第一节大数定律优秀课件.ppt

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1、第一节大数定律第一节大数定律第1页，本讲稿共14页大数定律和中心极限定理是概率论中的比较深入与大数定律和中心极限定理是概率论中的比较深入与重要的理论结果。本章主要重要的理论结果。本章主要讨论如下两个问题：讨论如下两个问题：1.在一定条件下在一定条件下,一列随机变量的算术平均值（按某一列随机变量的算术平均值（按某种意义）收敛于所希望的平均值的定理称为种意义）收敛于所希望的平均值的定理称为“大大数定律数定律”。大数定律为概率论所存在的基础大数定律为概率论所存在的基础“概率是频率概率是频率的稳定值的稳定值”提供了理论依据，它以严格的数学形提供了理论依据，它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之

2、一：式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果平均结果的稳定性。的稳定性。它是随机现象统计规律的具体表现，它是随机现象统计规律的具体表现，也成为数理统计的理论基础。也成为数理统计的理论基础。第2页，本讲稿共14页2.在一定条件下，大量的相互独立的随机变量之和在一定条件下，大量的相互独立的随机变量之和 的概率分布近似于正态分布的定理称为的概率分布近似于正态分布的定理称为“中心极限中心极限定理定理”。中心极限定理它以严格的数学形式证明了随机现中心极限定理它以严格的数学形式证明了随机现象另一个最根本的性质之一：如果一个量是由大象另一个最根本的性质之一：如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成

3、，而每一个量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量则这种量一般都一般都服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布。它是随机现象。它是随机现象统计规律的具体表现，也成为数理统计的理论基统计规律的具体表现，也成为数理统计的理论基础。而正态分布又是应用最广的分布。础。而正态分布又是应用最广的分布。第3页，本讲稿共14页 大量的随机现象中大量的随机现象中平均结果的稳定性平均结果的稳定性：大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率第一节第一节 大数定律大数定律 大数定律的客观背景大数定律的客观背景第4页，本讲稿共14

4、页定理定理1（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）设设 X1,X2,是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即方差有共同的上界，即 D(Xi)K，i=1,2,，则对任意的，则对任意的 0，切比雪夫一.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律注：注：切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明表明：独立随机变量序列：独立随机变量序列 Xn，如果方差有共同的上界，则：，如果方差有共同的上界，则：概率接近于1.第5页，本讲稿共14页是很小的，其概率接近于1。即当 n 充分大时，期望的概率接近于1。差不多不再是随机的了，取值接近于其数学算术

5、平均值与其数学期望的偏差切比雪夫大数定律给出了平均切比雪夫大数定律给出了平均定理定理2（切比雪夫大数定律的切比雪夫大数定律的特殊情况）特殊情况）设设 X1,X2,是相互独立的随机变量序列，是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望与方差：它们具有相同的数学期望与方差：作前 n 个随机变量的算术平均值：值稳定性的科学描述值稳定性的科学描述亦称为独立同分布的大数定律第6页，本讲稿共14页则对任意的有：证明证明:由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式可得可得:第7页，本讲稿共14页注注:定理2 是定理1中当数学期望和方差给定具体值时的特殊情况。它表明当 n 很大时，随机变量 的算术平均值在概率意义下

6、接近于数学期望其作用：在数理统计中如不知道 ，则可用其算术平均值来近似代替，则定理2就提供了理论依据。令：并注意到概率所以得：所以得：称序列依概率收敛于常数第8页，本讲稿共14页依概率收敛的序列具有如下依概率收敛的序列具有如下性质性质:证明证明：见教材：见教材P 146页下方的小字体页下方的小字体记为：定理2的结论可叙述为：序列依概率收敛于常数由此，由此，设又设函数 g(x,y)在点(a,b)处连续，则有：则有：第9页，本讲稿共14页二二.贝努利大数定理贝努利大数定理定理定理3.(贝努利定理贝努利定理)设随机变量相互独立，且同时服从以相互独立，且同时服从以 p 为参数为参数的的(0 1)分布。

7、则对任意正数分布。则对任意正数 有：有：或或贝努利第10页，本讲稿共14页证明证明:则由则由定理定理2可得可得:服从 分布其中其中:n 次独立重复试验中事件A发生的次数 p是事件是事件 A 在每次试验中在每次试验中 发生的概率。发生的概率。第11页，本讲稿共14页注注:定理定理3 表明表明：当：当 n 很大时很大时,事件事件A 发生的频率发生的频率 接近于事件 A 发生的概率 P,即证明了频 率的稳定性。从而，当 n(试验次数)很大时 可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率。称事件称事件A 发生的频率发生的频率 依概率收敛于事件依概率收敛于事件A的的概率概率 P。贝努里大数定律贝努里大数定律

8、提供了提供了通过试验来确定事件概通过试验来确定事件概 率的方法。率的方法。问题：问题：定理定理2，定理，定理3 均为独立同分布的大数定律，均为独立同分布的大数定律，并且均要求随机变量的期望与方差都存在。并且均要求随机变量的期望与方差都存在。如果如果没有没有随机变量的随机变量的方差存在方差存在的条件，那么的条件，那么大数定律的结论是否仍成立？大数定律的结论是否仍成立？第12页，本讲稿共14页 三三.辛钦定理辛钦定理定理定理4.（辛钦定理）（辛钦定理）则对任意的正数 有:辛钦设 相互独立，并且服从同一分布，且具有数学期望：第13页，本讲稿共14页 大数定律从各个角度描述了样本的算术大数定律从各个角度描述了样本的算术 平均值的及频率的稳定性平均值的及频率的稳定性。也为人们习。也为人们习 惯上经常采用的用样本的算术平均值去惯上经常采用的用样本的算术平均值去 代替或代替或 估计其平均值；用频率去代替或估计其平均值；用频率去代替或 估计其估计其“概率概率”提供了理论上的依据。提供了理论上的依据。辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了 一条实际可行的途径一条实际可行的途径。注注:请看演示请看演示辛钦大数定律辛钦大数定律 总的：总的：第14页，本讲稿共14页