材料力学 能量法精选文档.ppt

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1、材料力学材料力学 能量法能量法1本讲稿第一页，共五十八页12 12 能量法能量法12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法2本讲稿第二页，共五十八页12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能一、应变能一、应变能(a)轴向拉（压）杆1.线弹性体线弹性体 （1）基本变形形式基本变形形式 利用应变能 在数值上等于外力功W，可得3本讲稿第三页，共五十八页(b)扭转12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能4本讲稿第四页，共五十八页(c)弯曲纯弯曲 横力弯曲12.1 12.1

2、应变能与余能应变能与余能5本讲稿第五页，共五十八页 可以把应变能统一写成式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能6本讲稿第六页，共五十八页（2）组合变形（用内力形式表示的应变能）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)只产生弯曲转角 小变形时不计FQ 产生的应变能，N(x)只产生轴向线位移M t(x)只产生扭转角12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能7本讲稿第七页，共五十八页对于dx 微段，N(x),Mt(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，d

3、x段的应变能为杆的应变能为12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能8本讲稿第八页，共五十八页 因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即 ，但必须注意 以及 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。（1）轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2.非线性弹性体非线性弹性体应变能为（PD 曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（se 曲线和e 轴之间的面积）12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能9本讲稿第九页，共五十八页 以上两式中，分别是以D和e 为自变量，。所以 为位移状态的函数。因为 ，为非线性关系，上两式积分后得不到1/2的系数，只能根据 或 的函数关系进行积分。应变能密度 式中

4、，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为 切应变。注意：注意：（2）扭转扭转应变能12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能10本讲稿第十页，共五十八页式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度 应变能和应变能密度之间的关系为应变能和应变能密度之间的关系为式中，V 为体积。（3）梁梁应变能12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能11本讲稿第十一页，共五十八页二、余能、余能 图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其P D和se关系如图b,c 所示。（1）余功的定义为余功的定义为12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能12本讲稿第十二页，共五十八页其大小为曲面OP1a的面积

5、如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OP1aD1 的面积与曲面OaD1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。PP1WcaWD1Do(d)12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能13本讲稿第十三页，共五十八页 余能密度为 由上述，D=f(P),e=f(s)。所以Vc=f(P)为受力状态的函数。VcVeP1 PD D D1 a(e)o（3）线弹性体（图）线弹性体（图e）U和 Uc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 U=f(D),Uc=f(P)。仿照 ,余能为（2）余能）余能余能为12.1 12.1

6、 应变能与余能应变能与余能14本讲稿第十四页，共五十八页B BD D1P例例1 已知两杆的长度均为已知两杆的长度均为l、横截面面积均为、横截面面积均为A、材料单轴、材料单轴拉伸时的拉伸时的-曲线如图所示。曲线如图所示。求：荷载求：荷载 P1作用下的余能作用下的余能 Uc 12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能15本讲稿第十五页，共五十八页B BD D1P解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能16本讲稿第十六页，共五十八页由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此由于轴向拉伸

7、杆内各点的应力状态相同，因此B BD D1P12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能17本讲稿第十七页，共五十八页12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理 图示梁的材料为非线性弹性体，Pi 为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为为位移状态函数。1.卡氏第一定理卡氏第一定理18本讲稿第十八页，共五十八页 假设与第 i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为（ddi不是由Pi产生的，Pi ddi为常

8、力做的功）（a）(b)式中，为应变能对位移 的变化率。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理19本讲稿第十九页，共五十八页 上式为卡氏第一定理卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。令12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理则20本讲稿第二十页，共五十八页2.卡氏第二定理卡氏第二定理 图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。梁的余能为 表明(1)余能定理余能定理12.2 12.2 卡

9、氏定理卡氏定理21本讲稿第二十一页，共五十八页令上式称为余能定理余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。得 设第 i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理22本讲稿第二十二页，共五十八页(2)卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏第一定理和余能定理的比较 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理didi+ddi，其他位移均不变，所有的力均不变。PiPi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理23本讲稿第二十三页，共五十八页 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理

10、续表续表(平衡方程)（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理24本讲稿第二十四页，共五十八页(3)卡氏第二定理卡氏第二定理 当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把 用力表示，即余能定理可以写成上式称为卡氏第二定理，卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。UcP1Pd d1 a(e)O12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理25本讲稿第二十五页，共五十八页 它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意注意

11、:组合变形（不计剪力的影响）时 也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。用该式计算时，可减少计算工作量。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理26本讲稿第二十六页，共五十八页 例例2 2 图图a a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EIEI，材，材料为线弹性。用料为线弹性。用卡氏第二定理卡氏第二定理求圆环开口处的张开量求圆环开口处的张开量d d。不计剪力和轴力的影响。不计剪力和轴力的影响。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理27本讲稿第二十七页，共五十八页圆环开口处的张量就是和两个圆环开口处的张量就是和两个F F力相对应的相对线位移，即力相对应的相对线位移，即

12、（）用用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对P P 的偏导数分别为的偏导数分别为 解：解：，12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理28本讲稿第二十八页，共五十八页结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（）利用对称性，由卡氏第二定理，得12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理29本讲稿第二十九页，共五十八页 例例3 3 三杆的材料相同，三杆的材料相同，s s =K Ke e1/1/n(n 1)，横截面面，横截面面积均为积均为A，1,2两杆长

13、度为两杆长度为 l。用。用余能定理余能定理求各杆的轴力。求各杆的轴力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理30本讲稿第三十页，共五十八页 解：解：以铰链以铰链 D 的支反力的支反力X 为多余未知力，基本静定系如图为多余未知力，基本静定系如图b 所示，所示，F，X 看作基本静定系上独立的外力，看作基本静定系上独立的外力，所以所以 Uc=Uc(P,X)（不能含有其它未知力）（不能含有其它未知力）因为铰链因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移为零，处沿铅垂方向的位移为零，应有应有由该式求出由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。后，再利用平衡方程求各杆的轴力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理31

14、本讲稿第三十一页，共五十八页(1)（轴力均用（轴力均用P和和 X 表示）表示）由平衡方程得各杆的轴力分别为由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由由 得得12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理32本讲稿第三十二页，共五十八页结构的余能为结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为三杆的余能密度分别为12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理33本讲稿第三十三页，共五十八页（4 4）式包含了平衡方程和物理方程，而）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示变形的，表示变形的几何关系。几何关系。由由 ，得得将将X 值代入（值代入（1），得），得 以力为基本未知量解超静定问题的方法，

15、称为力法。以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理34本讲稿第三十四页，共五十八页 例例4 刚架各杆的弯曲刚度均为刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力，不计剪力和轴力对位移的影响，用对位移的影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求支反力。求支反力。CABql l(a)12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理35本讲稿第三十五页，共五十八页 解：解：该题为一次超静定。以铰链该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力的铅垂支反力X 为多为多余未知力，基本静定系如图余未知力，基本静定系如图b 所示。由于所示。由于 ,但是在但是在 中，出现中，出现 (U也将出现也将出

16、现 )，必须把，必须把CABql l(a)l(b)yVCxxXVAxVAyCABql 用 q,X 表示。由 ，得12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理36本讲稿第三十六页，共五十八页CB,AB段的弯矩方程及其对段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为的偏导数分别为 ，由 ，得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理37本讲稿第三十七页，共五十八页解得解得 （）和图示方向相反。）和图示方向相反。（）（）（）由平衡条件得由平衡条件得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理38本讲稿第三十八页，共五十八页 例例5 半圆环的弯曲

17、刚度为半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的，不计剪力和轴力对位移的影响，用影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求对称截面上的内力。求对称截面上的内力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理39本讲稿第三十九页，共五十八页 解：解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力，多余未知力为轴力X1,弯矩弯矩X2,剪力剪力X3。该题为三次超静定。该题为三次超静定。(a)但由于结构与荷载均是对称的，但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但内力也应该是对称的，但X3是反对称是反对称的，故的，故X30，

18、问题简化为二次超静定。，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为半圆环的应变能只能为P，X1，X2的函的函数，即数，即12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理40本讲稿第四十页，共五十八页与与X1，X2 相应的位移条件分别为两截相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，面的相对线位移和相对角位移为零，即即(b)弯矩方程及其对弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为的偏导数分别为(c)12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理41本讲稿第四十一页，共五十八页注意到基本静定系为两个注意到基本静定系为两个1/4圆环，圆环，(b)式成为式成为(d)(e)将将(c)式代入式代入(d)和和(e)式，可

19、解得式，可解得12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理42本讲稿第四十二页，共五十八页12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理1.1.势能势能取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为U拉杆变形过程中所积蓄的应变能；拉杆变形过程中所积蓄的应变能；拉杆受力后的变形。拉杆受力后的变形。势能的一般表达式：势能的一般表达式：这一表达式适用于任何弹性结构，这一表达式适用于任何弹性结构，为广义力，为广义力，为相应的为相应的广义位移。广义位移。43本讲稿第四十三页，共五十八页2.2.最小势能原理最小势能原理当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改变量当任一

20、位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改变量为为由卡氏第一定理由卡氏第一定理 得，得，上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。驻值原理驻值原理12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理44本讲稿第四十四页，共五十八页结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：取最小值，稳定的平衡；取最小值，稳定的平衡；取最大值，中稳定的平衡；取最大值，中稳定的平衡；取恒定值，中性的或临界的平衡。取恒定值，中性的或临界的平衡。对于稳定平衡的弹性结构，对于稳定平衡的弹性结构，最小势能原理最小势能原理等价于

21、平衡条件，适用于一切弹性结构。等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理45本讲稿第四十五页，共五十八页12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理例例6 如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积均为均为A，材料为线弹性，弹性模量为，材料为线弹性，弹性模量为E，试求各杆应力。，试求各杆应力。解：由于对称性，解：由于对称性，E E点只有铅垂位移，设为点只有铅垂位移，设为D D。3 3杆的应变为杆的应变为其比能为其比能为3 3杆的应变能为杆的应变能为46本讲稿第四十六页，共五十八页12.3 12.3 最小势能

22、原理最小势能原理1 1、2 2杆的应变为杆的应变为其比能为其比能为其应变能为其应变能为该杆系结构的总应变能为该杆系结构的总应变能为47本讲稿第四十七页，共五十八页结构的势能为结构的势能为由最小势能原理由最小势能原理三杆应力分别为三杆应力分别为12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理48本讲稿第四十八页，共五十八页12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法瑞利瑞利-里兹法主要思路：里兹法主要思路：（1）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；（2）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多个

23、不定的位移参数；个不定的位移参数；（3）将势能表示成上述位移参数的函数；）将势能表示成上述位移参数的函数；（4）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；（5）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；（6）求出内力。）求出内力。49本讲稿第四十九页，共五十八页例例7 7 试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。解：取形状函数为解：取

24、形状函数为由边界条件：由边界条件：于是于是由对称性条件：由对称性条件：12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法50本讲稿第五十页，共五十八页全梁的弯曲应变能为全梁的弯曲应变能为将将 代入：代入：该梁总势能为该梁总势能为12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法51本讲稿第五十一页，共五十八页应用最小势能原理，得应用最小势能原理，得求得求得12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法52本讲稿第五十二页，共五十八页例例8 8 试用瑞利试用瑞利-里兹法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临里兹法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为界压力。已知材料的弹性模量为E。解：在临界压力

25、解：在临界压力Pcr作用下，压杆可在微弯状作用下，压杆可在微弯状态下维持中性平衡或临界平衡。根据边界条态下维持中性平衡或临界平衡。根据边界条件，可用下式的单参数函数作为其挠曲线近件，可用下式的单参数函数作为其挠曲线近似方程似方程 为杆中点的挠度为杆中点的挠度。由边界条件：由边界条件：由对称性条件：由对称性条件：12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法53本讲稿第五十三页，共五十八页由于杆的微弯，在其上端有竖向位移由于杆的微弯，在其上端有竖向位移 。为了求为了求 ，在挠曲线上取一微段，在挠曲线上取一微段ds，它与，它与其在其在x轴上投影轴上投影dx之差为之差为又又12.4 12.4 瑞利瑞利-

26、里兹法里兹法54本讲稿第五十四页，共五十八页从而荷载所做的功为从而荷载所做的功为压杆的应变能为压杆的应变能为12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法55本讲稿第五十五页，共五十八页压杆的总势能为压杆的总势能为压杆在临界压力作用下，处于中性平衡状态，由势能驻值原理有压杆在临界压力作用下，处于中性平衡状态，由势能驻值原理有解得解得12.4 12.4 瑞利瑞利-里兹法里兹法56本讲稿第五十六页，共五十八页小结小结1.1.卡氏第一定理、最小势能原理（势能驻值原理）从原理卡氏第一定理、最小势能原理（势能驻值原理）从原理上讲代表结构的静力学平衡条件，卡氏第一定理要求将应上讲代表结构的静力学平衡条件，卡氏

27、第一定理要求将应变能表示成位移的函数，最小势能原理（势能驻值原理）变能表示成位移的函数，最小势能原理（势能驻值原理）要求将势能中的应变能表示成位移的函数，而总势能则表要求将势能中的应变能表示成位移的函数，而总势能则表示成为位移和荷载的函数。该两原理适用于一切弹性结构示成为位移和荷载的函数。该两原理适用于一切弹性结构（在线弹性和非线弹性结构中应变能的计算不同）。瑞利（在线弹性和非线弹性结构中应变能的计算不同）。瑞利-里兹法则是应用最小势能原理的近似方法。里兹法则是应用最小势能原理的近似方法。57本讲稿第五十七页，共五十八页2.2.卡氏第二定理、余能定理在原理上表示结构的变形卡氏第二定理、余能定理

28、在原理上表示结构的变形几何条件，要求将卡氏第二定理中的应变能、余能定几何条件，要求将卡氏第二定理中的应变能、余能定理中的余能表示成位荷载的函数，余能定理适用于一理中的余能表示成位荷载的函数，余能定理适用于一切弹性结构，而卡氏第二定理则只适用于线弹性结构。切弹性结构，而卡氏第二定理则只适用于线弹性结构。3.3.卡氏第二定理、最小势能原理和瑞利卡氏第二定理、最小势能原理和瑞利-里兹法均可用于静定里兹法均可用于静定结构和超静定结构。卡氏第二定理应用于静定结构可以避免结构和超静定结构。卡氏第二定理应用于静定结构可以避免寻找复杂的几何关系，用于超静定结构，以多余未知力作为寻找复杂的几何关系，用于超静定结构，以多余未知力作为基本未知量，并视多余未知力为荷载；瑞利基本未知量，并视多余未知力为荷载；瑞利=里兹法可以避开里兹法可以避开力的平衡、力与位移的关系，直接假设形状函数（须满足边力的平衡、力与位移的关系，直接假设形状函数（须满足边界条件）求位移，对于复杂的结构和超静定问题尤为方便。界条件）求位移，对于复杂的结构和超静定问题尤为方便。58本讲稿第五十八页，共五十八页