《复数与复变函数》PPT课件.ppt

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1、 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.第一章 复数与复变函数n复数n复数表示及运算n平面点集n复变函数极限和连续性复数、复数表示及运算n复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,

2、yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复数不能比较大小复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角主幅角并规定幅角按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:说明：当 z 在第二象限时，例例3 求 和解解n复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：指数表示：注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差例例4 求 的三角表示式与指数表示式.解解因为所以设则又因为 位于第II象限所以于是例4

3、将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此n复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减复数四则运算规律：（1）加法交换律（2）乘法交换律（3）加法结合律（4）乘法结合律（5）乘法对于加法的分配律共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为共轭复数为 是复数z关于实轴的对称点共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）

4、（6）（7）为实数.n.n 例例1 化简解解例例2 设 ，求 及解解所以1.复数的乘幂设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即若 ，则有当 时，得到著名的棣莫弗公式例例7 求解解因为所以例例8 已知 ，求解解因为所以复数的方根称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作或记作令解出由即可求出6个根，它们是例例 解方程解解 因为所以例例2 计算解解 因为 所以 即练习平面点集邻域平面上以 为心，为半径的圆：内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即称集合 为 的去心 邻域，记作 z0n开集开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.n闭集闭集如果点集 的余集为开集

5、，则称 为闭集.n连通集连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集.Dz1z2p区域区域n区域（或开区域）区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.n闭区域闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例1：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以 Z0为中心、R为半径的圆周方程为连接z1 和z2两点的线段的参数方程为过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为例2：考察下列方程（或

6、不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。（2）设 z=x+iy,（3）表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）（4）例3：指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合图 11.简单曲线、简单闭曲线平面曲线若存在满足且的使重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或则称此曲线C有，约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单

7、闭曲线，例如是一条简单闭曲线（如图1）.n在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图中的 是简单曲线，是简单闭区域，图中的 ，不是简单曲线，但 是闭曲线.图1.10 图1.11 n2.光滑曲线、分段光滑曲线n设曲线 的方程为 n 若 ，在 上可导且 ，连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.n3.单连通域、多连通域n设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域

8、.n在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.图练习考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形，并指明它是有界还是无界，是单连通还是多连通。复变函数复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。说明1如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。说明2复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面上的一个映射。复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy=f(z)z平面平面举例求0argz,0r0,0 当当z1,z2 E且且|z1-z2|有有|f(z1)-f(z2)|