《结构动力学》PPT课件.ppt

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1、第14章 结构动力学动力计算概述动力计算概述动力计算概述动力计算概述单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动频率的近似计算频率的近似计算频率的近似计算频率的近似计算知识点知识点教学基本要求教学基本要求了解结构动力计算的特点，能够判断动力计算自由度；了解结构动力计算的特点，能够判断动力计算

2、自由度；掌握单体系振动微分方程的建立方法。掌握单体系振动微分方程的建立方法。掌握单自由度体系在不同的动荷载作用下强迫振动掌握单自由度体系在不同的动荷载作用下强迫振动的分析方法以及动力特性。掌握阻尼对单自由度体的分析方法以及动力特性。掌握阻尼对单自由度体系动力特性的影响。系动力特性的影响。理解柔度法和刚度法建立振动微分方程的思路。掌理解柔度法和刚度法建立振动微分方程的思路。掌握两个自由度体系的频率方程和自振频率的求解，握两个自由度体系的频率方程和自振频率的求解，理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。了解计算频率的几种近似法了解计算频率的几种近似法能够

3、正确计算单自由度体系的固有频率和周期。能够正确计算单自由度体系的固有频率和周期。1 1、动力计算的特点、目的和内容、动力计算的特点、目的和内容1)1)特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。静力荷载静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都，由它所引起的内力和变形都是确定的。是确定的。动力荷载动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载

4、。这类荷载荷载对结构产生的惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。与静力计算的对比与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。2)2)目的和内容目的

5、和内容 计算结构的动力反应计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。动力计算的内容动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。方法。涉及到内外两方面的因素：涉及到内外两方面的因素：(1 (1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；(2 (2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、

6、振型和阻尼等等），类似静力学中的和阻尼等等），类似静力学中的I I、S S等；等；计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。P(t)tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载一般周期荷载2 2、动力荷载分类、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为：按起变化规律及其作用特点可分为：1 1）周期荷载：随时间作周期性变化。）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）（转动电机的偏心力）2 2）冲击荷载）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）PtP(t)ttrPtrP 3 3、动力计

7、算中体系的自由度、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度体系的振动自由度。实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：计算困难，常作简化如下：1)1)集中质量法集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。限自由度问题。3 3）随机荷载）随机荷载：(非确定性荷载非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事

8、先确定。荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）（如地震荷载、风荷载）2 2个自由度个自由度y2y12 2个自由度个自由度自由度与质量数不一定相等自由度与质量数不一定相等mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振厂房排架水平振时的计算简图时的计算简图单自由度体系单自由度体系水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系多自由度体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)4 4个自由度个自由度m1m2m32 2个自由度个自由度y(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系2)2)广义座标法：广义座标法：如简支梁的变形曲线可用三角级数来表

9、示如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示 用几条函数曲线来描述体系的振动曲用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中线就称它是几个自由度体系，其中 是根据边界约束条件选取是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。的函数，称为形状函数。ak(t)称广义座标，为一组待称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。将无限自由度体系简化为有限自由度体系。x yxa1，a2，.any(x,t)4 4、动力计算的方法、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）动力平衡法（达朗伯尔原理）m.运动方程运动方程

10、m设其中设其中P(t)I(t).平衡方程平衡方程I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反惯性力，与加速度成正比，方向相反改写改写成成虚功原理（拉格朗日方程）虚功原理（拉格朗日方程）哈米顿原理（变分方程哈米顿原理（变分方程）都要用到抽象的虚位移概念都要用到抽象的虚位移概念 自由振动：自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：研究单自由度体系的

11、自由振动重要性在于：1)1)它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2)2)它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.1 1、运动微分方程的建立、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）应用条件：微幅振动（线性微分方程）1)1)刚度法：刚度法：研究作用于被隔离的质

12、量上的力，建立平衡方程。研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。m.yj.yd静平衡位置静平衡位置质量质量m m在任一时刻的位移在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W弹性力弹性力 恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力(a)其中其中 kyj=W 上式可以简化为上式可以简化为或或由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。刚度法。(a)2)2)柔度法：柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡

13、位置静平衡位置I(t)可得与可得与 (b b)相同的方程相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。2 2、自由振动微分方程的解、自由振动微分方程的解改写为改写为其中其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数积分常数C C1 1，C C2 2由初始条件确定由初始条件确定设设 t=0 时时（d）式可以写成式可以写成 由上式可知，位移是由初位移由上式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦引起的正弦运动的合成运动的合成.由上式可知，位移是由初位移由上

14、式可知，位移是由初位移y y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速度v v 引起的正弦引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动运动的合成，为了便于研究合成运动,令令(e)式改写成式改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A A和和 可由下式确定可由下式确定振幅振幅相位角相位角y0ty-yTTTyt0yt0 A-A3 3、结构的自振周期和频率、结构的自振周期和频率由式由式及图可见位移方程是一个及图可见位移方程是一个周期函数。周期函数。Tyt0 A-A周期周期工程频率工程频率园频率园频率计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式其中是沿质点振

15、动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力力。stst=W=W在质点上沿振动方向施加数值为在质点上沿振动方向施加数值为W W的荷载时质点沿振动方向所的荷载时质点沿振动方向所产生的位移产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视计算时可根据体系的具体情况，视、k k、st st 三参数中哪一个最便于三参数中哪一个最便于计算来选用。计算来选用

16、。一些重要性质一些重要性质：（1 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅素无关。干扰力只影响振幅。（2 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3 3）两个外形相似的结构，

17、如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致载作用下的动力性能基本一致,是结构动力特性的重要数量标志。是结构动力特性的重要数量标志。例例1.1.计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。mEI l/2 l/21例例2.2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IE,I1E,A1IIEI1=mhk例例3.3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚

18、架的频率和周期。由截面平衡由截面平衡例例4 4、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EIEI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m m，不考，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：解：1 1）求）求P=13l/165l/32P=1l/2据此可得据此可得：1 2 3=1 2 结构约束越强结构约束越强,其刚度越大其刚度越大,刚度越大刚度越大,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。1例例5 5、求图示结构的自振圆频率。、求图示结构的自振圆频率。解法解法1 1：求：求 k=1/hMBA=kh=MBCklhm

19、IEIBAC1h解法解法2 2：求：求 例例6 6、求图示结构的自振频率。、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k解：求解：求 k对于静定结构一般计算柔度系数方便。对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为都不能发生转动（如横梁刚度为刚架刚架)计算刚度系数方便。计算刚度系数方便。一端铰结的杆的侧移刚度为一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为两端刚结的杆的侧移刚度为：4 4、简谐自由振动的特性、简谐自由振动的特性由式由式可得，可得，加速度为加速度为：在无阻

20、尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且都按正弦规律变化，且作作相位相同的同步运动相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。移的方向一致。它们的幅值产生于它们的幅值产生于时，其值分别为：时，其值分别为：既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可于是可在幅值处建立运动方程在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间，此时方程中将不含时间t t，结果把，结果把微分方程转微分方

21、程转化为代数方程化为代数方程了，使计算得以简化。了，使计算得以简化。惯性力为：惯性力为：例例7.7.计算图示体系的自振频率。计算图示体系的自振频率。ABCDEI=l/2 l/2lkBCk.A1.A2 解：单自由度体系，以解：单自由度体系，以 表示位移表示位移参数的幅值参数的幅值,各质点上所受的力各质点上所受的力为：为：建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程化简后得化简后得5 5、阻尼对振动的影响、阻尼对振动的影响 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用非弹性力起阻尼作用

22、。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：结论也反应了结构的振动规律，如：事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，不会无限增大，而是一个有限值。非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。1)1)阻尼的存在阻尼的存在忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律

23、结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。2)2)在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素(1(1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦内摩擦”，耗散能量；，耗散能量；(2 (2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波

24、的形式向周围扩散，）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；振动波在土壤中传播而耗散能量；(3(3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：不同，目前主要有两种阻尼理论：*粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比非弹性力与变形速度成正比：*滞变阻尼理论滞变阻尼理论关于阻尼，有两种定义或理解：关于阻尼，有两种定义

25、或理解：(1(1）使振动衰减的作用；）使振动衰减的作用；(2(2）使能量耗散。）使能量耗散。3)3)阻尼力的确定：阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：(1 (1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。(2 (2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。(3 (3）与质点速度无关（如摩擦力）。）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。ykykm

26、y4 4)有阻尼的自由振动，动平衡方程有阻尼的自由振动，动平衡方程：(阻尼比阻尼比）)1(2-=xxwl0222=+wxwll)(=ltCety设解为设解为：特征方程为特征方程为：(1)1（低阻尼）情况（低阻尼）情况c令令低阻尼体系的自振圆频率低阻尼体系的自振圆频率ae-ttyty低阻尼低阻尼y-ty-t曲线曲线无阻尼无阻尼y-ty-t曲线曲线阻尼对自振频率的影响阻尼对自振频率的影响.当当，则存在则存在0.96r/1。在工程在工程结构问题中，结构问题中，0.011 强阻尼：强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。不出现振动，实际问题不常见。(2)=1（临界阻尼）情况（临界阻尼）情况)1(2-=xx

27、wl=-w ltyy00这条曲线仍具有衰减性，这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。但不具有波动性。m 受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)弹性力弹性力kyky、惯性力、惯性力和荷载和荷载P P(t t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:1 1、简谐荷载：、简谐荷载：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=mtFyyqwsin2=+&tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动的微分方程振动的微

28、分方程特解特解：最大静位移最大静位移y ystst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。的位移）。特解可写为特解可写为：通解可写为：通解可写为：设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按自振频率振动按荷载频率振动按荷载频率振动平稳阶段：平稳阶段：最大动位移（振幅）为最大动位移（振幅）为：动力系数动力

29、系数为为：1023123wqb重要的特性：重要的特性：f当当/00时时,11，荷载变化得很荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。慢，可当作静荷载处理。f当当0 0/11，并且随并且随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/1 1时时,。即当荷载频即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 0.75 1 1时时,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各当动荷载作用在单自由度体系的质

30、点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。来计算即可。例例1111：已知：已知m=300kg，EI=901052,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：解：1)1)求求2)2)求求3)3)求求y ymaxmax，M Mmaxmax如何求

31、最大如何求最大位移和最大位移和最大弯矩？弯矩？动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算m m=1=1令令P仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅 列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 解解:例例1212求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图.同频同步变化同频同步变化m mEIl/2l/2P PP P=1P动弯矩幅值图动弯矩幅值图解解:例例1313求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅m mlm mkllAPo设体系在设体系在t=0时静止，时静止，然后有瞬时冲量然后有瞬时冲量S作用作用。2

32、 2、一般荷载、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导1)1)瞬时冲量的动力反应瞬时冲量的动力反应P(t)tP瞬时冲量瞬时冲量S S引起的振动可视为由初始引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。条件引起的自由振动。由动量定理：由动量定理：t cossin)(00www+=tvtytyt tttcossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtytycossin)(00www+=tvtyty2)2)任意荷载任意荷载P(t)的动力反应的动力反应P(t

33、)t时刻的微分冲量对时刻的微分冲量对t t瞬时瞬时(t t)引起的动力反应引起的动力反应:初始静止状态的单自由度体初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移系在任意荷载作用下的位移公式公式:(Duhamel 积分积分)初始位移初始位移y y0 0和初始速度和初始速度v v0 0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式:t3)3)几种典型荷载的动力反应几种典型荷载的动力反应(1(1）突加荷载）突加荷载 P(t)tPyst=P0=P0/m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡位置质点围绕静力平衡位置作简谐振动作简谐振动(2(2）短时荷载）短时荷载 P(t)tPu阶段

34、阶段(0(0t t u u)：无荷载，体系以：无荷载，体系以t t=u u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由或者直接由DuhamelDuhamel积分作积分作另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu当当0t uysty(t)t023T最大动反应最大动反应1）当当 u T/2 最大动位移发生在最大动位移发生在阶段阶段2）当当u T/2 最大动位移发生最大动位移发生在阶段在阶段=21/611/22动力系数反应谱动力系

35、数反应谱(与与T和和u之间的关系曲线之间的关系曲线)(3(3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种荷载引起的动力反应同样可由DuhamelDuhamel积分来求解积分来求解:对于这种线性渐增荷载对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0trP0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1 1与与2 2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，t tr r 44T T,则则接近于接

36、近于1,1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。3 3、有阻尼的强迫振动、有阻尼的强迫振动单独由单独由v v0 0引起的自由振动：引起的自由振动：瞬时冲量瞬时冲量d ds=Ps=Pd dt=mvt=mv0 0所引起所引起的振动，可视为以的振动，可视为以v v0 0=P=Pd dt/mt/m，y y0 0=0 0为初始条件的自由振动：为初始条件的自由振动：将荷载将荷载P P(t t)的加载过程的加载过程 看看作一系列瞬时冲量：作一系列瞬时冲量：总反应总反应P(t)tt（1）突加荷载突加荷载P0低阻尼低阻尼y-ty-t曲线曲线无阻尼无阻尼

37、y-ty-t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近于静位移y ystst=P P0 0/mm2 2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。（2）简谐荷载简谐荷载P(t)=Fsint设特解为设特解为：y=Asin t+Bcos t代入得代入得：+Asin t+Bcos t 齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化

38、。结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asin t+Bcos t=yPsin(t)振幅振幅：yp，最大静力位移最大静力位移：yst=F/k=F/m2动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓，特别是在特别是在/=/=1 1附近附近的的 峰值下降的最为显著峰值下降的最为显著。x

39、 xb b21=共振时共振时当当接近接近 时，时，增加很快，增加很快，对对的数值影响也很大。在的数值影响也很大。在 /1.25(1.25(共振区共振区)内，阻尼大大内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此减小了受迫振动的位移，因此,为了为了研究共振时的动力反映研究共振时的动力反映,阻尼的影响阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。的影响较小，可按无阻尼计算。maxmax并不发生在共振并不发生在共振/=/=1 1时，而发生在时，而发生在，由由y=yPsin(t )可见，阻尼体系的位可见，阻尼体系的位移比荷载移比荷载P=Fsin t 滞后一个

40、相位角滞后一个相位角，但因但因很小，可近似地认为：很小，可近似地认为：当当时时,180180体系振动得很快，体系振动得很快，F FI I很大，很大，S S、R R相对说来较小，动相对说来较小，动荷主要由荷主要由F FI I 平衡，平衡，F FI I 与与y y同向，同向，y y与与P P反向；反向；弹性力弹性力S S，惯性力，惯性力F FI I，阻尼力阻尼力R R分别为：分别为：tqsinx21tFqsin-=mwx22-=当当=时时,90由此可见：共振时（由此可见：共振时（=），），S S与与F FI I刚好互相平衡刚好互相平衡，yst有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会

41、出现内有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。平衡，才出现位移为无限大的现象。k=m2=m2例例14 14 图示块式基础图示块式基础.机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min,N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为P=30kN.P=30kN.求竖向求竖向 振动时的振幅。振动

42、时的振幅。解：解：例例15 15 求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m m解解：动力系数为动力系数为 2 2m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。可不计阻尼。1.1.运动方程及其解运动方程及其解或或设方程的特解为设方程的特解为代入方程代入方程,得得-频率方程频率方程振型方程振型方程m1m2y1(t)y2(t)显然显然 Y Y1 1=Y=Y2 2=0 0 为其解，为了求得不全为零的解，令为其解，为了求得不全为零的

43、解，令解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根值小者记作值小者记作称作第一频率称作第一频率也称作基本频率也称作基本频率;值大者记作值大者记作称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率.将将 频率代入振型方程频率代入振型方程特解特解2 2特解特解1 1通解通解2.2.频率与振型频率与振型m1m2Y21Y11Y12Y22振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点1)1)各质点同频同步各质点同频同步;2 2)任意时刻任意时刻,各质点位移的比值保持不变各质点位移的比值保持不变几

44、点说明：几点说明：1)1)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。值相同。2)2)发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的.4)4)N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 ,从小到大排列从小到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率,其它为高阶频率其它为高阶频率.将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的.

45、3)3)振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关与外界因素无关.5)5)柔度法柔度法m1m2y1(t)y2(t)设解为设解为此时惯性力此时惯性力幅值幅值在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻t t，质量，质量m m1 1、m m2 2的位移的位移y y1 1(t t)、y y2 2(t t)应当等于体系在当时惯性力作用下的应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。静力位移。m1m2Y1Y2 当然解当然解 Y Y1 1=Y=Y2 2=0 0，为了求得不全为了求得不全为零的解，令为零的解，令令主振型主振型m m1m m2振型可看作是体系按振型振动时，振

46、型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移采用柔度矩阵时采用柔度矩阵时6)6)求振型、频率可列幅值方程求振型、频率可列幅值方程.振型方程振型方程频率方程频率方程按振型振动时按振型振动时例例16 16 设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k k1 1和和 k k2 2，试求刚，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1 1）求频率方程中的刚度系数）求频率方程中的刚度系数11k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（

47、3 3）求主振型）求主振型1.6181.01.00.618第第1 1振型振型第第2 2振型振型（2 2）求频率）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有（5 5）求主振型）求主振型（4 4）求频率）求频率若有若有若若 n n=90=90则第一振型和第二振型分别为：则第一振型和第二振型分别为：可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。大反应的现

48、象，称为鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。例例17 17 质量集中在楼层上，质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图层间侧移刚度如图。求自振频率求自振频率k11=4k/3解：解：1 1）求刚度系数：）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 刚度矩阵刚度矩阵KK和质量矩阵和质量矩阵MM：11展开得：展开得：2 23 342422 22252252252250 0解得：解得：1=，2=，3=2）求频率

49、求频率：代入频率方程：代入频率方程：K2 M03）求主振型求主振型：振型方程：振型方程：（K2 M）Y0的后两式的后两式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。0.5a例例18 18 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EIEI已知。已知。12aaamm解：（解：（1 1）计算频率）计算频率1a1（2 2）振型）振型10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型3 3、主振型及主振型的正交性、主振型及主振型的正交性 m1

50、m2Y11Y21由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得：m1m2Y12Y22因因 ，则存在：，则存在：两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。由功的互等定理：由功的互等定理：上式分别乘以上式分别乘以1 12 2、2 22 2，则得：，则得：第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到某一主振型的惯性力在其它主振型