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1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系1.0 1.0 预备知识预备知识高高等等数数学学又又称称“微微积积分分”，创创立立于于十十七七世世纪纪，英英国国大大科科学学家家（NewtonNewton）和和德德国国大大数数学学家家莱莱布布尼尼兹兹(Leibniz)(Leibniz)为为微微积分的创立做出了开创性工作积分的创立做出了开创性工作.高等数学是高等数学是用运动变化的观点研究客观事物（用运动变化的观点研究客观事物（变量数学变量数学）.高等数学主要内容包括高等数学主要内容包括极限、微分学、积分学、微分方极限、微分学、积分学、微分方程和向量代数与解析几何初步程和向

2、量代数与解析几何初步.莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）牛顿（牛顿（Newton）牛顿牛顿(1642(16421727)1727)伟大的英国数学家伟大的英国数学家 ,物理学家物理学家,天文天文学家和自然科学家学家和自然科学家.他在数学上的卓越他在数学上的卓越贡献是创立了微积分贡献是创立了微积分.16651665年他提出正年他提出正流数流数 (微分微分)术术 ,次年又提出反流数次年又提出反流数(积分积分)术术,并于并于16711671年完成年完成流数术与无穷级数流数术与无穷级数一书一书 (1736(1736年出版年出版).).他他还著有还著有自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理和和广义算术广义

3、算术等等 .莱布尼兹莱布尼兹(1646(16461716)1716)德国数学家德国数学家,哲学家哲学家.他和牛顿同为他和牛顿同为微积分的创始人微积分的创始人 ,他在他在学艺学艺杂志杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿所用微积分符号也远远优于牛顿 .他还设计了作乘法的计算机他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计系统地阐述二进制计数法数法 ,并把它与中国的八卦联系起来并把它与中国的八卦联系起来 .1.1.理性思维的训练理性思维的训练2.2.专业课程的需要专业课程的需要3.3.学历水平学历水平的要求的要求

4、4.4.继续发展的基础继续发展的基础正确的学习方法极为重要正确的学习方法极为重要正确的学习方法极为重要正确的学习方法极为重要:1.1.明确目标明确目标 学习的动力学习的动力2.2.自觉预习自觉预习 学习的方法学习的方法3.3.认真听课认真听课 学习的效率学习的效率4.4.做好课堂练习做好课堂练习 学习的习惯学习的习惯5.5.及时复习及时复习 主动的学习主动的学习(单元测验单元测验)6.6.完成作业完成作业7.7.随时答疑随时答疑-微信号微信号第一章第一章 函数与极限函数与极限高高等等数数学学函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁1.0 1.0 预备知

5、识预备知识二、二、邻域邻域一、一、实数集实数集三、函数三、函数四、四、反函数与复合函数反函数与复合函数五、五、函数的运算函数的运算六、初等函数六、初等函数一、一、实数集实数集实数实数：表示表示.常用字母常用字母 有理数有理数:全体有限小数和无限循环小数全体有限小数和无限循环小数.无理数无理数:全体无限不循环小数全体无限不循环小数.表示表示.常用字母常用字母 表示表示.常用字母常用字母 全体有理数和全体无理数的统称全体有理数和全体无理数的统称.实数与直线通过数轴建立了一一对应关系实数与直线通过数轴建立了一一对应关系.实数可以刻划几何图形实数可以刻划几何图形.几何图形也可通过实数方程表示几何图形也

6、可通过实数方程表示实数集的实数集的价值所在价值所在(1)(1)四则运算的封闭性四则运算的封闭性.两个实数加、减、乘、除（除数不为两个实数加、减、乘、除（除数不为0 0）还是实数；）还是实数；实数集实数集有以下几个基本性质：有以下几个基本性质：(2)(2)有序性有序性.对对三者必有其一成立；三者必有其一成立；(3)(3)稠密性稠密性.对对(4)(4)阿基米德性阿基米德性.二、二、邻域邻域称称集合集合：三、函数三、函数函数的定义：函数的定义：函数的三要素函数的三要素函数的三要素是函数的三要素是（1）定义域）定义域D（2）对应法则）对应法则 f（3）值域）值域R其中，定义域与对应法则决定了值域其中，

7、定义域与对应法则决定了值域.为此，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，为此，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，则为则为同一函数同一函数，否则，就是不同的函数否则，就是不同的函数.例如，例如，函数的表示方法函数的表示方法：1.解析法解析法2.图像法图像法4.参数方程法参数方程法5.方程表示法方程表示法 3.列表法列表法函数的基本性质：函数的基本性质：定义域、有界性、单调性、奇偶性、周期性定义域、有界性、单调性、奇偶性、周期性.函数用关于函数用关于自变量自变量x与与因变量因变量y的的代数方程表示代数方程表示1.1.函数的定义域函数的定义域例如 符号函数符号函数应当指出的是，：分段函数是一个函

8、数，而不是几个函数。2.函数的单调性函数的单调性xyO设函数设函数且有区间且有区间时时,称称 为为 I 上的上的单调增函数单调增函数;称称 为为 I 上的上的 单调减函数单调减函数.xyO当当3.函数的奇偶性函数的奇偶性设函数设函数且有且有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:若若在在 x=0 有定义有定义,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有例如例如,偶函数偶函数双曲余弦双曲余弦 记记奇函数奇函数双曲正弦双曲正弦 记记再如再如,奇函数奇函数双曲正切双曲正切 记记又如又如,4.函数的有界性函数的有界性5.函数的函数的周期周期性性周期为周期为

9、 周期为周期为例如例如 狄利克雷函数狄利克雷函数x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyO四、四、反函数与复合函数反函数与复合函数1.1.反函数：反函数：则它存在则它存在逆映射逆映射这就是说，这就是说，通常写作通常写作反函数反函数记成记成如函数如函数它的它的是单射，是单射，所以，所以，其反函数为其反函数为反函数反函数存在，存在，通常写作通常写作.2)2)函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称 .例如例如 ,对数函数对数函数互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称 .指数函数指数函数

10、其反函数其反函数(减减)(减减).1)yf(x)单调递增单调递增且也单调递增且也单调递增 性质性质:反三角函数反三角函数2.2.复合函数复合函数:复合函数复合函数，复合函数复合函数通常记为通常记为即即否则，否则，例如例如,函数函数可定义复合可定义复合但函数但函数不能构成复合函数不能构成复合函数.五、五、函数的运算函数的运算 则这两个函数有下列运算则这两个函数有下列运算:六、初等函数六、初等函数1.基本初等函数基本初等函数（1）常数函数）常数函数（2）幂函数）幂函数（3）指数函数）指数函数（4）对数函数）对数函数（5）三角函数）三角函数（6）反三角函数）反三角函数以上列举的以上列举的6类函数统称

11、为类函数统称为基本初等函数基本初等函数定义域：定义域：R值域：值域：C 1.常量函数常量函数（1）常量函数解析式）常量函数解析式（2）常量函数图像）常量函数图像一一.基本初等函数基本初等函数2.幂函数幂函数(3)(3)指数函数指数函数(4)(4)对数函数对数函数(5)(5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数(6)(6)反三角函数反三角函数正弦函数y=sin x在-/2，/2上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx 余弦函数y=cos x在0，上的反函数，叫做反余弦函数.记作arccos x正切函数y=tan x

12、在(-/2，/2)上的反函数，叫做反正切函数。记作arctan x，该角的范围在（-/2，/2）区间内。定义域R，值域（-/2，/2）余切函数y=cot x在（0，）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccot x，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，）区间内。定义域R，值域（0，)基基本本初初等等函函数数：常常值值函函数数、幂幂函函数数、指指数数函函数数、对对数数函函数数、三三角角函函数数、反反三三角角函函数数等等六六类类函函数数称称为为基本初等函数基本初等函数.2.初等函数初等函数由基本初等函数由基本初等函数否则，否则，并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数,经过经过有限次

13、有限次四则运算和复合步骤所四则运算和复合步骤所构成构成,称为称为初等函数初等函数.称为称为非初等函数非初等函数.例如例如,双曲函数与反双曲函数都是初等函数双曲函数与反双曲函数都是初等函数.但是但是,取整函数取整函数、取整函数取整函数以及以及狄利克雷狄利克雷函数函数都不是初等函数。都不是初等函数。是不是初等函数是不是初等函数？因因可表为可表为故是初等函数故是初等函数.3.3.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.(1)(1)双曲函数双曲函数奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式(2)(2)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,奇函数奇函数,Z.思考思考思考题解答思考题解答设设则则故故Z 思考思考思考题解答思考题解答不能不能