压电铁电物理-王春雷yd.ppt

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1、机机电耦合系数耦合系数electro-mechanical electro-mechanical coupling factorcoupling factor一般情况下的压电方程组 机电耦合因子1一般情况下的一般情况下的压电方程方程组 在在上上节中中以以z z切切割割的的钛酸酸钡晶晶片片为例例，分分别讨论了了压电方方程程组以以及及各各常常数数之之间的的关关系系。下下面面将将进一一步步给出出一一般般情情况况下下的的压电方方程程组以以及及各各常常数数之之间的的关关系系。虽然然一一般般情情况况下下的的压电方方程程组比比较复复杂，但但是是处理理方方法法以以及及各各常常数数之之间的的关关系系，基基本本上

2、上与与节中中一一致致。所所以以这里里只只给出出结果，不作果，不作详细地重复地重复讨论。2第一第一类压电方程方程组（Xj，En）3第二第二类压电方程方程组（xi，En）4第三第三类压电方程方程组（Xj，Dm）5第四第四类压电方程方程组（xi，Dm）6（1）表中i、j=1、2、3、4、5、6，m、n=1、2、3；（2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。（3）表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比。7压电常数dni=(xi/En)X=(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量En变化

3、引起应变分量xi的变化与电场分量En的变化之比；或者短路时，由于应力分量Xi变化引起电位移分量Dn的变化与应力分量Xi的变化之比。介电常数Xmn=(Dm/En)X为机械自由时，由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变化与电场分量En的变化之比。其它常数与此类似。8压电方程方程组中各常数之中各常数之间的关系的关系 介电常数与压电常数之间的关系 9压电方程方程组中各常数之中各常数之间的关系的关系 弹性常数与压电常数之间的关系 10各类压电常数之间的关系11举例例说明明:第一第一类压电方程方程组分量表达式分量表达式12可见压电方程组共包括九个方程式，前六个称为弹性方程，后三个称为介电方程。每个方程

4、又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关。13第一第一类压电方程方程组的矩的矩阵形式形式为：弹性方程部分14第一第一类压电方程方程组的矩的矩阵形式形式为：介电方程部分15可可见d dt t矩矩阵为六六行行三三列列，d d矩矩阵三三行行六六列列。d dt t是是d d的的转置置矩矩阵（或或称称易易位位矩矩阵）。d d矩矩阵的的行行与与列列互互换就就成成为d dt t矩矩阵。其其余余三三类压电方方程程组的的情情况况与与（4-274-27）、（4-284-28）和和（4-294-29）式式类似似，这里里不不再再一一一一列列出出。在在压电晶晶体体中中，除除去去属属于于三三斜斜晶晶系系的的压电

5、晶晶体体外外，其其它它晶晶系系的的对称称性性较高高，独独立立的的弹性性常常数数、介介电常常数数和和压电常常数数随随着着对称称性性程程度度增高而相增高而相应减少，减少，压电方程方程组也相也相对应简化。化。16几种典型晶体的压电方程组实用化晶体：石英:属32点群钛酸钡:属4mm点群 铌酸锂和钽酸锂:属3m点群压电陶瓷:可用m表示，与6mm点群相同17钛酸钡晶体的第一类方程组18分量形式为 19铌酸锂和钽酸锂的第一类方程组20分量形式为 21压电陶瓷的第一类方程组22写成为分量为 23几点注意几点注意 在这里，这四类压电方程组是作为根据实验结果而得到的，但是从热力学理论也可以严格地导出这四类压电方程

6、组。在本章中讨论这四类压电方程组时，并没有考虑压电晶体与工作环境（例如空气）交换热量问题。因为压电体工作时机械能与电能之间转换过程是很快的，所以可以近似认为转换过程中与工作环境无热量交换。就是说压电方程组是在绝热过程程中建立的。24关于关于单位位问题。压电方方程程组中中各各物物理理量量的的单位位，在在实际应用用中中，常常用用MKSMKS单位位制制，因因此此这里里中中也也采采用用MKSMKS单位位制制。参参考考资料料中中也也有有采采用用CGSCGS单位位制制的的。为了了便便于于换算算，在在表表4-64-6中中给出出了了MKSMKS单位位制制与与CGSCGS单位位制之制之间的的换算因子。算因子。2

7、5压电方方程程组是是分分析析讨论压电元元件件性性能能的的根根据据，在在大大多多数数情情况况下下，是是从从第第一一类压电方方程程组出出发，其其次次是是第第三三类方方程程组。至至于于第第二二类和和第第四四类压电方方程程组，往往往往只只在在某某一一个个方方向向的的应变分分量量远大大于于其其它它应变分分量量的的情情况况下下，才才被被选用用（例例如如，在在细长杆杆压电元元件件以以及及利利用用厚厚度度振振动模模的的压电元元件件中中，有有时就就选用用第第二二类和和第第四四类压电方方程程组）。）。26 机机电耦合系数耦合系数 前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料材料的压电性质，但是在实际应用上

8、，还使用另一个衡量元件元件压电性质好坏的重要物理量机机电耦合系数耦合系数（也称压电耦合因子）。例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。Electro-mechanical coupling factorElectro-mechanical coupling factor27所所谓“机机电耦耦合合系系数数”就就是是指指压电材材料料中中与与压电效效应相相联系系的的相相互互作作用用强度度（也也称称压电能能密密度度）与与弹性性能能密密度度和和介介电能能密密度度的的几几何何平平均均值之之比比。用用数数学学式表示式表示为:（4-37）机电耦合系数机电耦合系数28式中k代

9、表机电耦合系数，UI为相互作用能密度，UM为弹性能密度，UE为介电能密度，为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。29因因为压电常常数数、弹性性常常数数、介介电常常数数和和机机电耦耦合合系系数数都都是是描描写写材材料料压电性性能能的的物物理理量量，因因此此机机电耦耦合合系系数数与与这些些常常数数之之间存存在在一一定定的的关关系系。这个个关关系系可可通通过压电材材料料的的内内能能以以及机及机电耦合系数的定耦合系数的定义（4-374-37）式而）式而导出。出。30压电晶晶体体的的内内能能与与应力力、应变、电位位移移和和电场强度之度之间的一般关系的一般关系为:式中式中U U为压电晶体的内能。晶体的内能

10、。（4-384-38）31如如果果要要得得到到某某个个压电晶晶体体的的内内能能表表达达式式，将将该晶晶体体的的压电方方程程组代代入入到到内内能能表表达达式式（4-384-38）后后，即即可可得得到到体体系系的的内内能能U U。实际上上常常用用的的压电元元件件都都是是采采用用沿沿晶晶体体的的某某个个方方向向切切下下的的晶晶片片，例例如如薄薄长条条片片、薄薄圆片片或或细长杆杆等等都都具具有有较简单的的形形状状，这样的的压电元件的内能表示式也比元件的内能表示式也比较简单。32求求出出内内能能表表示示式式后后，再再代代入入到到机机电耦耦合合系系数数表表达达式（式（4-374-37），即得到相），即得到

11、相应的机的机电耦合系数耦合系数k k。举例如下：例如下：薄薄长条片的机条片的机电耦合系数耦合系数;细长杆的机杆的机电耦合系数耦合系数;平面机平面机电耦合系数耦合系数;厚度切厚度切变机机电耦合系数耦合系数;33薄薄长条片的机条片的机电耦合系数耦合系数 设为z z切切割割晶晶片片，如如图4-174-17所所示示，若若晶晶片片受受到到沿沿x x方方向向的的应力力X X1 1与与沿沿z z 方方向向的的电场强度度E E3 3 的的作作用用，其其它它X X2 2、X X3 3、X X4 4、X X5 5、X X6 6、E E1 1、E E2 2皆皆等等于于零零，在在此此情况下，晶片的内能表示式情况下，晶

12、片的内能表示式为：34图4-17 4-17 薄薄长条片条片压电晶片示意晶片示意图35选X X、E E为自自变量，量，则晶体的第一晶体的第一类压电方程方程组为，36式式中中：s sE E1111X X1 12 2/2/2为晶晶片片的的弹性性能能密密度度U UM M；X X3333E E3 32 2/2/2为晶晶片片的的介介电能能密密度度U UE E；d d3131E E3 3X X1 1/2/2为与与压电效效应有有关的相互作用能密度关的相互作用能密度U UI I。将上式代入（将上式代入（4-394-39）式得到晶片的内能表示式）式得到晶片的内能表示式为：37将将这些些结果代入到（果代入到（4-3

13、74-37）式即得晶片的机）式即得晶片的机电耦合耦合系数系数k k为：即：即：与元件的形状有关！与元件的形状有关！38式式中中机机电耦耦合合系系数数k k3131的的前前一一个个下下标代代表表电场的的方方向向是是沿沿z z 轴方方向向，后后一一个个下下足足标代代表表晶晶片片是是x x方方向向的的伸伸缩振振动。从从（4-404-40）式式可可以以看看出出长条条晶晶片片的的机机电耦耦合合系系数数k k3131与与压电常常数数d d3131成成正正比比；与与短短路路弹性性柔柔顺常常数数s sE E1111和和自自由由介介电常常数数 X X3333的的乘乘积的的平平方方根成反比根成反比 。39k k3

14、131的数的数值举例例钛酸酸钡晶片：晶片：d d3131 1010-12-12 库仑/牛牛顿s sE E1111 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X3333=168=1681010-12-12 法拉法拉/米米故有：故有：k k313140k k3131的数的数值举例例PZT-4PZT-4压电陶瓷陶瓷d d3131=-123=-123 1010-12-12 库仑/牛牛顿s sE E1111 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X3333=1300=13001010-12-12 法拉法拉/米米故有：故有：k k313141钛酸酸钡陶瓷陶瓷d d3131=-78=-78 10

15、10-12-12 库仑/牛牛顿s sE E1111 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X3333=1700=17001010-12-12 法拉法拉/米米故有：故有：k k3131计算算时已将已将d d3131中的中的负号省去号省去 42细长杆的机杆的机电耦合系数耦合系数设细长杆的杆的长度方向与度方向与z z轴平行，平行，电极面与极面与z z轴垂直。若杆只受到沿垂直。若杆只受到沿z z轴方向的方向的应力力X X3 3以及以及电场E E3 3的作用，在此情况下，杆的内能表示式的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：43图4-18 4-18 细长杆杆压电振子示意振子示意图选T T、E E为

16、自自变量量，杆杆的的第第一一类压电方程方程组为44代入到（代入到（4-414-41）式得到杆的内能）式得到杆的内能为：故得：故得：45可可见电场与形与形变都沿都沿z z方向的方向的细长杆的机杆的机电耦合耦合系数与系数与d d3333成正比，与成正比，与s sE E3333 X X3333的根方成反比。的根方成反比。再代入到（再代入到（4-374-37）式，即得）式，即得细长杆的机杆的机电耦合系数耦合系数为，46k k3333的数的数值举例例钛酸酸钡晶片：晶片：d d3333 1010-12-12 库仑/牛牛顿s sE E3333 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X3333=168

17、=1681010-12-12 法拉法拉/米米故得：故得：k k333347PZT-4PZT-4压电陶瓷陶瓷d d3333=289=289 1010-12-12 库仑/牛牛顿s sE E 3333 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X3333=1300=13001010-12-12 法拉法拉/米米故得：故得：k k333348钛酸酸钡陶瓷陶瓷d d3333=190=190 1010-12-12 库仑/牛牛顿s sE E3333 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X3333=1700=17001010-12-12 法拉法拉/米米故得：故得：k k333349平面机平面机电耦

18、合系数耦合系数设所所研研究究的的晶晶片片为z z 切切割割的的薄薄圆片片，并并有有s sE E1111=s=sE E2222，d d3131=d=d3232，电极极面面与与z z轴垂垂直直，晶晶片片只只受受到到应力力X X1 1与与X X2 2以以及及电场E E3 3的的作作用用。在在此此情情况况下下，选X X、E E为自自变量，量，则第一第一类压电方程方程组为：50图4-19 4-19 薄薄圆片片压电振子示意振子示意图51考考虑到到薄薄圆片片存存在在s sE E1111=s=sE E2222，d d3131=d=d3232等等对称称性性，因因而而有有X X1 1=X=X2 2=X=Xp p，

19、并并引引入入平平面面应变x xp p=x=x1 1+x+x2 2，平平面面压电常常数数d dp p=2d=2d3131，平平面面弹性性柔柔顺常常数数s sE Ep p=2=2（s sE E1111+s+sE E2222），利利用用这些些关关系系，压电方方程程组可可简化化为：52即：即：X1=X2=Xp，xp=x1+x2，dp=2d31，sEp=2（sE11+sE22）53又薄片的内能表示式又薄片的内能表示式为：即：即：54将（将（4-434-43）式代入（）式代入（4-444-44）式可得）式可得式中：式中：55再再代代入入到到（4-374-37）式式，即即得得薄薄圆片片的的机机电耦耦合合系系

20、数数为：56式式中中k kp p称称为平平面面机机电耦耦合合系系数数，=-s=-sE E1212/s/sE E1111称称为泊泊松松比比，可可见平平面面机机电耦耦合合系系数数k kp p k k3131。应该注注意意，因因为导出出（4-454-45）式式时曾曾用用到到s sE E1111=s=sE E2222，d d3131=d=d3232等等对称称性性关关系系，所所以以（4-454-45）式式规定定的的平平面面机机电耦耦合合系系数数适适用用范范围为：属属于于四四方方晶晶系系中中的的4 4、4mm4mm点点群群，三三方方晶晶系系中中的的3 3、3m3m点点群群，六六方方晶晶系中的系中的6 6、

21、6mm6mm点群等晶体以及点群等晶体以及压电陶瓷。陶瓷。57k kp p 的数的数值举例例钛酸酸钡晶体的晶体的k kp p值：=-s=-sE E1212/s/sE E1111 1010-12-12 1010-12-12k k3131故得：故得：k kp p58PZT-4PZT-4压电陶瓷的陶瓷的k kp p值：1010-12-12 1010-12-12k k3131故：故：k kp p59钛酸酸钡陶瓷的陶瓷的k kp p值1010-12-12 1010-12-12k k3131故有：故有：k kp p60厚度切厚度切变机机电耦合系数耦合系数设有有压电常常数数d d1515 0 0的的x x切切

22、割割的的晶晶片片，电极极面面与与x x轴垂垂直直，若若此此晶晶片片只只受受到到切切应力力X X5 5以以及及电场强度度E E1 1的的作作用用。在在此此情情况况下下选X X5 5、E E1 1为自自变量，第一量，第一类压电方程方程组为：61厚度切厚度切变压电振子示意振子示意图图4-204-2062晶片内能晶片内能为:63代代入入到到（4-374-37）式式，即即得得晶晶片片的的机机电耦耦合合系系数数为:64对于于四四方方晶晶系系、三三方方晶晶系系和和六六方方晶晶系系中中的的晶晶体体，具具有有d d1515 0 0的的压电晶晶体体以以及及压电陶陶瓷瓷（z z轴为极极化化轴）都存在）都存在s sE

23、 E5555=s=sE E4444，故（，故（4-464-46）式可改写）式可改写为65对于于四四方方晶晶系系、三三方方晶晶系系和和六六方方晶晶系系中中的的大大多多数数晶晶体体以以及及压电陶陶瓷瓷，除除了了s sE E5555=s=sE E4444外外，还存存在在d d1414=d=d1515关关系系。于于是是可可得得到到切切变机机电耦耦合合系系数数k k1414为：66可可见切切变机机电耦耦合合系系数数k k1515和和k k1414与与d d1515成成正正比比，与与s sE E5555 X X1111平方跟成反比。平方跟成反比。k k1515和和k k1414的数的数值举例，例，钛酸酸钡晶体：晶体：d d1515=392=392 1010-12-12 库仑/牛牛顿s sE E5555 1010-12-12 米米2 2/牛牛顿 X X1111=2920=29201010-12-12 法拉法拉/米米故得故得k k1515=k=k141467小结小结一般情况下的四一般情况下的四类压电方程方程组，矩，矩阵形形式和分量形式，参量之式和分量形式，参量之间的关系；的关系；机机电耦合因子：定耦合因子：定义，如何求得；薄，如何求得；薄长条片的机条片的机电耦合系数，耦合系数，细长杆的机杆的机电耦耦合系数，平面机合系数，平面机电耦合系数，厚度切耦合系数，厚度切变机机电耦合系数耦合系数。68