《函数的连续性》PPT课件.ppt

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1、第五节函数的连续性与间断点第五节函数的连续性与间断点二二 函数的间断点类型函数的间断点类型一一 函数的连续性函数的连续性三三 小结与思考判断题小结与思考判断题1.函数的增量一、函数的连续性2.连续的定义2)若若 y=f(x)在在 x0 处不连续，则称处不连续，则称 y=f(x)在在 x0 处处间断间断。注注：1)函数函数 f(x)在在 x0 连续的等价写法连续的等价写法(满足定义满足定义1的条件的条件):3)极限与连续的关系极限与连续的关系:极限极限 连续连续 连续函数必有极限连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数有极限不一定是连续函数.例如例如例1证由定义由定义2知知二、函数的间断点及其类

2、型二、函数的间断点及其类型定义5间断点间断点分为第一类间断点与第二类间断点分为第一类间断点与第二类间断点.第一类间断点第一类间断点 如果如果 在间断点在间断点 处左右极限处左右极限存在存在,则称点则称点 为为 的第一类间断点的第一类间断点.第二类间断点第二类间断点 如果如果 在间断点在间断点 处左右极限处左右极限中至少有一个不存在中至少有一个不存在,则称点则称点 为为 的第二类间断的第二类间断点点.例2解1.跳跃间断点.的跳跃间断点为函数则称点但存在,右极限都处左,在点如果 )(),()()(0000 xfxxfxfxxf+-2.可去间断点可去间断点例3解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充

3、间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.函数的可去间断点函数的可去间断点如例如例3中中,特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.3.第二类间断点第二类间断点例例4 4解解在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:函数函数3.单侧连续定理定理定义3;)(),()(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf=-定义4.)(),()(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且

4、内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf=+例5解右右连续但连续但不左不左连续连续,例例6 6解解左左连续但不右连续连续但不右连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例7证例8解例例9.设设在在x=0处连续，求常数处连续，求常数a与与b应满足的关系。应满足的关系。1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)小结三、小结与思考判断题可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx判断思考题思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但