专题集合论的创立与发展PPT讲稿.ppt
《专题集合论的创立与发展PPT讲稿.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题集合论的创立与发展PPT讲稿.ppt(66页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、专题集合论的创立与发展第1页,共66页,编辑于2022年,星期三 19世纪世纪,由德国数学家康托由德国数学家康托(G.Cantor,18451918)建)建立的集合论是关于无穷集合与超立的集合论是关于无穷集合与超穷数的数学理论,是人类思想史穷数的数学理论,是人类思想史上最伟大的创造之一。上最伟大的创造之一。第2页,共66页,编辑于2022年,星期三一、无穷是什么?n神秘莫测的,无边无际的,苍穹一样的神秘莫测的,无边无际的,苍穹一样的 迷人的,迷人的,n诗人,作家,艺术家,神学家,科学家诗人,作家,艺术家,神学家,科学家 数学家数学家 第3页,共66页,编辑于2022年,星期三从一粒沙子看世界,
2、从一粒沙子看世界,从一朵野花看苍穹,从一朵野花看苍穹,把无穷掌握在你的手中,把无穷掌握在你的手中,把永恒掌握在顷刻之中。把永恒掌握在顷刻之中。威廉威廉 布莱克(布莱克(William BlakeWilliam Blake)英国著名诗人)英国著名诗人 诗作天真的预言(节选)诗作天真的预言(节选)无穷是什么?无穷是什么?第4页,共66页,编辑于2022年,星期三第5页,共66页,编辑于2022年,星期三数的概念演进数的概念演进n经历四次飞跃:经历四次飞跃:n区别一与多区别一与多n区别少数与大数区别少数与大数n区别有穷数与无穷数区别有穷数与无穷数n区别无穷数的不同层次区别无穷数的不同层次n每一次飞跃
3、代表对数、对无穷的新认识。每一次飞跃代表对数、对无穷的新认识。无穷是什么?无穷是什么?第6页,共66页,编辑于2022年,星期三n阿基米德(阿基米德(Archimedes 287-212 B.C.)在)在数沙者数沙者(The Sand Reckoner)中定出一种计算地球上所有)中定出一种计算地球上所有海滩上的沙粒数目的方法,从而纠正了海滩上的沙粒数目的方法,从而纠正了认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。无穷是什么?无穷是什么?第7页,共66页,编辑于2022年,星期三二、关于无穷集合的早期认识二、关于无穷集合的早期认识n希腊人希腊人 通常认为无穷是不能接受的概
4、念,它是通常认为无穷是不能接受的概念,它是一个不着边际且不确定的东西。一个不着边际且不确定的东西。亚里士多德(亚里士多德(Aristotle,384322 B.C.)n潜无穷与实无穷潜无穷与实无穷n地球的年龄地球的年龄n正整数正整数n整数整数第8页,共66页,编辑于2022年,星期三两种无穷观两种无穷观n亚里士多德在他的亚里士多德在他的物理学物理学中得出中得出的结论是:的结论是:“可选择的是无限具有潜可选择的是无限具有潜性的存在性的存在不会存在实无限。不会存在实无限。”他坚他坚持认为数学中不需要后者。持认为数学中不需要后者。关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识第9页,共66页,编辑于2
5、022年,星期三无限无限悖论栖身之处悖论栖身之处n亚里士多德只承认有穷数的存在。他和亚里士多德只承认有穷数的存在。他和经院哲学家们使用的一个典型论据是,经院哲学家们使用的一个典型论据是,如果承认无穷,就会导致有穷数的如果承认无穷,就会导致有穷数的“湮湮灭灭”。n普洛克鲁(普洛克鲁(ProclusProclus,410410485 A.D.485 A.D.)n伽利略(伽利略(GalileoGalileo,1564156416421642)两门新科学两门新科学(1638(1638)“所所有有无无穷穷大大量量都都一一样样,不不能能比比较较大大小小。”关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识第10
6、页,共66页,编辑于2022年,星期三 n许许多多数数学学家家像像谈谈论论数数一一样样谈谈论论无无穷穷,却却并没有弄清它的概念或确定它的性质。并没有弄清它的概念或确定它的性质。n欧拉欧拉 代数学代数学(1770(1770年年)1/01/0是是无无穷穷大大(而而他他并并没没有有定定义义无无穷穷,只只是用符号表示它)是用符号表示它)2/02/0关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识第11页,共66页,编辑于2022年,星期三 n笛笛卡卡尔尔说说过过:“无无穷穷可可以以被被认认知知,但但不不能被理解。能被理解。”n高高斯斯在在18311831年年写写给给舒舒马马赫赫的的信信中中说说:“我我反反
7、对对把把无无穷穷量量作作为为现现实实的的实实体体来来用用,在在数数学学中中这这是是永永远远不不能能允允许许的的,无无限限只只不不过过是是一一种种说说话话方方式式,我我们们所所说说的的极极限限是是指指,某某些些比比可可以以随随意意地地接接近近它它,而而其其他的则被允许无界地增加。他的则被允许无界地增加。”关于无穷集合的早期认识关于无穷集合的早期认识第12页,共66页,编辑于2022年,星期三 n柯柯西西(Cauchy,Augustin-Louis Cauchy,Augustin-Louis 1789 1789 18571857)n拒拒绝绝承承认认完完成成的的无无限限集集合合的的存存在在,其其根根
8、据据就就是是有有这这类类悖悖论论:一一个个完完成成的的无无限限集集合能与其本身的真正部分建立一一对应。合能与其本身的真正部分建立一一对应。第13页,共66页,编辑于2022年,星期三 有限集合有限集合n大小的比较大小的比较 “整体大于部分整体大于部分”欧几里得欧几里得十条公设最后一条十条公设最后一条n计数的根据计数的根据 波吕斐摩斯的故事波吕斐摩斯的故事 利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。载之一。荷马史诗荷马史诗记载记载荷马(荷马(Homeros)约约9-8B.C.古希腊诗人古希腊诗人有限集合的早期认识有限集合的早期认识 第14页,共6
9、6页,编辑于2022年,星期三n当俄底修斯刺瞎独眼巨人波当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并斐摩斯并离开离开库克克罗普斯国以后,那个不幸的盲普斯国以后,那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草,每出来一只,他就早晨母羊外出吃草,每出来一只,他就从一堆石子中从一堆石子中捡起一起一颗石子。晚上母羊石子。晚上母羊返回山洞,每返回山洞,每进去一只,他就扔掉一去一只,他就扔掉一颗石子。当他把早晨石子。当他把早晨捡起的石子都扔光起的石子都扔光时,他就确信所有的母羊全返回了山洞。他就确信所有的母羊全返回了山洞。第15页,共66页,编辑于2022年,星期三
10、结绳记数成为人类早期表示记数的方法结绳记数成为人类早期表示记数的方法图:日本琉球群岛的结绳图:日本琉球群岛的结绳第16页,共66页,编辑于2022年,星期三三、无穷集合论的创立三、无穷集合论的创立n波尔查诺(波尔查诺(B.Bolzano,17811848,捷,捷克)克)n无穷的悖论无穷的悖论(1851)第17页,共66页,编辑于2022年,星期三n实无穷集合实无穷集合n两个集合等价的概念,即后来叫做两个集合元素之两个集合等价的概念,即后来叫做两个集合元素之间的一一对应关系,适用于有限集合,也适用于无间的一一对应关系,适用于有限集合,也适用于无限集合限集合n无穷集合中部分或子集可以等价于整体无穷
11、集合中部分或子集可以等价于整体n对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数,使对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数,使不同的无穷集合有不同的超限数,但他认为对于不同的无穷集合有不同的超限数,但他认为对于超限数无需计算,所以不用深入研究它们。超限数无需计算,所以不用深入研究它们。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第18页,共66页,编辑于2022年,星期三n为了说明这种等价关系的真实存在,他为了说明这种等价关系的真实存在,他举出了大量实例举出了大量实例.n例如,在实数集例如,在实数集 0,5 与实数集与实数集 0,12 之间可以建立之间可以建立 11 对应关系对应关系 无穷集合论的创立无穷集合论的创
12、立第19页,共66页,编辑于2022年,星期三n直直到到19世世纪纪上上半半叶叶,虽虽然然数数学学家家要要处处理理无无穷穷集集合合,例例如如无无穷穷级级数数、实实数数、自自然然数数,等等等等;但但是是,他他们们一一般般都都避避开开存存在在完成的集合的假定后面的麻烦问题。完成的集合的假定后面的麻烦问题。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第20页,共66页,编辑于2022年,星期三n康托集合论的起源康托集合论的起源n1919世世纪纪,分分析析的的严严密密化化使使人人们们必必须须考考虑虑,收收敛敛的的无无穷穷级级数数(有有一一个个有有限限和和)和和那那些些发发散散级级数数的的区区别别。在在这这些些级级
13、数数中中,三三角角函函数数的的无无穷穷级级数数,即即以以傅傅立立叶叶命命名名的的傅立叶级数,起了极其重要的作用。傅立叶级数,起了极其重要的作用。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第21页,共66页,编辑于2022年,星期三n傅立叶(傅立叶(J.B.J.Fourier,17681830,法国),法国)n 1807年年 “对任意给定的函数都可以对任意给定的函数都可以用一具有特殊类型的系数的三角级数表用一具有特殊类型的系数的三角级数表示示”被称为傅立叶级数被称为傅立叶级数 n成为数学分析与数学物理中强有力的工成为数学分析与数学物理中强有力的工具具,但在当时被认为是缺乏严格性的。但在当时被认为是缺乏严格
14、性的。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第22页,共66页,编辑于2022年,星期三“集合论,至少部分是起源于黎曼集合论,至少部分是起源于黎曼(RiemannRiemann)等人对于三角级数丰富的研究)等人对于三角级数丰富的研究以及对不连续函数的分析。狄里克莱以及对不连续函数的分析。狄里克莱(DirichletDirichlet),李普希兹(李普希兹(LipschitzLipschitz),),汉凯尔(汉凯尔(HankelHankel)等人都对探索三角级数问)等人都对探索三角级数问题时引进例外点集,但主要是因为他们大体题时引进例外点集,但主要是因为他们大体上是在三角级数的范围内考虑问题,虽然所上
15、是在三角级数的范围内考虑问题,虽然所作的大量工作包含了集合论的思想,只是在作的大量工作包含了集合论的思想,只是在对函数分析时充当辅助性手段对函数分析时充当辅助性手段”无穷集合论的创立无穷集合论的创立第23页,共66页,编辑于2022年,星期三n柯西(柯西(A.L.Cauchy,17891857)n1823年,试图建立更严格的傅立叶级数理论,年,试图建立更严格的傅立叶级数理论,但他的许多论证是不充分的。但他的许多论证是不充分的。n狄里希雷(狄里希雷(P.G.L.Dirichlet P.G.L.Dirichlet,1805180518591859)n18291829年年,发发表表了了一一篇篇关关于
16、于傅傅立立叶叶级级数数的的论论文文,其其中中证证明明,对对于于一一个个给给定定的的函函数数,只只要要它它是是连连续续的的,就就完完全全可可以以由由它它的的傅傅立立叶叶级级数数表表示示,端端点点可可能能除除外外,而而在在不不连连续续点点和和端端点点(和和)处处,函函数数仅仅当当满满足足某某些些附附加加条条件件时时才才可由傅立叶级数表示。可由傅立叶级数表示。第24页,共66页,编辑于2022年,星期三康托康托(G.Cantor,18451918)n18701870年年-1872-1872年年“函数展开为三角级数函数展开为三角级数 的唯一性的唯一性”无穷集合论的创立无穷集合论的创立第25页,共66页
17、,编辑于2022年,星期三n数学分析里间断函数求积分问题和三角数学分析里间断函数求积分问题和三角级数收敛性问题的研究都要求对于级数收敛性问题的研究都要求对于产生产生各种不连续情形的函数定义域之上的点各种不连续情形的函数定义域之上的点集集进行特殊的考察,一般是要求能够从进行特殊的考察,一般是要求能够从某一区间的所有点中分离出另一无穷点某一区间的所有点中分离出另一无穷点集。集。这个分离出的无穷集的性质这个分离出的无穷集的性质在很大在很大程度上影响着对有关问题的讨论。程度上影响着对有关问题的讨论。n“无穷的各种关系弄得完全明朗无穷的各种关系弄得完全明朗”无穷集合论的创立无穷集合论的创立第26页,共6
18、6页,编辑于2022年,星期三 “在建立三角级数表达式的唯一性定理时,在建立三角级数表达式的唯一性定理时,他改造了他的前辈和同事的旧思想,表现出他改造了他的前辈和同事的旧思想,表现出一种独创精神。康托在整个研究中将无穷集一种独创精神。康托在整个研究中将无穷集合作为一个独立于函数理论的对象进行考察,合作为一个独立于函数理论的对象进行考察,并在这一过程中大胆开创了数学的一个全新并在这一过程中大胆开创了数学的一个全新领域领域超穷集合论超穷集合论.”.”无穷集合论的创立无穷集合论的创立第27页,共66页,编辑于2022年,星期三n论所有实代数数的一个性质论所有实代数数的一个性质(1874)1874)n
19、1873年年11月月29日,康托在给戴德金的日,康托在给戴德金的一封信中一封信中明确提出了后来导致集合论产明确提出了后来导致集合论产生的问题:正整数的集合(生的问题:正整数的集合(n)与实数的)与实数的集合(集合(x)之间能否建立一一对应?)之间能否建立一一对应?无穷集合论的创立无穷集合论的创立第28页,共66页,编辑于2022年,星期三“取所有正整数取所有正整数 n n的集体,表示为(的集体,表示为(n)n),然后考,然后考虑所有实数虑所有实数 x x的集体,表示为的集体,表示为(x(x);简单说来,);简单说来,问题就是(问题就是(n)n)和(和(x)x)是否能够对应起来,使得是否能够对应
20、起来,使得一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个集体中的每一个个体只对应另一个集体中一个且唯一一个个体?乍一看,我们可以说答一个且唯一一个个体?乍一看,我们可以说答案是否定的,这种对应不可能,因为(案是否定的,这种对应不可能,因为(n)n)由离由离散的部分构成,而(散的部分构成,而(x)x)构成一个连续统;但是构成一个连续统;但是从这种说法我们什么结果也得不到从这种说法我们什么结果也得不到.虽然我非虽然我非常倾向于认为(常倾向于认为(n)n)和(和(x)x)不能有这样一个一意不能有这样一个一意对应,但是我找不出理由,我对这事极为关注,对应,但是我找不出理由,我对这事极为关注,也许这理由非
21、常简单。也许这理由非常简单。”第29页,共66页,编辑于2022年,星期三n历史性发现:尽管有理数具有稠密性,历史性发现:尽管有理数具有稠密性,但是它们是可数的!但是它们是可数的!n戴德金在戴德金在连续性和无理数连续性和无理数(18721872年年出版)出版)n稠密性与连续性稠密性与连续性n康托在康托在1895年给出的第二个证明是现在年给出的第二个证明是现在普遍采用的。普遍采用的。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第30页,共66页,编辑于2022年,星期三证明有理数集证明有理数集Q是可列集(采用对角线的对应方法)是可列集(采用对角线的对应方法)第31页,共66页,编辑于2022年,星期三n“上
22、面把有理数域比作直线,结果认识上面把有理数域比作直线,结果认识到前者充满了间隙,它是不完备的、不到前者充满了间隙,它是不完备的、不连续的,而我们则把直线看成是没有间连续的,而我们则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续的。隙的、完备的和连续的。”第32页,共66页,编辑于2022年,星期三n“连续性公理连续性公理”n实数就其数目和特性而言,要比有理数实数就其数目和特性而言,要比有理数更丰富,因为无理数竟然能不可思议地更丰富,因为无理数竟然能不可思议地填满了有理数以外的所有空隙,从而在填满了有理数以外的所有空隙,从而在连续性和完备性上完全超过了有理数。连续性和完备性上完全超过了有理数。第33页,共
23、66页,编辑于2022年,星期三n1873年年12月月7日日,康康托托在在给给戴戴德德金金的的信信中中断断言言实实数数是是可可数数的的,全全体体实实数数可可以以排排成成一一个个序序 列列。但但他他很很快快发发现现所所给给出出的的证证明明太太繁繁,两两天天后后当当他他企企图图修修改改它它时时,偶偶然然发发现现对对任任意意包包含含在在(0,1)中中的的区区间间(a,b),他他能能够够证证明明存存在在一一个个数数m in(a,b),没有列在上面的序列中。,没有列在上面的序列中。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第34页,共66页,编辑于2022年,星期三n由由此此,康康托托在在一一个个星星期期之之内内
24、戏戏剧剧性性地地改改变变了了自自己己的的主主张张,获获得得一一个个全全新新的的、先先前前几几乎乎不不太太令令人人注注意意的的方方法法突突然然涌涌现现在在他他头头脑脑中中,康康托托得得到到了了意意外外的的收收获获,他他立立即即补补上上了了两两个个证证明明:代代数数数数是是可可数数的的,实数是不可数的。实数是不可数的。无穷集合论的创立无穷集合论的创立第35页,共66页,编辑于2022年,星期三康托这第一步的主要成就在于在混沌一片的无穷划出一康托这第一步的主要成就在于在混沌一片的无穷划出一首线,在无穷当中区分开来可数的与不可数的两类,这首线,在无穷当中区分开来可数的与不可数的两类,这成为研究无穷的出
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 集合论 创立 发展 PPT 讲稿
限制150内