《常微分方程》PPT课件.ppt

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1、第六章第六章 常微分方程常微分方程不定不定积分分问题 微分方程微分方程问题 推广6.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 6.2 一一阶微分方程微分方程 6.3 二二阶微分方程微分方程6.4 用用Matlab软件解二件解二阶常系数常系数 非非齐次微分方程次微分方程6.16.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何几何问题物理物理问题解解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:(C为任意常数)由得C=1,因此所求曲线方程为由得例例1 1 一曲一曲线通通过点点(1,2),(1,2),且在且在该曲曲线上任意点上任意点处的切的切线斜率斜率为2

2、x2x，求，求这曲曲线的方程的方程。例例22 质量量为m m的的物物体体从从空空中中自自由由下下落落，若若略略去去空空气气阻阻力力求求物物体体下下落落的的距距离离s s与与时间t t的函数关系的函数关系s(t)s(t)。解；未知函数s(t)s(t)应满足方程,即两边积分得再积分一次，得此外，设运动开始时，物体的初始速度和初始位移为零，得常微分方程偏微分方程1.含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微微分方程分方程.2.微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的微分方程的阶.(本章内容)微分方程的基本概念微分方程的基本概念分类例如 为二阶微分方程3.代入微分方程后，能使之成为

3、恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解.4.用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.微分方程的基本概念微分方程的基本概念特解通解(不含任意常数)分类5.寻求微分方程的解的过程称为解微分方程.一阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程转化 两边积分 例例33(细菌菌繁繁殖殖模模型型)在在一一个个理理想想的的环境境中中，细胞胞的的繁繁殖殖率率与与细菌菌的的数数目目成成正正比比，若若 时细菌菌的的数数目目为，求系，求系统的的细菌繁殖菌繁殖规律。律。两边积分解：设示在时刻细菌数目，依题意有即(C为任意常数)又因，为已知,故特解为例4（自然生长模型）

4、表示一种生物在时间t时种群总数，开始时种群总数分别表示该总群的出生率和死亡率，实践证明解：在t到t这段时间内种群总数改变量为当时采用可分离变量后，积分得其中r0，k0，试求该种群的自然生长规律。由 确定常数C，则可得生物总群自然增长规律：此式称为Logistic方程，显然当其曲线图为例5（肿瘤生长模型）设是肿瘤体积。免疫系统非常脆弱时，V呈指数式增长，但V长大到一定程度后，因获取的营养不足使其增长受限制。描述V的一种数学模型是：是肿瘤可能长到的最大体积，确定肿瘤生长规律解：分离变量两边积分由初始条件 ，可确定 ，故特解是即此为贡柏茨方程此为贡柏茨方程图形二、可化二、可化为分离分离变量的某些方程

5、量的某些方程*1.齐次方程次方程 形如令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例例6.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)例例7.解微分方程解：将右端函数的分子，分母同解：将右端函数的分子，分母同时除以自除以自变量量x此此为齐次方程，令次方程，令分离分离变量，再两量，再两边积分分将将u带回得回得2.型方程作作变换例例8.求方程 的通解解：令解：令 则得方程通解得方程通解为将将 代回得原方程通解代回得原方程通解一一阶线性微分方程性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x

6、)0,若 Q(x)0,称为非非齐次方程次方程.称为齐次方程次方程;定义3 如果方程中未知函数的导数（微分）的最高阶数是一阶的，且所含未知函数及导数（微分）都是一次幂的，则称这种方程为一阶线性微分方程。一、一一、一阶线性微分方程性微分方程1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为这里 仅表示p(x)的一个原函数2.解非齐次方程改写为两边积分令令（1）下面求C（x），对（1）求导得代入标准方程得齐次方程通解非齐次方程特解故原方程的通解即两端积分得1.齐次方程 通解为：.非齐次方程 通解为：例9 用常数变易法求一阶线性方程通解解：齐次方程通解：用常数变易法，令代入原方程得即故通解为例10 用通解公式求

7、一阶线性方程的通解解：则通解为严格的说，上式仅当 时才成立。当 x0 时例11 (饮食与体重模型)某人每天从食物中获取10500J热量，其中5040J用于基础代谢。他每天的活动强度，相当于每千克体重消耗672J.此外，余下的热量均以脂肪的形式储存起来，每42000 J可转化为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化的，会达到平衡吗?解：依题意，进食增加 基础代谢 活动消耗例12（药代动力学模型）假定药物以恒定速率K0向一个同质单元进行静脉滴注，K0的单位为单位时间的药量，并且药物在同质单元内按一级消除速率常数K的过程消除。K的单位为时间的倒数。试求此系统药物随时间变化规律。由于 ，故解：依

8、题意单位时间内药物变化率应该等于输入与输出之差，则例13（细菌繁殖非理想环境模型），除系统本身的繁殖外有的细菌向系统外迁移，其迁移速率是时间t的线性函数，即At+B，系统内繁殖率与细菌的数目成正比，并假定t=0时，测得的细菌的数目为x(0)，求系统的细菌繁殖规律解：设 为t时刻细菌数目，则解得代入 则二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程*伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)例例14 求方程 的通解解：解：这是伯努力方程是伯努力方程，其中 则 课堂练习题:求的特解解解:由由标准形式知准形式知则通解通解由由得得

9、所求特解所求特解为:6.3.1 可降阶高阶微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程 三、三、型的微分方程型的微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 令 则两端积分得则再积分，得通解例15 求方程的通解 积分一次得再积分一次得最后积分得型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、二、例16求方程 满足初始条件 的特解。解：设原式为分离变量并积分即用 代替 ，得积分得代入初始条件得故特解是三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例例17.求解故所求通解为解解:原始

10、可写为两端积分得可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令注意：注意：对于 型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解632二阶线性常系数齐次方程定义5如果方程中未知函数的导数(或微分)的最高阶数是二阶的，且所含未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次幂的，则称这种方程为二阶线性微分方程，一般形式为：称之为二阶线性齐次方程；称之为二阶线性非齐次方程称之为二阶线性常系数微分方程(a、b、c均为常数)称之为二阶线性常系数齐次微分方程(a、b、c均为常数)定理1若函数和是二阶线性常系数齐次微分方程的两个解，则其线性组合也是该方程的解。其中Cl、C2是两个任意常数。定理2 若

11、 和 是二阶线性常系数齐次 微分方程的两个线性无关的特解，则 就是该方程的通解其中C1和C2是两个任意常数。定理3设是二阶线性非齐次方程的一个特解，是其对应的二阶线性齐次方程的通解，则是二阶线性非齐次方程的通解。定理1、2、3说明：非齐次通解齐次通解非齐次特解齐次特解齐次特解(线性无关)二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,(r 为待定常数),所以令的解为 其根称为特征根特征根.1.当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为则微分它的特征方程为其根为两个相异实根，故则代入初始条件，得故所求特解是例18求微分方程满足初始条件

12、的特解。2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:注意 是特征方程的重根 取 u=x,则得因此原方程的通解为例19求微分方程的通解。它的特征方程为其根为一对相等实根则所求方程的通解为3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为例20求微分方程的通解它的特征方程为其根为一对共轭复根则所求方程的通解为总结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性齐次微分方程.*用用MatlabMatlab软件解二件解二阶常系数非常系数非齐次微次微分方程分方程求解常微分方程命令格式为：dsolve(S,S1,S2,x)其中s为方程,s1,s2为初始条件,x为自变量例21 求 的通解例22 求 的解