BC AC+BC？这里的里的“C”的作用是什么？的作用是什么？高效课时通高效课时通探索新知探索新知追追问2

9、回回顾前面的探究前面的探究过程，我程，我们是通是通过怎怎样的的 过程、借助什么解决程、借助什么解决问题的？的？BlABCC高效课时通高效课时通运用新知运用新知练习如如图，一个旅游船从大，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大大桥高效课时通高效课时通运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之由于两点之间线段最短，所以首先可段最短，所以首先可连接接PQ，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象路将河岸抽象为一条直一条直线BC，这样问题就就转化化为“点点P，Q 在直在直线BC 的同的同侧，如何在，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大大桥高效课时通高效课时通归纳小小结（1）本）本节课研究研究问题的基本的基本过程是什么？程是什么？（2）轴对称在所研究称在所研究问题中起什么作用？中起什么作用？