《曲面及其方程》PPT课件.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第六章第六章 四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱三、柱 面面五、小结与思考练习五、小结与思考练习10/25/20221返回返回上页上页下页下页目录目录一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.10/25/20222返回返回上页上页下页下页目录

2、目录如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义定义110/25/20223返回返回上页上页下页下页目录目录故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.例例1 求动点到定点10/

3、25/20224返回返回上页上页下页下页目录目录解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.（课本（课本 例例3）表示怎样半径为的球面.球心为 例例2 研究方程10/25/20225返回返回上页上页下页下页目录目录定义定义2 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴,旋转曲线叫做旋转曲旋转曲线叫做旋转曲面的面的母线母线.例如例如:10/25/20226返回返回上页上页下页下页目录目录故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:

4、则有则有该点转到建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:10/25/20227返回返回上页上页下页下页目录目录求旋转曲面方程时求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐则该坐标轴标轴对应的变量不变对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？10/25/20228返回返回上页上页下页下页目录目录的圆锥面方程.（课本（课本 例例4）解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例3 试建立顶

5、点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为10/25/20229返回返回上页上页下页下页目录目录分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例例4 求坐标面 xoz 上的双曲线(旋转双叶双曲面）旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）旋转单叶双曲面）（习题（习题6-3 5）10/25/202210返回返回上页上页下页下页目录目录三、柱面三、柱面引例引例 分析方程表示怎样的坐标也满足方程解解:在 xoy 面上表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意

6、z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面?10/25/202211返回返回上页上页下页下页目录目录平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.定义定义3 10/25/202212返回返回上页上页下页下页目录目录柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3:H(z,x)=0.

7、母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1:F(x,y)=0.母线准线 yoz 面上的曲线 l2:G(y,z)=0.母线一般地,在三维空间10/25/202213返回返回上页上页下页下页目录目录四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)10/25/202214返回返回上页上页下页下页目录目录椭圆椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方

8、向的伸缩变换伸缩变换得到,见书 P202)1.椭圆锥面椭圆锥面10/25/202215返回返回上页上页下页下页目录目录(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆2.椭球面椭球面10/25/202216返回返回上页上页下页下页目录目录与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)10/25/202217返回返回上页上页下页下页目录目录3.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b时为绕 z 轴的旋转抛物面.xyzxyz10/25/202218返回返回上页上页下页下页目录目录(1

9、)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线双曲线:4.双曲面双曲面10/25/202219返回返回上页上页下页下页目录目录虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:10/25/202220返回返回上页上页下页下页目录目录双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线单叶双曲面:系数二项正,一项为负.双叶双曲面:系数一项正,二项负.图形图形(2)双叶双曲面双叶双曲面（a、b、c 是正数）10/25/202221返回返回上页上页下页下页目录目录

10、内容小结内容小结1.空间曲面空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.10/25/202222返回返回上页上页下页下页目录目录三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:2.二次曲面二次曲面10/25/202223返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习P204 习题习题63 1；3(2)(4);4;6（奇数题）；（奇数题）；7；8（2）（）（3）；）；910/25/202224返回返回上页上页下页下页目录目录斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:10/25/202225返回返回上页上页下页下页目录目录10/25/202226返回返回上页上页下页下页目录目录3.习题习题6-3 8题8答案:在 xoy 面上(2)双曲线双曲线绕绕y轴旋转一周；轴旋转一周；10/25/202227