第三章矩阵的初等变换与线性方程组优秀课件.ppt

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1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组第1页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组引例引例求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第第9讲讲 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一一 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换第2页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组解第3页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第4页，本讲稿共71页10/26

2、/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组于是解得（2）第5页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组小结：1 1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2 2始终把方程组看作一个整体变形，用始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换到如下三种变换（1 1）交换方程次序；）交换方程次序；（2 2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k k倍倍（与相互替换）（以替换）（以替换）第6页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩

3、阵的初等变换与线性方程组3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换第7页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(B(方方程组（程组（1 1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换第8页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三

4、章 矩阵的初等变换与线性方程组定义定义1 1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二二 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第9页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换且变换类型相同类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记所用记号是把号是把“r r”换成换成“c c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为统称为初等变换初等变换.elementary transformati

5、on第10页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第11页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第12页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第13页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第14页，本讲稿共71页1

6、0/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第15页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组特点：特点：（1 1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2 2）、每个）、每个台阶台阶 只有一只有一行，行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元第16页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组注意：行最简形矩阵是由方程组唯一

7、确定的，行注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形成标准形第17页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例如，第18页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组特点：所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.第19页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(2)的充

8、分必要条件是存在n阶可逆阵Q，A Bc(3)的充分必要条件是存在m阶可逆阵P三三 初等变换的基本性质初等变换的基本性质及n阶可逆阵Q,使得(1)的充分必要条件是存在m阶可逆阵P，rA B定理1 设A与B为矩阵，使得使得推论 方阵A可逆的充分必要条件是 A Er第20页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组如果A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P使得那么，如何求出可逆矩阵P?如果对（A,E）作初等变换，那么，当A变成B是，E就变成了P，也就是可逆阵P。第21页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

9、解解例四四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题利用初等变换求逆矩阵及相关问题第22页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第23页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组即即初等行变换初等行变换第24页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例解解第25页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第26页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第27页，本讲稿共71页10/26/2

10、022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组列变换列变换第28页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组解解例3第29页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第30页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第31页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组四四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题利用初等变换求逆矩阵及相关问题例1 设求r?第32页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变

11、换与线性方程组r例2 设 的行最简形为F，求F,并求一个可逆阵P，使得PA=F?PA=F(行最简形),第33页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组注 对于矩阵方程只需转置:例例3 解矩阵方程解矩阵方程AX=B,其中其中r的解的解.例4 设求线性方程组AX=B，X?第34页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一一 矩阵秩的定义矩阵秩的定义第第10讲讲 矩阵的秩矩阵的秩第35页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第36页，本讲稿共71页10/26/2022

12、河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例5.1解解第37页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例5.2解解第38页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例5.3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，第39页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！第40页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组定理3 若则推论推论 若若P、Q可逆，则可逆，则R(PA

13、Q)=R(A)例6 设A为 矩阵,R(A)=2,求R(AB).二二 初等变换法求矩阵的秩初等变换法求矩阵的秩第41页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组初等变换法初等变换法:用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中则行阶梯形矩阵中非零行的行数非零行的行数就是矩阵的秩就是矩阵的秩.例7 求矩阵的秩.例8 设 已知R(A)=2，求 及 第42页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换

14、变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例7解解第43页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第44页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第45页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第46页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知第47页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩

15、阵的初等变换与线性方程组第48页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.第49页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第50页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组三三 常用的矩阵秩不等式常用的矩阵秩不等式l l l 当 时，l 例9 设A为n阶矩阵，证明例10 设 且 则列满秩列满秩以后陆续证明以后陆续证明第51页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组对于线性方程组对于线性方

16、程组Ax=b,(1)当当 时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 时时,方程组有解方程组有解;时,有无限多个解.且时,有唯一解,第第11讲讲 线性方程组的解线性方程组的解相容相容 不相容不相容特解特解 通解通解不妨设R(A)=r.的行最简形为的行最简形为第52页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组重要定理重要定理定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的.定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理3 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.定理4 如果齐次线性方程组 有

17、非零解,则它的系数行列式必为零.第53页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(1)无解无解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)R(A,b);一一 线性方程组解的判别定理线性方程组解的判别定理定理定理4 n元线性方程组元线性方程组 Ax=b(2)有惟一解有惟一解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有无限多解有无限多解的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n.(或：有解的充分必要条件是或：有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)推论推论1 Ax=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是R(

18、A)n 推论推论2 AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)例11 证明第54页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例例1212 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二二 求解线性方程组求解线性方程组第55页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组第56页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组由此即得第57页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初

19、等变换与线性方程组例13 求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第58页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例14 求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换第59页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组故方程组有解，且有故方程组有解，且有第60页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组所以方程组的通解为第61页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章

20、 矩阵的初等变换与线性方程组例15 解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为第62页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第63页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组由此得通解：由此得通解：第64页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例16 设有线性方程组解解第65页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第6

21、6页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组其通解为其通解为第67页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组这时又分两种情形：这时又分两种情形：第68页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第69页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例12 求解齐次线性方程组例13 求解非齐次线性方程组第70页，本讲稿共71页10/26/2022河北科大理学院第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例14 设有线性方程组问取何值时,此方程组(3)有无限多解?并在有无限多解时求其通解.(1)有惟一解;(2)无解;第71页，本讲稿共71页