《高等教育》PPT课件.ppt

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1、第四节第四节 函数的单调性函数的单调性 与曲线的凹凸性与曲线的凹凸性一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间求法二、单调区间求法三、曲线凹凸的定义三、曲线凹凸的定义四、曲线凹凸的判定四、曲线凹凸的判定五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法六、凹凸性小结六、凹凸性小结1一、单调性的判别法一、单调性的判别法定理定理12证证（1）应用拉氏定理应用拉氏定理,得得(2)同理可证。同理可证。3例题部分例题部分 单调性应用单调性应用 注注 定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.应用应用1判断函数的单调性、求函数的单调区间判断函数的单调性、求函

2、数的单调区间 课本课本例例1 判定函数判定函数 y=x sinx 在在 0,2 上的单调性上的单调性.解解 因为因为 在在(0,2)内内.故由定理故由定理1立得立得函数函数 y=x sinx 在在 0,2 上的单调增加上的单调增加.4 课本课本例例2 解解 注意注意 函数的单调性是一个函数的单调性是一个区间上区间上的性质，要用导数在的性质，要用导数在这一这一区间上区间上的的符号符号来判定，而不能用来判定，而不能用一点一点处的导数符号处的导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性5说明说明 1.单调区间的单调区间的分界点分界点除除驻点驻点外外,也可是也可是导数不存在导数不存在的点的

3、点.例如例如课本课本例例32.如果函数在某如果函数在某驻点驻点两边导数两边导数同号同号,则则不改变不改变函数的函数的单调性单调性.例如例如课本课本例例5 3.熟记熟记单调区间的单调区间的可能可能分界点分界点(1)驻点驻点;(2)不可导点不可导点x=0不可导点不可导点6二、单调区间求法二、单调区间求法 方法方法 小结小结：单调区间的求法步骤：单调区间的求法步骤求定义域求定义域求驻点、不可导点求驻点、不可导点(可能的分界点可能的分界点)确定单调区间确定单调区间列表考察列表考察 f (x)在各个区间内的符号在各个区间内的符号7 课本课本例例4 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解令令得得故故的

4、的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调减区间为区间为8判断函数的单调性或求单调区间的判断函数的单调性或求单调区间的练习题练习题习题习题 3-4 P151 1、2、3(1)(2)(3)(5)(7)判断函数的单调性或求单调区间的判断函数的单调性或求单调区间的作业题作业题习题习题 3-4 P151 1、3(1)(3)(5)9 课本课本例例6 证明当证明当x 1时时,证证应用应用2利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式10利用单调性证明不等式的利用单调性证明不等式的练习题练习题习题习题 3-4 P151 4 (1)、(2)、(5)利用单调性证明不等式的利用单调性证明不等式的作业题作业题

5、习题习题 3-4 P151 4 (1)11三、曲线凹凸的定义三、曲线凹凸的定义 问题问题 单调性不能反映曲线的单调性不能反映曲线的弯曲弯曲方方 向；如何研究曲线的向；如何研究曲线的弯曲弯曲方向方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方12定义定义 设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续,(1)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹凹的的;(2)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凸凸的的.13四、曲线凹凸与拐点的判定四、曲线凹凸与拐点的判定【观察】【观察】14 定理定理2(凹凸判定法凹凸判定法)(1)在在 I 内内

6、则则 在在 I 内图形是内图形是凹凹的的;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是内图形是凸凸的的.设函数设函数在区间在区间I 上二阶可导上二阶可导 注注 定理中区间定理中区间I 可以可以为为闭区间闭区间也可为也可为非闭区间非闭区间.该定理的记忆方法该定理的记忆方法快乐是快乐是“+”“+”，悲伤是，悲伤是“-”“-”15 课本课本例例8 解解 注意到注意到 这样的点称为曲线的这样的点称为曲线的拐点拐点，定义定义连续连续曲线上曲线上凹凸凹凸的的分界点分界点(x0，f(x0)称为称为拐点拐点.内点内点16五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法1.可能可能(可疑可疑)拐点的求法拐点的求法

7、分析分析(1)所以要寻求拐点所以要寻求拐点,只要找出使只要找出使f (x)正负正负号发生变化的分号发生变化的分界点即可界点即可.如果如果f (x)连续连续,则则f (x)的的值在值在由负变正由负变正或或由正变负由正变负的过程中的过程中,必在必在分界点分界点处的值为零处的值为零.即即(2)此外此外,f (x)不存在的点也不存在的点也可能可能是拐点（如下图）是拐点（如下图）可能可能的拐点的拐点总结总结172.判定拐点的步骤判定拐点的步骤由此可得求由此可得求拐点的拐点的步骤步骤如下如下:若在其两侧若在其两侧二阶导数变号二阶导数变号,则点则点(x0 ,f(x0)是是拐点；拐点；若在其两侧若在其两侧二阶

8、导数不变号二阶导数不变号,则点则点(x0,f(x0)不是不是拐点；拐点；可能可能的拐点的拐点18课本课本例例11判断曲线判断曲线的凹凸性及其拐点的凹凸性及其拐点.解解故曲线故曲线在在上是凹的上是凹的.结论结论1)由由 例例8和例和例11可知可知：二阶导数为零的点：二阶导数为零的点可能是可能是拐点拐点,2)也也可能不是可能不是拐点。拐点。19课本课本例例12 求曲线求曲线的拐点的拐点.解解不存在不存在因此点因此点(0,0)为曲线为曲线的拐点的拐点.凹凹凸凸结论结论2)此例说明了此例说明了 不存在不存在的点的点 也也可能可能 是是曲线的曲线的拐点拐点.20 课本课本例例10 求曲线求曲线的凹凸区间

9、及拐点的凹凸区间及拐点.解解1)求求2)求可能的拐点坐标求可能的拐点坐标令令得得对应对应3)列表判别列表判别故该曲线在故该曲线在及及上是凹的上是凹的,是凸的是凸的,点点(0,1)及及均为拐点均为拐点.21函数的凹凸性拐点函数的凹凸性拐点练习题练习题习题习题 3-4 P151 8(1)(4)、11、12、13函数的凹凸性拐点函数的凹凸性拐点作业题作业题习题习题 3-4 P151 8(1)(2)、11、1222六、曲线的凹凸性小结六、曲线的凹凸性小结3.拐点的求法：拐点的求法：1.找出可能拐点；找出可能拐点；2.判别判别.一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸可能可能拐点拐点 1.f(x)=0的点的点 2.f(x)不不 存在的点存在的点.1.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判别2.拐点拐点 连续曲线上的凹凸分界连续曲线上的凹凸分界（内点）（内点）点点23