三次样条插值PPT讲稿.ppt

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1、三次样条插值第1页，共48页，编辑于2022年，星期三2.3 2.3 三次样条插值三次样条插值学习目标：学习目标：知道三次样条插值函数的概念，会求三知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。次样条插值函数，进行误差分析。第2页，共48页，编辑于2022年，星期三高次插值出现龙格现象高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值（牛顿插值）插值）Hermite插值插值分段分段插值插值但分段线性插值在节点处不一定光滑但分段线性插值在节点处不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但导数值导数值不容易提取（找到）不容易提取（找到）三次样条插值（先由三次样条插值（先由函数值函数值确定确定

2、导数值导数值，再由，再由分段分段Hermite插值解决问题插值解决问题）举例：举例：1 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2 2 木样条的来源。木样条的来源。2.3.1 三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念一、背景一、背景第3页，共48页，编辑于2022年，星期三数学里的数学里的样条样条(Spline)一词来源于它的直观一词来源于它的直观几何几何 背背景景：绘图员或板金工人常用弹性：绘图员或板金工人常用弹性木条木条或或金属条金属条加加压压铁铁(构成样条构成样条!)!)固定在样点上，在其它地方让它自由固定在样点上，在其

3、它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线样条曲线.样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。就得到数学样条这一概念。第4页，共48页，编辑于2022年，星期三相同数据相同数据3 3次样条插值与次样条插值与Lagrange插值效果比较插值效果比较Cubic Spline Interpolation Lagrange第5页，共48页，编辑于2022年，星期三 定义定义 2.8 （三三次样条函数）次

4、样条函数）在每一个小区间在每一个小区间上上是次数是次数多项式。多项式。若若(1)中中三三次样条函数次样条函数还满足插值条件：还满足插值条件：关于剖分关于剖分称称为为的三次的三次样样条插条插值值函数。函数。，即具有连续的一阶，二阶导数。，即具有连续的一阶，二阶导数。满足下述条件：满足下述条件：如果函数如果函数 (1)设有对设有对a,b的剖分的剖分的一个的一个3次样条函数。次样条函数。为关于剖分为关于剖分则称则称 函数表函数表（2）设给定）设给定二、样条函数的定义二、样条函数的定义 第6页，共48页，编辑于2022年，星期三提出问题：提出问题：3次次样样条插条插值值函数函数是否存在是否存在？是否唯

5、一是否唯一？如何计算如何计算？误差估计误差估计？问题的提法问题的提法：给定数据表：给定数据表构造构造3 3次样条函数次样条函数 ,满足插值条件满足插值条件 第7页，共48页，编辑于2022年，星期三构造方法构造方法：S(x)应具有如下形式应具有如下形式并且满足条件并且满足条件(2.42)(2.42)和和(2.43)(2.43)第8页，共48页，编辑于2022年，星期三分析：分析：因因上是上是分段分段3次多项式，即为次多项式，即为4 4n个待定系数个待定系数:从而从而S(x)共须共须4n个独立条件确定个独立条件确定.内部条件：内部条件：S和和S,S 在在n-1个内结点连续个内结点连续,即满足条件

6、即满足条件(2.43),(2.43),因而因而(2.43)(2.43)给出了给出了3(n-1)个条件；个条件；(2.43)(2.43)第9页，共48页，编辑于2022年，星期三 已有条件已有条件：共有共有个条件个条件,要唯一确定要唯一确定 ,还必须附加还必须附加2 2个条件个条件(2.42)(2.42)提供了提供了n+1个独立条件个独立条件;(边界条件边界条件)。附加附加2个条件，个条件，有多种给法有多种给法.最常见的给法是最常见的给法是:(a)（简支边界，导致（简支边界，导致三弯矩关系式三弯矩关系式,M,M 关系式关系式）,特别地特别地,(自然边界自然边界,三次自然样条三次自然样条););(

7、b)(固支边界固支边界,导致导致三转角关系式三转角关系式,m,m关系式关系式).).(2.44)(2.44)(2.45)(2.45)第10页，共48页，编辑于2022年，星期三第第3种边界条件（周期边界条件）：种边界条件（周期边界条件）：为周期函数，为周期函数，此时称此时称为周期样条函数。为周期样条函数。亦是周期函数，周期为亦是周期函数，周期为，即取即取要求要求 注：注：一般不取一端是一阶导数而另一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数一端是二阶导数。注意：上述注意：上述给出的给出的 个条件是问题本身隐含的，个条件是问题本身隐含的，和和共共 个独立条件须提供，故个独立条件须提供，故 节点三次样

8、插值节点三次样插值问题只有问题只有 个自由度个自由度.(.(请与分段三次请与分段三次HermiteHermite插值比较插值比较!)!)第11页，共48页，编辑于2022年，星期三 这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出就能得出4n4n个方程，可以惟一确定个方程，可以惟一确定4n4n个系数。从而得到三次样条插个系数。从而得到三次样条插值函数值函数S(S(x)在各个子区间在各个子区间 xi,xi+1 上的表达式上的表达式S(S(xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，这种做法当。但是，这种做法当n n较大

9、时，计算工作很大，不便于实际应用。较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。因此我们希望找到一种简单的构造方法。且且 (1)如果如果是定义在是定义在上函数且已知上函数且已知函数表函数表 定理定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一次样条插值函数存在唯一）唯一唯一3 3次样条插值函数次样条插值函数,且满足且满足 (2)给定边界条件给定边界条件，则，则于于存在存在第12页，共48页，编辑于2022年，星期三 推导推导方法：方法：1、先确定、先确定插值函数插值函数在节点处的一阶导数，记为在节点处的一阶导数，记为该方法即为该方法即为3次样条插值函数的次样条插值函数的一阶导

10、数表示。一阶导数表示。2、先确定、先确定插值函数插值函数在节点处的二阶导数，记为在节点处的二阶导数，记为该方法即为该方法即为3次样条插值函数的次样条插值函数的二阶导数表示。二阶导数表示。第13页，共48页，编辑于2022年，星期三 -三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数三次样条插值函数 可以有多种表达式，可以有多种表达式，有时用二阶导数值有时用二阶导数值表示时，使用更方便。表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在力学上解释为细梁在在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用有关，故称用 表示表示 的算法为的

11、算法为三弯矩算法三弯矩算法。2.3.2 三弯矩算法三弯矩算法第14页，共48页，编辑于2022年，星期三由两点拉格朗日插值由两点拉格朗日插值可表示为可表示为参数参数对对上上式积分式积分,得得再积分再积分,得得第15页，共48页，编辑于2022年，星期三 由条件由条件，确定积分常数，确定积分常数第16页，共48页，编辑于2022年，星期三 将将上式上式代入代入(2.48)得到得到三三次样条插值函数的表达式次样条插值函数的表达式由上讨论可知由上讨论可知,只要确定只要确定Mj(j=0,1,n)这这n+1个值个值,就就可定出三样条插值函数可定出三样条插值函数S(x)。为了确定。为了确定Mj(j=0,1

12、,n),对对S(x)求导求导得得第17页，共48页，编辑于2022年，星期三第18页，共48页，编辑于2022年，星期三第19页，共48页，编辑于2022年，星期三（2.55）上式两边同乘以上式两边同乘以 ,即得方程即得方程 若记若记 （2.56）第20页，共48页，编辑于2022年，星期三所得方程可简写成所得方程可简写成（2.58）即即 （2.57）三弯矩方程三弯矩方程第21页，共48页，编辑于2022年，星期三 这是一个含有这是一个含有n+1+1个未知数、个未知数、n-1-1个方程的线性方程组个方程的线性方程组.要完全确定要完全确定Mi(i=0,1,n)的值还需要补充两个的值还需要补充两个

13、条件条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间值区间 a,b 的两个端点处的边界条件来补充。的两个端点处的边界条件来补充。第22页，共48页，编辑于2022年，星期三由由(2.53),得得由由(2.54),得得(1)若若已知，已知，则令则令j=0，令令j=n，第23页，共48页，编辑于2022年，星期三第24页，共48页，编辑于2022年，星期三(2)若若已知，已知，代入方程代入方程(2.58)，只只需解需解n-1个方程个方程第25页，共48页，编辑于2022年，星期三 (3)对第三类边界条件：对第三类边界条件：两边同除以两边同除以(j=n)(

14、j=n)(j=0)第26页，共48页，编辑于2022年，星期三令令得得又由又由,三弯矩方程可写为三弯矩方程可写为第27页，共48页，编辑于2022年，星期三第28页，共48页，编辑于2022年，星期三说明：说明：（1）方程组方程组(2.59)(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩系数矩阵都是严格对角占优矩 阵，因此阵，因此方程组方程组(2.59)(2.61有唯一解有唯一解 （2）Mj 在力学上为细梁在在力学上为细梁在xj处处截面截面处的处的弯矩弯矩,且弯矩与相邻且弯矩与相邻的两个弯矩有关的两个弯矩有关,故方程组故方程组(2.59)(2.61)称为称为三弯矩三弯矩方程。方程。Mj 在数在数学上称

15、为学上称为曲率曲率。实际上实际上,方程组方程组(2.59)(2.61)的系数矩阵是一类特殊的矩的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。的解法和性质。第29页，共48页，编辑于2022年，星期三例例 2.14 设在节点设在节点 上，函数上，函数 的值为的值为 ，。试求三试求三次样条插值函数次样条插值函数 ，满足条件，满足条件 解解 （1）利用方程组（）利用方程组（2.56）进行求解，可知）进行求解，可知第30页，共48页，编辑于2022年，星期三对第一类边界条件对第一类边界条件代入三次样条插值函数的

16、表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有），经化简有第31页，共48页，编辑于2022年，星期三（）（）仍用方程组进行求解，不过要注意仍用方程组进行求解，不过要注意 的不同。由于的不同。由于 和和 已知，故可以化简得已知，故可以化简得第32页，共48页，编辑于2022年，星期三由此解得由此解得 。将将 代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），），经化简有经化简有第33页，共48页，编辑于2022年，星期三例例2.15 已知的函数值如下：已知的函数值如下：x 1 2 4 5 1 2 4 5 f(x)1 3 4 2 1 3 4 2在区间在区间 1,

17、51,5 上求三次样条插值函数上求三次样条插值函数S(x),S(x),使它满足边界条件使它满足边界条件 解解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定 的方程组形如（的方程组形如（2.602.60）所示，）所示，由已知边界条件由已知边界条件,有有 则得求解则得求解 的方程组为的方程组为 第34页，共48页，编辑于2022年，星期三根据给定数据和边界条件算出根据给定数据和边界条件算出 与与 第35页，共48页，编辑于2022年，星期三则得方程组则得方程组 解得解得 又又 即得即得S(x)S(x)在各子区间上的表达式在各子区间上的表达式,由式（由式（2.51

18、2.51）知）知,S(x),S(x)在在 上的表达式为上的表达式为代入式代入式(2.50)(2.50)将将 代入上式化简后得代入上式化简后得 第36页，共48页，编辑于2022年，星期三同理同理S(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为 S(x)S(x)在在 上的表达式为上的表达式为 第37页，共48页，编辑于2022年，星期三故所求的三次样条插值函数故所求的三次样条插值函数S(x)S(x)在区间在区间上的表达式为上的表达式为 第38页，共48页，编辑于2022年，星期三下面构造一阶导数值下面构造一阶导数值 表示的三次样条插表示的三次样条插值函数。值函数。在力学上解释为细梁在在力学上解释为

19、细梁在 截面处的转角，并且得到的转截面处的转角，并且得到的转角与相邻两个转角有关，故称用角与相邻两个转角有关，故称用 表示表示 的算法为的算法为三转角算法三转角算法。2.3.3 三转角算法三转角算法第39页，共48页，编辑于2022年，星期三根据根据Hermite插值函数的唯一性和表达式插值函数的唯一性和表达式 可设可设 S(x)在区间在区间xi,xi+1(i=0,1,n-1)的表达式为的表达式为 第40页，共48页，编辑于2022年，星期三对对S(x)求二次导数得求二次导数得于是有于是有同理，考虑同理，考虑S(x)在在xi-1,xi上的表达式，可以得到上的表达式，可以得到第41页，共48页，

20、编辑于2022年，星期三利用条件利用条件 ，得，得（2.62）其中，其中，由（由（2.56）所示，而）所示，而（2.63）方程组方程组(2.63)是关于是关于 的方程组的方程组,有有 个未知数个未知数,但只有但只有 个方程个方程.可由可由(2.44)(2.46)的任一种边界条件补充两个方程。的任一种边界条件补充两个方程。第42页，共48页，编辑于2022年，星期三由此可解得由此可解得m1,m2,mn-1，从而得，从而得 S(x)的表达式的表达式.（2.64）对于边界条件对于边界条件(2.45),两个方程两个方程则则m1,m2,mn-1满足方程组满足方程组 第43页，共48页，编辑于2022年，

21、星期三 对于边界条件对于边界条件(2.44),可导出两个方程可导出两个方程:(2.65)第44页，共48页，编辑于2022年，星期三若令若令则（则（2.62）和（）和（2.65）可合并成矩阵形式）可合并成矩阵形式（2.66）可解出可解出从而得从而得 S(x)的表达式的表达式.第45页，共48页，编辑于2022年，星期三由由(2.62)和和(2.67)可解出可解出 ，方程组的矩阵形式为，方程组的矩阵形式为对于边界条件（对于边界条件（2.46），可得），可得 （2.67）其中其中（2.68）第46页，共48页，编辑于2022年，星期三在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使在实际应

22、用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数 不仅不仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且在内节点处的二阶导数是连续的，而且 逼近逼近 具有很好的收具有很好的收敛性，也是数值稳定的。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，敛性，也是数值稳定的。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，下面只给出误差估计的结论。下面只给出误差估计的结论。2.3.4 三次样条插值函数的误差估计三次样条插值函数的误差估计值函数值函数 ,则有估计式则有估计式 定理定理2.9 设函数设函数记记则对任意则对任意满足边界条件（满足边界条件（2.44）或（）或（2.45）的三次样条插）的三次样条插（2.69）其中其中第47页，共48页，编辑于2022年，星期三 误差估计式（误差估计式（2.69）除可以用于误差估计外）除可以用于误差估计外,它进一步表明，它进一步表明，当当 时，在插值区间时，在插值区间 上，对于满足边界上，对于满足边界条件（条件（2.44）或（）或（2.45）的插值函数）的插值函数 ，不仅，不仅 一致收一致收敛于敛于 ，而且，而且 一致收敛于一致收敛于 ，一致收敛于一致收敛于 。第48页，共48页，编辑于2022年，星期三