《函数的平均变化率》PPT课件.ppt

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1、 函数的平均变化率函数的平均变化率 教学目标教学目标知识与能力目标知识与能力目标：（1）通过生活实例使学生理解函数增量、通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；函数的平均变化率的概念；（2）掌握求简单函数平均变化率的方法，掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；会求函数的平均变化率；（3）理解函数的平均变化率的含义，引出理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用函数的瞬时变化率概念，简单应用,为下一节导为下一节导数概念的学习打好基础。数概念的学习打好基础。过程与方法过程与方法目标目标：（1）使学生在研究过程中熟悉数学研究的使学生在研究过程中熟悉

2、数学研究的途径：背景途径：背景数学表示数学表示应用，应用，（2）培养学生独立思考，解决问题的能力培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型和在生活中建立数学模型，用数学理论解，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。释生活问题、应用数学的能力。情感情感态度与价值观态度与价值观目标目标（1）使学生通过学习，了解简单的情使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，法，（2）鼓励学生主动探究、不惧困鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究学生探究总结型的学习习惯。总结型的学

3、习习惯。教学重点：教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。单应用。教学难点：教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。解。微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物求物体在任意时刻的速度与加速度等体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、

4、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。最有效的工具。例子例子:假设下图是一座山的剖面示意图，并在假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系。上面建立平面直角坐标系。A是出发点，是出发点，H是山顶。爬山路线用函数是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。表示。H 自变量自变量x表示某旅游者的水平位置，函表示某旅游者的水平位置，函数值数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。表示此时旅游者所在的高度。想想看

5、，如何用数量表示此旅游者登山路想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？线的平缓及陡峭程度呢？某旅游者从某旅游者从A点爬到点爬到B点，假设这段山路点，假设这段山路是平直的。设点是平直的。设点A的坐标为的坐标为(x0，y0)，点，点B的的坐标为坐标为(x1，y1)，自变量，自变量x的改变量为的改变量为x1x0，记作，记作x，函数值的改变量为，函数值的改变量为y1y0，记，记作作y，即，即x=x1x0，y=y1y0，假设向量假设向量 对对x轴的倾斜角为轴的倾斜角为，直线，直线AB的斜率为的斜率为k，容易看出，容易看出 于是此人从点于是此人从点A爬到点爬到点B的位移可以用的位移可以用

6、向量向量 来表示，来表示，显然，显然，“线段线段”所在直线的斜率的绝所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比移与水平位移之比 的绝对值越大，山的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡的。例如，山坡DE可近

7、似的看作线段可近似的看作线段DE，再用对平直山坡，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。注意各小段的注意各小段的 是不尽相同的。但不是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值差的比值 来度量。来度量。由此我们引出由此我们引出函数平均变化率函数平均变化率的概念。的概念。平均变化率的概念：平均变化率的概念：一般地，已知函数一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定是其定义域内不

8、同的两点，记义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).则当则当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。进一步理解：进一步理解：1.式子中式子中x、y的值可正、可负，但的值可正、可负，但的的x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为0；2.若函数若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0；3.变式变式:例例1求函数求函数y=x2在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。解：函数解：函数y=x2在区间在区间x0，x0+x(或或

9、x0+x，x0)的平均变化率为的平均变化率为 由上式可以看出，当由上式可以看出，当x0取定值时，取定值时，x取不同的值，函数的平均变化率不同，当取不同的值，函数的平均变化率不同，当x取定值，取定值，x0取不同的值时，该函数的平取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。均变化率也不一样。例如，例如，x0取正值，并不断增大时，该函取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。越来越陡峭。例例2求函数求函数 在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率的平均变化率(x00，且，且x0+x0).解：函数解：函数 的平均变化

10、率为的平均变化率为 例例3已知函数已知函数f(x)=x2+x的图象上的一的图象上的一点点A(1,2)及临近一点及临近一点B(1+x,2+y),则则 3x达标达标练习练习y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，时，函数的改变量为（）函数的改变量为（）Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0)x Df(x0+x)f(x0)D 2.一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一，则在一段时间段时间1，2内的平均速度为（）内的平均速度为（）A4 B8 C 6 D6C3.将半径为将半径为R的球加热，若球的半径增加的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积增加，则球

11、的表面积增加S等于（等于（）A B C DB4.在曲线在曲线y=x2+1的图象上取一点的图象上取一点(1,2)及附及附近一点近一点(1+x,2+y)，则，则 为（）为（）A B C DC课堂小结课堂小结1、平均变化率的概念：、平均变化率的概念：一般地，已知函数一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域是其定义域内不同的两点，记内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).则当则当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。2.式子中式子中x、y的值可正、可负，但的值可正、可负，但的的x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为0；3.若函数若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0；4.变式变式:课后作业课后作业课本课本P77 练习练习A 2,3