1-1矩阵概念及运算 (1)-精品文档资料整理.ppt

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1、主讲老师：主讲老师：卢俊杰卢俊杰mail:公共邮箱公共邮箱:xianxingdaishu_ 密码：密码：xiandai13课程中心网站课程中心网站:http:/e- 点击率排行榜点击率排行榜 线性代数线性代数 通知通知:1.作业本作业本10册册，共，共10元元 2.自测题及答案每套共自测题及答案每套共10元（自愿）元（自愿）购买方式：购买方式：以以自然班自然班为单位，各班长领取为单位，各班长领取 时间：周四上午时间：周四上午10:00到到16:15 周五上午周五上午 10:00到到16:15 地点：地点：理学院楼理学院楼123室室（领作业本领作业本 和自测题时班长把钱交齐）和自测题时班长把钱交

2、齐）2 线性代数答疑安排线性代数答疑安排:（第（第三周开始）三周开始）时间时间:双周周三中午双周周三中午 1212：15151313：1515 单周周四中午单周周四中午 1212：15151313：1515 地点地点:教学教学A楼二楼教师休息室楼二楼教师休息室 3 线性代数二课堂报名通知线性代数二课堂报名通知报名报名形式形式:以自然班级为单位集体报名以自然班级为单位集体报名,每人每人听课费听课费60元元，自测题，自测题10元元.报名时间地点报名时间地点:第第2周上课时或第周上课时或第3,4周答疑时间地点周答疑时间地点.线性代数二课堂上课时间线性代数二课堂上课时间:(以下三个时间选一以下三个时间

3、选一)双周二晚双周二晚(施施)6:00-9:00()6:00-9:00(六次六次););单周三晚单周三晚(刘刘)6:00-9:00()6:00-9:00(六次六次););双周四晚双周四晚(鲍鲍)6:00-9:00()6:00-9:00(六次六次).).注：第六周开始，不足注：第六周开始，不足120120人的班将合并或关闭人的班将合并或关闭.4 4 总成绩由卷面和平时成绩构成总成绩由卷面和平时成绩构成卷面成绩占不低于卷面成绩占不低于70%,70%,平时成绩占不超过平时成绩占不超过30%.30%.缺交作业同学的平时成绩在缺交作业同学的平时成绩在8989分的基础上分的基础上,缺一缺一次扣次扣4 4分

4、分,以此类推以此类推.每次作业准时交算缺每次作业准时交算缺0 0次，补交算缺次，补交算缺1 1次，不交算缺次，不交算缺2 2次次,共有共有20222022次次.几点提示几点提示学习方法学习方法数学的通用学习方法数学的通用学习方法线性代数自身的特点线性代数自身的特点n学习手段学习手段n课堂课堂“懂懂”：提问！：提问！n课后课后“动动”：作业！：作业！n辅助活动辅助活动n答疑答疑：n参考书：参考书：刘剑平刘剑平,施劲松施劲松,鲍亮鲍亮,曹宵临曹宵临.华东理工大学出华东理工大学出版社版社 2012年年n L.Johnson,et al.Introduction to Linear Algebra,5

5、th Ed.为什么要学习线性代数？学了又有什么用为什么要学习线性代数？学了又有什么用？基础课、大用场基础课、大用场数学思维训练：数学思维训练：概念概念定理定理性质性质新的结论新的结论建模建模实际问实际问题的数学建模题的数学建模科学计算科学计算(模型求解模型求解)：方程求解（数值分析）（工程问题）方程求解（数值分析）（工程问题）运筹决策、最优化运筹决策、最优化 矩阵矩阵 行列式行列式 线性方程组线性方程组 向量空间向量空间 二次型二次型内容内容 特征值问题特征值问题矩矩 阵阵线性方程组线性方程组行列式行列式向量组向量组一一一一对对应应一一 一一 对对 应应第一章第一章 矩矩 阵阵 矩阵的概念矩阵

6、的概念 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念一、矩阵的定义一、矩阵的定义二、若干特殊矩阵二、若干特殊矩阵三、矩阵的应用举例三、矩阵的应用举例一、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表称为称为 维维矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.记作记作简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.1.1.方阵方阵 行数和列数都等于行数和列数都等于n的矩阵的矩阵A

7、,称为称为n阶矩阵阶矩阵或或n阶方阵阶方阵我们称我们称a11,a22,ann为方阵为方阵A的的主对角元主对角元,它们所在的它们所在的对角线称对角线称为为主对角线主对角线.称称a1n,a2,n-1,an1所在的对角所在的对角线为线为副对角线副对角线.二、若干特殊矩阵若干特殊矩阵例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.主对角线主对角线副对角线副对角线全为零的方阵称为全为零的方阵称为上三角矩阵上三角矩阵。全为零的方阵称为全为零的方阵称为下三角矩阵下三角矩阵。称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（3）形如形如 的方阵的方阵,不全为不全为0记作记作(4)数量矩阵（标量

8、矩阵）数量矩阵（标量矩阵）称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.有时也记作有时也记作E E.全为全为1为为数量矩阵数量矩阵或或标量阵标量阵。当当 时，记作时，记作(5)(5)只有一行元素的矩阵只有一行元素的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).只有一列元素的矩阵只有一列元素的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).（6）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不不同阶数的零矩阵是不“相等相等”的的.例如例如三、矩阵的应用举例三、矩阵的应用举例 1.某某IT集团公司向两个代理商发送三种电脑的数量集团

9、公司向两个代理商发送三种电脑的数量(单位单位:套套)如下表如示：如下表如示：商品名商品名代理商代理商WorkPadTablet PCNC 甲甲a11a12a13乙乙a21a22a23表中的数据可列成矩阵表中的数据可列成矩阵其中其中aij 为该公司向第为该公司向第 i 个代理商发送第个代理商发送第j 种电脑的数量种电脑的数量.另外，这三种电脑的单价及单件重量也可由以下另外，这三种电脑的单价及单件重量也可由以下矩阵来表示：矩阵来表示：其中其中,bi1 为第为第i 种电脑的单价种电脑的单价,bi2 为第为第 i 种电脑的重量种电脑的重量.系数矩阵系数矩阵2 线性方程组线性方程组常数项常数项系数系数常

10、数项常数项线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于其系数可以表示成一个其系数可以表示成一个 mn 维矩阵：维矩阵：线性方程组的系数矩阵线性方程组的系数矩阵其系数与常数项可表示为一个其系数与常数项可表示为一个m(n+1)维矩阵维矩阵:线性方程组的增广矩阵线性方程组的增广矩阵方程组中未知量及常数项可以表示成方程组中未知量及常数项可以表示成n1维和维和m1维矩阵维矩阵:第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算 矩阵的转置矩阵的转置2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同维矩阵同维矩阵,并且对应并且对应元素相等元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作

11、记作例如例如为为同维矩阵同维矩阵.同维矩阵同维矩阵与与矩阵相等矩阵相等的概念的概念1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同维矩阵同维矩阵.例例 设设解解1 1、定义、定义一、数与矩阵相乘显然，显然，0A=O,1A=A.2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）、定义、定义二、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为说明说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如2 2、矩阵加法的运算规律、矩阵加法的

12、运算规律设设A,B,C都是都是mn矩阵，矩阵，,是数，则是数，则 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵统称为矩阵的的线性运算线性运算.由加法和数乘运算，可以定义由加法和数乘运算，可以定义矩阵的减法矩阵的减法，即设即设A=aijmn，B=bijmn，则则例例1 设矩阵设矩阵 ，计算计算解：解：例例2 求解矩阵方程求解矩阵方程 2XAB，其中，其中解：解：由由2XAB,可得可得代入代入A，B，则有，则有三、矩阵与矩阵相乘商品名商品名代理商代理商、定义、定义并把此乘积记作并把此乘积记作设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与

13、矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不存在不存在.说明：说明：2.一个行矩阵与一列矩阵的乘积是一个一阶方阵，一个行矩阵与一列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数，即也就是一个数，即cij是是A的第的第i行与行与B的第的第j列的乘积列的乘积.设设例例3 3故故解解 例例4 设矩阵设矩阵 求矩阵求矩阵AB与与BA.解：解：由于由于B的列数不等于的列数不等于A的行数，因此的行数，因此BA不存在不存在.例例5 设矩阵设矩阵 求矩阵求矩阵AB与与B

14、A.解：由乘法定义，可知解：由乘法定义，可知 例例6 设矩阵设矩阵 求矩阵求矩阵AB与与BA.解：由乘法定义，可知解：由乘法定义，可知 注意：注意：与数的相乘不同与数的相乘不同(1)矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，称称AB为为A左乘左乘B，而称，而称BA为为A右乘右乘B.若若ABBA，则称，则称矩阵矩阵A，B可交换可交换.A,B可交换的可交换的必要条件是必要条件是A,B为同阶方阵为同阶方阵.但也有例外，比如设但也有例外，比如设则有则有(2)在一般情况下，由在一般情况下，由AB0不能得出不能得出A0或或B0的结论的结论.因此，矩阵乘法因此，矩阵乘法不满

15、足消去律不满足消去律.即由即由A0，ABAC，不能推出，不能推出BC.如如 ，有有 但是但是BC.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中（其中 为数）为数）;例例6 两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。上三角矩阵的乘积仍是上三角阵。上三角矩阵的乘积仍是上三角阵。对角阵的乘积仍为对角阵对角阵的乘积仍为对角阵。000在在ij时，右端第一个和式中的时，右端第一个和式中的bkj=0,第二个和式中第二个和式中的的aik=0,从而从而cij=0,由此得证由此得证CAB为下三角矩阵为下三角矩阵.例例7 设设 ，求所有与，求所有与A 可交换的矩阵可交换的矩阵.解：解

16、：由可交换矩阵的定义可知，所求矩阵必为由可交换矩阵的定义可知，所求矩阵必为2阶方阵，不妨设为阶方阵，不妨设为于是有于是有由由ABBA，有，有即即 c=0,a=d.因此因此3.3.矩阵的幂矩阵的幂(1)矩阵幂的定义矩阵幂的定义 设设A是是n阶方阵，阶方阵，k为正整数，定义为正整数，定义Ak为为k个个A连连乘，即乘，即(2)矩阵幂的运算规律矩阵幂的运算规律 设设A是方阵，是方阵，k,m是正整数，则是正整数，则 注意注意：由于矩阵乘法不满足交换律，因此对于：由于矩阵乘法不满足交换律，因此对于两个两个n阶矩阵阶矩阵A与与B，一般而言，一般而言，如如 则则 即即(AB)2A2B2.例例8 设设 f(x)

17、=x3-3x2+3x+2,以以f(A)表示矩阵多项式，即表示矩阵多项式，即 f(A)=A3-3A2+3A+2I,若若试求试求 f(A).解法一：解法一：f(A)=A3-3A2+3A+2I解法二：解法二：设设f(x)=amxm+am-1xm-1+a0，A是一个方是一个方阵阵，定，定义义f(A)=amAm+am-1Am-1+a0I称之为称之为矩阵矩阵A的多项式的多项式.例例9 试证当试证当n为正整数时，为正整数时，证明：证明：当当n=1时，等式显然成立时，等式显然成立.对对n使用数学归纳法使用数学归纳法.设当设当n=k时，成立时，成立当当n=k+1时，有时，有因此，结论成立因此，结论成立.方法：归

18、纳法方法：归纳法例例9的几何解释的几何解释事实上，在平面直角坐标系中事实上，在平面直角坐标系中表示将坐标点表示将坐标点(x,y)逆时针旋转逆时针旋转角角.例例9等式的左边表示将点等式的左边表示将点(x,y)连续连续n次逆时针旋次逆时针旋显然结果是一样的，因此，等式成立显然结果是一样的，因此，等式成立.转转角，角，等式右边表示将等式右边表示将(x,y)逆时针旋转逆时针旋转n角，角，解解例例10由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，所以对于任意的所以对于任意的 都有都有例例 11 设设 ，求，求解：解：由此归纳出

19、由此归纳出下面用数学归纳法证明上式成立。下面用数学归纳法证明上式成立。当当n=2时等式显然成立时等式显然成立.假设当假设当n=k时等式成立时等式成立.当当n=k+1时，时，因此，对一切因此，对一切n，都有，都有解：解：因此，因此，当当n是偶数时，则是偶数时，则当当n是奇数时，则是奇数时，则例例12 已知已知 ，n是正整数，求是正整数，求 求求An 或或A的高次幂的常用方法：的高次幂的常用方法：(1)若若A为一个列矩阵与行矩阵的乘积，则由矩阵乘为一个列矩阵与行矩阵的乘积，则由矩阵乘法的结合律，进而可得法的结合律，进而可得(2)计算计算A的低次幂，由此归纳出的低次幂，由此归纳出An的表达式，并的表

20、达式，并用数学归纳法证明用数学归纳法证明.(3)计算计算A的低次幂，利用其中出现的特殊矩阵的低次幂，利用其中出现的特殊矩阵(如如数量阵、单位矩阵、零矩阵数量阵、单位矩阵、零矩阵)求出求出An 或或A的高次幂的高次幂.数量阵与所有数量阵与所有n阶方阵作乘法可交换阶方阵作乘法可交换例例、转置矩阵、转置矩阵（TransposeTranspose）四、矩阵的转置运算定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 或或 .转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例例 已知已知解法解法1解法解法22、对称阵与反对称阵对称阵、对

21、称阵与反对称阵对称阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。说明说明例例 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 命题得证命题得证.小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念(2)特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵;对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵;零矩阵零矩阵.矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每一个元素一个元素.