《定积分定义》PPT课件.ppt

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1、上课 手机手机 关了吗？关了吗？2022/10/261第第6章章 定积分定积分2022/10/262 积分有不定积分和定积分之分。积分有不定积分和定积分之分。不定积分是导数的逆运算，定积分不定积分是导数的逆运算，定积分是求是求“和式的极限和式的极限”.牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式给出它给出它们之间的联系们之间的联系.2022/10/2636.1 定积分的概念和性质定积分的概念和性质一、引例一、引例求曲边梯形的面积abcdxyoA2022/10/264解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间在区间 a,b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成

2、n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以为底为底,为高的小矩形为高的小矩形,并以此小并以此小梯形面积近似代替相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积得得2022/10/2653)近似和近似和.4)取极限取极限.令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积2022/10/266变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,且且求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成将它分成在每个小段上物体在每个小段上物体2)常代变常代变.得得已知速度已

3、知速度n 个小段个小段经经过的路程为过的路程为T1T22022/10/2673)近似和近似和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同:“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限2022/10/268二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义2022/10/269被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和2022/10/2610注意：注意：2022/10/2611定理定理1 1定理定

4、理2 2三、存在定理三、存在定理2022/10/2612曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义2022/10/2613例例 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解f(x)在在0,1上连续，上连续，故故 存在存在将将0,1n等分等分,分点分点(i1,2,n)取取(i1,2,n)思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分解答解答原式原式或或15对定积分的对定积分的补充规定补充规定:五、定积分的基本性质五、定积分的基本性质2022/10/2616证证性质性质2 2性质性质1 12022/10/2617证证（此性

5、质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质3 32022/10/2618补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质4 4abc2022/10/2619证证性质性质5 5注：若注：若f(x)x2022/10/2621证证注注:(1)此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围性质性质6 6(2)若若mf(x)M，或：，或：mf(x)M且等号仅在一些且等号仅在一些孤立点成立，则孤立点成立，则2022/10/2622解解

6、2022/10/2623证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式2022/10/2624使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：注注:称称 为函数为函数f(x)在在a,b上的上的 平均值平均值.25思考思考k(ba)02022/10/2626五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：2022/10/2627作业：P2081(4)(6)(7)2(2)(3)(4)2022/10/2628 曲边梯形的面积曲边梯形的面积

7、(1)分割分割-任意任意n份份yaf(x)b2022/10/2629曲边梯形的面积曲边梯形的面积(2)近似近似yf(x)ab2022/10/2630曲边梯形的面积曲边梯形的面积(3)求和求和yf(x)ab2022/10/2631曲边梯形的面积曲边梯形的面积(4)取极限取极限yf(x)ab2022/10/2632小小 结结曲边梯形的面积曲边梯形的面积(1)分割分割(2)近似近似(以直代曲以直代曲)(3)求和求和(4)取极限取极限yf(x)ab变速直线运动变速直线运动 的距离的距离 (1)分割分割(2)近似近似(以不变代变以不变代变)(3)求和求和(4)取极限取极限ab分析问题的共同点：1 1）问题的结果决定于一个函数及其自变量的）问题的结果决定于一个函数及其自变量的变化区间；变化区间；2 2）解决问题（）解决问题（“变变”与与“不变不变”、“曲曲”与与“直直”）的方法均通过）的方法均通过分割整体分割整体为局部，在局为局部，在局部进行部进行近似替代近似替代，再，再求和求和，以求得整体的近似，以求得整体的近似值，最后，在无限细分的值，最后，在无限细分的极限过程极限过程中求得整体中求得整体的精确值。的精确值。2022/10/2635下 课2022/10/2636