第七讲-定积分的近似计算优秀课件.ppt

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1、第七讲第七讲-定积分的近似计算定积分的近似计算第1页，本讲稿共39页q 问题背景和实验目的定积分的近似计算n 定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。u 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。第2页，本讲稿共39页n 矩形法n 梯形法n 抛物线法q 数值积分的常见算法主要内容主要内容q Matlab 求积分函数n 数值积分函数：trap

2、z、quad、dblquad、triplequadn 符号积分函数：int第3页，本讲稿共39页q 矩形法u 定积分的定义：定积分的近似计算第4页，本讲稿共39页矩形矩形法法d 充分小u 定积分的近似：n 通常我们取左点法右点法中点法n 点 可以任意选取，常见的取法有：左端点 ，右端点 和中点 。第5页，本讲稿共39页步长节点u 右点法：u 中点法：u 左点法：左点左点法、右点法和中点法法、右点法和中点法第6页，本讲稿共39页解：矩形法举例矩形法举例=h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100 u 例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取 n=100)，并比较这三种方法的

3、相对误差。l 左点法：l 右点法：l 中点法：(i=0,1,2,.,100)第7页，本讲稿共39页l 理论值：l 左点法相对误差：u 误差分析矩形法举例矩形法举例l 右点法相对误差：l 中点法相对误差：不同的方法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法?第8页，本讲稿共39页定积分几何意义定积分几何意义第9页，本讲稿共39页u 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似u 整个曲边梯形的面积：梯形法梯形法第10页，本讲稿共39页u 如果我们 n 等分区间 a,b，即令：则则=梯形公式梯形公式梯形法梯形法梯形公式与中点公式有什么区别?第11页，本讲稿共39页解：=u 例：用梯形法计算下

4、面定积分(取 n=100)，并计算相对误差梯形法举例梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)=h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)l 相对误差：第12页，本讲稿共39页u 2n 等分区间 a,b，得该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？u 计算每个节点上的函数值：抛物线法抛物线法u 在区间 x0,x2 上，用过以下三点的抛物线来近似原函数 f(x)。第13页，本讲稿共39页u 设过以上三点的抛物线方程为：则在则在区间 x0,x2 上，有上，有y=x2+x+=p1(x)抛物线法抛物线法第14页，本讲稿共39页u 同理可得：u 相加即得：抛物线法抛物线

5、法第15页，本讲稿共39页u 整理后可得：或辛普森(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法抛物线法第16页，本讲稿共39页=u 例：用抛物线法计算下面定积分(取 n=100)，并计算相对误差解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)l 相对误差：抛物线法抛物线法第17页，本讲稿共39页n 矩形法n 梯形法n 抛物线法q 数值积分的常见算法Matlab 函数函数q Matlab 求积分函数n 数值积分函数：trapz、quad、dblquadn 符号积分函数：int第18页，本讲稿共39页n 矩形法总结总结n Matlab 数值积分函数：数值积分函数：trapz、qu

6、ad、dblquadn 梯形法梯形法n 抛物线法抛物线法第19页，本讲稿共39页u 梯形法：trapztrapz(x,y)x 为分割点（节点）组成的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。q Matlab 近似计算定积分的相关函数Matlab 计算定积分函数介绍计算定积分函数介绍第20页，本讲稿共39页前面的做法u 例：用梯形法计算下面定积分(取 n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2)x=0:1/100:1;y=1./(1+x.2);trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.2)trapz 举例举例第21页，本讲稿共39

7、页quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，a,b 为积分区间，tol 为计算精度将自变量看成是将自变量看成是向量向量n 抛物线法：quadl 不用自己分割积分区间l 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越高，函数运行的时间越长l 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：.*，./，.，.注：抛物线法抛物线法第22页，本讲稿共39页解：解：quad(1./(1+x.2),0,1)quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10)函数表达式一定要用函数表达式一定要用 单引号单引号 括起来！括起来！涉及的运算一定要用涉及的运算一定要用 数组运算

8、数组运算！u 例：用 quad 计算定积分：quad 举例举例第23页，本讲稿共39页q 抛物线法计算抛物线法计算二重二重积分：积分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)l tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6l f 可以是：可以是：字符串字符串；inline 定义的内联函数；定义的内联函数；函数句柄函数句柄l a,b 是是 第一积分变量第一积分变量 的积分区间，的积分区间，c,d 是是 第二积分变量第二积分变量 的积分区间的积分区间dblquad第24页，本讲稿共39页 f=inline(4*x*y+3*y2);I=db

9、lquad(f,-1,1,0,2)u f(x,y)中关于第一自变量的运算是数组运算，即把 x 看成是向量，y 看成是标量。也可以全部采用数组运算例2：计算二重积分 dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2)dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2)X例1：计算二重积分dblquad 举例举例第25页，本讲稿共39页例：计算二重积分 dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2)指定 x、y 分别是第一第一和第二第二积分变量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2)q 被积函数 f

10、(x,y)的另一种定义方法：匿名函数 dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2)下面的命令运行结果和上面的一样吗？dblquad 举例举例第26页，本讲稿共39页int(f,a,b)计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分区间为a,b。int(f)计算 f 关于默认自变量 的不定积分。int(f,v,a,b)计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a,bint(f,v)计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分findsym(f,1)n 符号积分：intint 符号积分符号积分第27页，本讲稿共39页 syms x y;f=y*sin(x);int(f,x)i

11、nt(f,y)int(f)int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b2n 例：指出下面各条语句的输出结果int 举例举例第28页，本讲稿共39页u 例：用 int 函数计算定积分：解：syms x;f=1/(1+x2);int(f,x,0,1)f=sym(1/(1+x2);int(f,x,0,1)int(1/(1+x2),x,0,1)或 int(1/(1+x2),0,1)或或int 举例举例第29页，本讲稿共39页double(a)将将 a 转化为双精度型，若转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的是字符，

12、则取对应的 ASCII 码码 a=3;double(a)double(a)例：ans=3ans=97其它相关函数其它相关函数第30页，本讲稿共39页 x=1:0.001:2;y=exp(x.(-2);trapz(x,y)n 梯形法：n 抛物线法：quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)n 符号积分法：syms x int(exp(x(-2),x,1,2)例 1：用 Matlab 函数近似计算积分数值实验数值实验第31页，本讲稿共39页n 抛物线法：dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1)n 符号积分法：f=int(x+y2,y,-1,1);int(f,0,2)

13、数值实验数值实验例 2：用 Matlab 函数近似计算二重积分第32页，本讲稿共39页q 抛物线法计算抛物线法计算三重三重积分：积分：triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)l tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6l f 可以是：可以是：字符串字符串；inline 定义的内联函数；定义的内联函数；函数句柄函数句柄l a,b 是是 第一积分变量第一积分变量 的积分区间，的积分区间，c,d 是是 第二积分变量第二积分变量 的积分区间的积分区间 e,f是是第二积分第二积分变量变量 的积分区间的积分区间triple

14、quad第33页，本讲稿共39页u f(x,y,z)中关于前两个自变量的运算是数组运算，即把 x，y 看成是向量，z 看成是标量。也可以全部采用数组运算例2：计算三重积分 triplequad(inline(4*x.*y+3*x.2+z2),-1,1,0,2,0,1)syms x y z int(int(int(4*x*y+3*x2+z2,x,-1,1),y,0,2),z,0,1)triplequad 举例举例第34页，本讲稿共39页 triplequad(x,y,z)4*x.*y+3*x.2+z2,-1,1,0,2,0,1)指定 x、y,z 分别是第一第一、二、三积分变量 triplequa

15、d(inline(4*x.*y+3*x.2+z2),-1,1,0,2,0,1)q 被积函数 f(x,y,z)的另一种定义方法：匿名函数triplequad 举例举例例2：计算三重积分第35页，本讲稿共39页梯形数值积分命令 trapz()clearx=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)plot(x,y,b*)plot(x,y,b*)clearx=sort(rand(1,101)*pi);y=sin(x);trapz(x,y)plot(x,y,rd)rand(1,101)产生产生101个均匀随机数个均匀随机数,每每个数都介于个数都介于0-1之间之间第36页，本讲稿共3

16、9页辛卜生求数值积分命令quad()clearfun=inline(1./(x.3-2*x-5)ezplot(fun,0,2)q,n=quad(fun,0,2)第37页，本讲稿共39页二重积分dblquad()与三重积分fun=inline(y*sin(x)+x*cos(y)Q=dblquad(fun,pi,2*pi,0,pi)x,y=meshgrid(pi:.1:2*pi,0:.1:pi);z=fun(x,y);mesh(x,y,z)第38页，本讲稿共39页上机作业上机作业1.分别用梯形法与抛物线法，计算取n=120，并常识直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异。2.试计算定积分注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？3.学习fuluBsum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录A和附录C的程序，避免for循环。第39页，本讲稿共39页