积分变换第二章课件1.ppt

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1、一、问题的提出一、问题的提出二、二、LaplaceLaplace变换的概念变换的概念三、三、LaplaceLaplace变换的存在定理变换的存在定理四、周期函数的四、周期函数的LaplaceLaplace变换变换五、小结五、小结第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3 3页页 拉普拉斯（拉普拉斯（P.S.LaplaceP.S.Laplace，1749-18271749-1827），法国著名），法国著名的天文学家和数学家，天体的天文学家和数学家，天体力学的集大成者力学的集大成者.第第4 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分

2、变换积分变换积分变换第第4 4页页一、一、问题的提出问题的提出 对于一个函数对于一个函数j j(t t),),有可能因为不满足有可能因为不满足FourierFourier变换的条件变换的条件,因而不存在因而不存在FourierFourier变换变换.因此因此,首先将首先将j j(t t)乘上单位阶跃函数乘上单位阶跃函数 u(t),这样这样t t小小于零的部分的函数值就都等于零于零的部分的函数值就都等于零.而大家知道在各而大家知道在各种函数中种函数中,指数函数指数函数 e e-b bt t (bb0 0)的上升速度是的上升速度是最快的了最快的了,因而因而 e e-b bt t下降的速度也是最快的

3、下降的速度也是最快的.几乎所有的实用函数几乎所有的实用函数j j(t t)乘上乘上u u(t t)再乘上再乘上e e-b bt t后后得到的得到的j j(t t)u u(t t)e)e-b bt t的的FourierFourier变换都存在变换都存在.第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5 5页页二、二、LaplaceLaplace变换的概念变换的概念对函数对函数 取取FourierFourier变换变换,可得可得其中其中若再设若再设则得则得第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6 6页页

4、定义定义:设函数设函数 当当 时有定义时有定义,而且积分而且积分 在在s的某一域内收敛的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数则由此积分所确定的函数可写为可写为(s s为一个复参量为一个复参量)函数函数的的LaplaceLaplace变换式变换式二、二、LaplaceLaplace变换的概念变换的概念第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第7 7页页记作记作:的的LaplaceLaplace变换变换.若若 是是 的的LaplaceLaplace变换变换,则称则称为为 的的LaplaceLaplace逆变换逆变换.记作记作:称为称为二、二、Lapl

5、aceLaplace变换的概念变换的概念第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第8 8页页求单位阶跃函数求单位阶跃函数的的LaplaceLaplace变换变换.根据根据LaplaceLaplace变换的定义变换的定义,有有这个积分在这个积分在 时收敛时收敛,而且有而且有第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第9 9页页求指数函数求指数函数的的LaplaceLaplace变换变换(k k为实数为实数).根据根据 ,有有这个积分在这个积分在 时收敛时收敛,而且有而且有第第1010页页主页主页上一页上

6、一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1010页页试求指数函数试求指数函数 的的LaplaceLaplace变换变换.练习练习:(k为实数为实数)第第1111页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1111页页三、三、LaplaceLaplace变换的存在定理变换的存在定理LaplaceLaplace变换的存在定理变换的存在定理:若函数若函数 f(t)满足满足:1)1)在在t t 0 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续;2)2)当当t t时时,的增长速度不超过某一的增长速度不超过某一指数函数指数函数,即存在常数即存在

7、常数 及及 ,使得使得成立成立.第第1212页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1212页页在半平面在半平面 上一定存在上一定存在,右端的积分在右端的积分在 上绝对收敛而且一致收敛上绝对收敛而且一致收敛,并且在并且在 的半平面内的半平面内,为解析函数为解析函数.则则 的的LaplaceLaplace变换变换三、三、LaplaceLaplace变换的存在定理变换的存在定理第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1313页页求正弦函数求正弦函数的的LaplaceLaplace变换变换.(k k为实数为实

8、数)根据根据 ,有有第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1414页页同理得余弦函数的同理得余弦函数的LaplaceLaplace变换变换第第1515页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1515页页求周期性三角波求周期性三角波且且 f(t+2b)=f(t)的的LaplaceLaplace变换变换.第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1616页页根据根据 ,有有第第1717页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分

9、变换第第1717页页 则则 而而第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1818页页 因此因此第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1919页页 当当 时时 从而从而第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2020页页四、周期函数的四、周期函数的LaplaceLaplace变换变换 设函数设函数 的周期为的周期为 ,即即 ,当当 在一个周期上是分段连续的在一个周期上是分段连续的,则则周期函数的周期函数的Laplace变换公式变换公式第第2

10、121页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2121页页注意注意:满足满足LaplaceLaplace变换存在定理条件的函数变换存在定理条件的函数 在在 处有界时处有界时,积分积分的下限取的下限取 或或 不会影响其结果不会影响其结果.证明证明:函数函数 在在 处有界时处有界时,积分积分第第2222页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2222页页为零为零故故注意注意:第第2323页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2323页页 但当但当 在在 处包含脉冲函数时处包含脉

11、冲函数时,LaplaceLaplace变换的积分下限必须明确指出是变换的积分下限必须明确指出是 还是还是 ,因为因为注意注意:第第2424页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2424页页故故 考虑上述情况考虑上述情况.将进行将进行LaplaceLaplace变换的函数变换的函数 ,当当 时有定义扩大为在时有定义扩大为在 及及 的任意的任意一个邻域内有定义一个邻域内有定义.因此因此应为应为注意注意:第第2525页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2525页页根据根据 ,求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的的Lap

12、laceLaplace变换变换.利用性质利用性质:有有第第2626页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2626页页求函数求函数的的LaplaceLaplace变换变换.根据根据 ,有有第第2727页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2727页页第第2828页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2828页页根据附录根据附录,得到得到求求 的的LaplaceLaplace变换变换.第第2929页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第

13、第2929页页根据定义根据定义,由欧拉公式有由欧拉公式有从而得从而得第第3030页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3030页页在附录中没有现成的结果在附录中没有现成的结果,但是但是求求 的的LaplaceLaplace变换变换.第第3131页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3131页页根据附录可以得到根据附录可以得到第第3232页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3232页页五、小结五、小结思考总结思考总结LaplaceLaplace变换与变换与FourierFourier变换的异同点变换的异同点.注意类比于注意类比于FourierFourier变换变换.LaplaceLaplace变换的定义是什么变换的定义是什么?存在条件是什么存在条件是什么?思考复习思考复习: