第七讲机器人动力学优秀课件.ppt

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1、第七讲机器人动力学第1页，本讲稿共78页第四章第四章 机器人动力学机器人动力学2022/10/262022/10/26动动力学研究的力学研究的问题问题：机器人各个关机器人各个关节节的运的运动动与关与关节节需要的需要的驱动驱动力（矩）之力（矩）之间间的关系。的关系。正正问题问题：已知关：已知关节节运运动动，求，求 关关节驱动节驱动力（矩）。力（矩）。逆逆问题问题：已知关：已知关节驱动节驱动力（矩），力（矩），求关求关节节运运动动。第2页，本讲稿共78页数学模型数学模型：关节运动关节运动位移、速度、加速度变化位移、速度、加速度变化 关节驱动力（矩）关节驱动力（矩）驱动力或驱动力矩驱动力或驱动力矩i

2、动力学方程动力学方程：，i=1，n正问题正问题：已知：已知 ，求，求i。逆问题逆问题：已知：已知i ，求，求 。第四章第四章 机器人动力学机器人动力学2022/10/262022/10/26第3页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1、力学分析、力学分析2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法3、动动力学模型力学模型2022/10/262022/10/26第4页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1、力学分析、力学分析2022/10/262022/10/26（1）静力学分析）静力学分析 机器人各个关机器人各个关节处节处于静止状于静止状态态。当当负载为负载为一重物一重物

3、时时：关关节节承受的力和力矩：承受的力和力矩：关关节节需要的需要的驱动驱动力（矩）：力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)1=02=mgl23=mg第5页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1、力学分析、力学分析2022/10/262022/10/26（1）静力学分析）静力学分析 机器人各个关机器人各个关节处节处于静止状于静止状态态。考考虑虑杆件自重杆件自重时时：关关节节承受的力和力矩：承受的力和力矩：关关节节需要的需要的驱动驱动力（矩）：力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2

4、)1=02=mgl23=mgm3gm2gm1g第6页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1、力学分析、力学分析2022/10/262022/10/26（2）动动力学分析力学分析 机器人各个关机器人各个关节处节处于运于运动动状状态态。当当负载为负载为一重物一重物时时：关关节节承受的力和力矩：承受的力和力矩：关关节节需要的需要的驱动驱动力（矩）：力（矩）：f3f2f1m2l2l1m1123m3第7页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26拉格朗日方程的一般形式为：拉格朗日方程的一般形式为：式中，式

5、中，广义力，它可以是力，也可以是力矩；广义力，它可以是力，也可以是力矩；系统选定的广义坐标；系统选定的广义坐标；广义坐标对时间的一阶导数，即速度；广义坐标对时间的一阶导数，即速度；拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定义为系统的动能与势能之差义为系统的动能与势能之差L=T-U。第8页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26 对给对给定的机器人，可以按以下几个步定的机器人，可以按以下几个步骤骤建立拉建立拉格朗日格朗日动动力学方程：力学方程：（1）选选取完全并独立的广取完

6、全并独立的广义义坐坐标标；（2）选选定广定广义义力；力；（3）求出系）求出系统统的的动动能能T T和和势势能能U U，并用其构造拉格，并用其构造拉格朗日函数朗日函数L L=T T-U U；（4）将以上）将以上结结果代入拉格朗日方程式中，即可求果代入拉格朗日方程式中，即可求得机器人的得机器人的动动力学方程。力学方程。第9页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26例：例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个已知二关节机器人如图所示，机器人的两个连杆长度分别为连杆长度分别为l1和和l2，质量分别为，质量分别为m1

7、和和m2，且集，且集中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速度为度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器人的动力学方程。人的动力学方程。解：解：选取连杆绕关节的转角选取连杆绕关节的转角为变量为变量1和和2，则系统的广义，则系统的广义坐标就可以选为坐标就可以选为 ，即，即 转动关节对应的是力矩，转动关节对应的是力矩，所以广义力就选为所以广义力就选为 ，即即 。12m1m2xy关关节节1关关节节2第10页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/2620

8、22/10/26求出各连杆的动能和势能：求出各连杆的动能和势能：连杆连杆l1的动能为：的动能为：连杆连杆l1的势能为：的势能为：对连杆对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直求动能和势能时，要先写出其质心在直角坐标系中的位置表达式：角坐标系中的位置表达式：然后求微分，则其速度就为：然后求微分，则其速度就为：由此可得连杆的速度平方值为：由此可得连杆的速度平方值为：第11页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26求出各连杆的动能和势能：求出各连杆的动能和势能：从而连杆从而连杆l2的动能为：的动能为：势能为：势

9、能为：则可构造出拉格朗日函数为：则可构造出拉格朗日函数为：第12页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26求出机器人动力学方程：求出机器人动力学方程：先将拉格朗日函数对先将拉格朗日函数对 和和 进行微分，即：进行微分，即：第13页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26求出机器人动力学方程：求出机器人动力学方程：再将拉格朗日函数对再将拉格朗日函数对 和和 进行微分，即：进行微分，即：第14页，本讲稿共78页4.1 4.1 动

10、力学模型动力学模型2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2022/10/262022/10/26求出机器人动力学方程：求出机器人动力学方程：将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：第15页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型3、动动力学模型力学模型2022/10/262022/10/26将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：当机器人有当机器人有n个关节时，上式可推广为普遍形式：个关节时，上式可推广为普遍形式：第16页，本讲稿共78页4.1 4.1 动力学模型动力学模型3、动动力学模型力学模型2

11、022/10/262022/10/26将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：上式也称为机器人的动力学模型。上式也称为机器人的动力学模型。式中：式中：是机器人动力学模型中的惯性力项，是机器人动力学模型中的惯性力项，表示机器人操作机的质量矩阵，它是表示机器人操作机的质量矩阵，它是nn阶的阶的对称矩阵，。对称矩阵，。是是n1阶矩阵，表示机器人动力学模型中非线性阶矩阵，表示机器人动力学模型中非线性的耦合力项，包括离心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）。的耦合力项，包括离心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）。也是也是n1阶矩阵，表示机器人动力学模型中的重力项。阶矩阵，表示机

12、器人动力学模型中的重力项。第17页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/261 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程2 2、递推计算公式、递推计算公式3 3、递推算法应用、递推算法应用第18页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/26牛顿牛顿欧拉方程原理欧拉方程原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则

13、当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则可先由机器人机座开始向手部杆件可先由机器人机座开始向手部杆件正向递推正向递推出每个杆件在自出每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度，再用牛顿身坐标系中的速度和加速度，再用牛顿欧拉方程得到机器欧拉方程得到机器人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关节人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关节开始向第一个关节开始向第一个关节反向递推反向递推出机器人每个关节上承受的力和出机器人每个关节上承受的力和力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样就确定了机器人关节的驱动

14、力（矩）与关节位移、速度和加速就确定了机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度和加速度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。第19页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/26牛顿牛顿欧拉方程递推过程欧拉方程递推过程：正向递推正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度：已知机器人各个关节的速度和加速度从从1n递推递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度机器机器人每个杆件质心上的速度和加速度人每个杆件质心上的速度和加速度再用牛顿再用牛顿欧

15、拉欧拉方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。反向递推反向递推：根据正向递推的结果：根据正向递推的结果从从n1递推出机器人每递推出机器人每个关节上承受的力和力矩个关节上承受的力和力矩得到机器人每个关节所需要的得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩）。驱动力（矩）。第20页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/261 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（1 1）牛顿方程）牛顿方程惯性力惯性力 矢量。矢量。质心上的线加速度。质心上的线加速度。第21页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧

16、拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/261 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（2 2）欧拉方程）欧拉方程惯性力矩惯性力矩 矢量。矢量。质心上的惯性张量矩阵。质心上的惯性张量矩阵。第22页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/261 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（2 2）欧拉方程）欧拉方程惯性力矩惯性力矩惯性张量矩阵：惯性张量矩阵：a.a.坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。b.b.元素名称：元素名称：Icxx，Icyy，Iczz惯性矩；惯性矩；Icxy=Icyx,Icyz

17、=Iczy,Iczx=Icxz惯性积。惯性积。第23页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/261 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（2 2）欧拉方程）欧拉方程惯性力矩惯性力矩惯性张量矩阵：惯性张量矩阵：理论计算方法：理论计算方法：实验测试法：实验测试法：惯量摆仪器。惯量摆仪器。第24页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/262、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度：已知机器人各个关节的速度和加速度：从从1n递推出机器人每个杆件在

18、自身坐标系中的速度和加速递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度；度；机器人每个杆件质心上的速度和加速度；机器人每个杆件质心上的速度和加速度；机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。第25页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/262、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：以第一种杆件坐标系为例以第一种杆件坐标系为例杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：建立相邻两个杆件的坐标系：i-1i-1、i i。Oiii-1关节关节iXi-1

19、Z i-1Oi-1XiZi第26页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式已知：已知：i i关节速度和加速度关节速度和加速度 i-1 i-1杆件速度和加速度杆件速度和加速度计算：计算：i i杆件速度和杆件速度和 加速度加速度2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第27页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推

20、计算公式杆件速度和加速度递推计算公式分析：分析：I I、坐标系、坐标系:相邻杆件位姿矩阵相邻杆件位姿矩阵IIII、关节速度和加速度、关节速度和加速度 的矢量化：的矢量化：2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第28页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第29页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程

21、法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第30页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2022/10/262022/10/26关节关节iii-1Xi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第31页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1

22、 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的速度和加速度杆件质心上的速度和加速度2022/10/262022/10/26iXiZiOi第32页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的惯性力和惯性力矩杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力惯性力：惯性力矩惯性力矩：2022/10/262022/10/26iXiZiOi第33页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/262、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：以第二种杆件坐标系为例以第二种杆件坐标

23、系为例杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：建立相邻两个杆件的坐标系：i-1i-1、i i。ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第34页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式已知：已知：i i关节速度和加速度关节速度和加速度 i-1 i-1杆件速度和加速度杆件速度和加速度计算：计算：i i杆件速度和加速度杆件速度和加速度2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1O

24、i-1XiZiOi第35页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式分析：分析：I I、坐标系、坐标系:相邻杆件位姿矩阵相邻杆件位姿矩阵IIII、关节速度和加速度、关节速度和加速度 的矢量化：的矢量化：2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第36页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度

25、递推计算公式2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第37页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第38页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的速度和加速度杆件质心上的速度和加速度2022/10/262022/10/26

26、iXiZiOi第39页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的惯性力和惯性力矩杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力惯性力：惯性力矩惯性力矩：2022/10/262022/10/26iXiZiOi第40页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/262、递递推推计计算公式算公式（2 2）反向递推）反向递推：已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩：已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩：从从n1递推出机器人每个关节承受的力和力矩；递推出机器人每个关节承受的力和力

27、矩；机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。第41页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2022/10/262022/10/262、递递推推计计算公式算公式（2 2）反向递推）反向递推：以第二种杆件坐标系为例以第二种杆件坐标系为例关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式 建立相邻两个杆件的建立相邻两个杆件的坐标系：坐标系：i-1i-1、iiii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第42页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（2 2）反向递推）反向递推：关

28、节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式已知：已知：i-1i-1杆件的惯性力杆件的惯性力 和惯性力矩和惯性力矩 i i关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩计算：计算：i-1i-1关节承受的力和关节承受的力和 力矩力矩2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第43页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式分析：分析：I I、坐标系、坐标系:相邻杆件位姿矩阵相邻杆件位姿矩阵IIII、i

29、-1i-1杆件受力分析：杆件受力分析：2022/10/262022/10/26ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi第44页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式以以i-1i-1杆件为研究对象，杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：由达朗贝尔原理可得：2022/10/262022/10/26i-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1Oi第45页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（2 2

30、）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式以以i-1i-1杆件为研究对象，杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：由达朗贝尔原理可得：2022/10/262022/10/26i-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1Oi第46页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2、递递推推计计算公式算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节驱动力（矩）关节驱动力（矩）平移关节：平移关节：回转关节：回转关节：则关节驱动力（矩）为：则关节驱动力（矩）为：2022/10/262022/10/26i-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1第47页，本讲稿共

31、78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用（1 1）递推初始条件）递推初始条件正向递推正向递推机座机座0 0的速度和加速度：的速度和加速度：*考虑杆件自重或手部负载为重物时：考虑杆件自重或手部负载为重物时：为描述在机座坐标系为描述在机座坐标系00中的标准重力加速度。中的标准重力加速度。2022/10/262022/10/26gx0z0o0第48页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用（1 1）递推初始条件）递推初始条件反向递推反向递推机器人手部负载：机器人手部负载：2022/10/262022/10/26第4

32、9页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用（2 2）递推应用条件）递推应用条件已知机器人的关节变量已知机器人的关节变量 及其速度及其速度 和加速度和加速度 ；已知任一杆件已知任一杆件i i相对于与自身坐标系相对于与自身坐标系ii方向相同的坐标方向相同的坐标系系CCi i 所描述的惯性张量所描述的惯性张量 及其质心在自身坐标系及其质心在自身坐标系ii中的中的位置矢量位置矢量 （可用实验等方法确定）；（可用实验等方法确定）；已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。2022/10/262022/10/26第50

33、页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用（2）递递推推应应用条件用条件第二种坐第二种坐标标系下系下递递推算法推算法正向正向递递推推:2022/10/262022/10/26第51页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用（2）递递推推应应用条件用条件第二种坐第二种坐标标系下系下递递推算法推算法反向反向递递推推:2022/10/262022/10/26第52页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用例：已知二自由度机器人如图例：已知二自由度机器人如图所

34、示，机器人两个杆件的长度所示，机器人两个杆件的长度分别为分别为 和和 ，且其质量，且其质量 和和 都集中在杆件的端头。若用第都集中在杆件的端头。若用第二种方法建立机器人的坐标系，二种方法建立机器人的坐标系，当机器人各个关节的位移当机器人各个关节的位移 、速度、速度 和加速度和加速度 已知已知时，试用牛顿时，试用牛顿欧拉递推算欧拉递推算法计算各关节的驱动力矩。法计算各关节的驱动力矩。2022/10/262022/10/2612m1m2xy关关节节1关关节节2第53页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：建立坐解：建立坐标标系如系如图图所示。相

35、所示。相邻邻杆件的位姿矩杆件的位姿矩阵为阵为：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2第54页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推已知关已知关节节速度和加速度分速度和加速度分别为别为 ，由于考，由于考虑虑杆件的重量，所以杆件的重量，所以机座的运机座的运动动参数（初始条件）参数（初始条件）设为设为：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第55页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程

36、法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第56页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第57页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1

37、y2g第58页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第59页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第60页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/26

38、2022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第61页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第62页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第63页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递

39、递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第64页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第65页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第

40、66页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(1)正向正向递递推推2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第67页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推 由于机器人手部无由于机器人手部无负载负载，所以，所以初始条件初始条件为为：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第68页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推

41、算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节2受的力和力矩：受的力和力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第69页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节2受的力和力矩：受的力和力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第70页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节2的的驱动驱动力矩：

42、力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第71页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节1受的力和力矩：受的力和力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第72页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节1受的力和力矩：受的力和力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1

43、关关节节2x1x2y1y2g第73页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节1受的力和力矩：受的力和力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第74页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节1的的驱动驱动力矩：力矩：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第75页，本讲稿共78页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉

44、方程法欧拉方程法3、递递推算法推算法应应用用解：解：(2)反向反向递递推推关关节节1和和2的的驱动驱动力矩力矩为为：2022/10/262022/10/2612m1m2x0y0关关节节1关关节节2x1x2y1y2g第76页，本讲稿共78页习习 题题1.机器人机器人动动力学解决什么力学解决什么问题问题？什么是？什么是动动力学正力学正问题问题和逆和逆问题问题？2.写出写出动动力学模型，并力学模型，并简简述各述各项项的含的含义义?3.什么是牛什么是牛顿顿方程？什么是欧拉方程？有何作用？方程？什么是欧拉方程？有何作用？4.什么是什么是惯惯性性张张量矩量矩阵阵？如何？如何计计算？算？5.正向正向递递推的作用是什么推的作用是什么?分哪几步分哪几步实现实现？6.反向反向递递推的作用是什么推的作用是什么?分哪几步分哪几步实现实现？7.正向正向递递推和反向推和反向递递推的初始条件各是什么？当考推的初始条件各是什么？当考虑虑杆件自重或手部杆件自重或手部负载为负载为重物重物时时，初始条件有何，初始条件有何变变化化？2022/10/262022/10/26第77页，本讲稿共78页习习 题题2022/10/262022/10/26400400m第78页，本讲稿共78页