《小结习题》PPT课件.ppt

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1、经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用各种各种类型类型的的不定不定式的式的极限极限函数函数的的极值极值和和最值最值边际与弹性边际与弹性的概念的概念函数的函数的单调性单调性洛必达洛必达法则法则基本定理、概念、方法关系图：基本定理、概念、方法关系图：中值中值定理定理第3章 复习经济数学经济数学经济数学经济数学(1)罗尔定理罗尔定理第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习1.1.1.1.基本定理基本定理基本定理基本定理第第3章章 导数的应用导数的应用定

2、理定理 如果函数如果函数 满足下列条件：满足下列条件：在开区间在开区间 内可导；内可导；在闭区间在闭区间 上连续；上连续；则在区间则在区间 内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得经济数学经济数学经济数学经济数学(2)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 第第3章章 导数的应用导数的应用 定理定理 如果函数如果函数 满足下列条件：满足下列条件：（2）在开区间）在开区间 内可导；内可导；（1）在闭区间）在闭区间 上连续；上连续；则在区间则在区间 内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习1.1.1.1.基本定理基本定理基

3、本定理基本定理经济数学经济数学经济数学经济数学(3)综合举例综合举例 第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习1.1.1.1.基本定理基本定理基本定理基本定理第第3章章 导数的应用导数的应用例例1 1 函数函数 在闭区间在闭区间1,e上是否满足拉格朗日中值定上是否满足拉格朗日中值定理？如果满足，找出使定理结论成立的理？如果满足，找出使定理结论成立的 的值。的值。解：因为解：因为 是初等函数，所以是初等函数，所以 在在 上连续；上连续；在在又因为又因为 所以所以内可导；内可导；所以满足定理的条件。所以满足定理的条件。且且有等式有等式:即即解得解得由于由于

4、因此因此即是所找的值即是所找的值.经济数学经济数学经济数学经济数学(1)洛必达法则洛必达法则第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习2.2.2.2.利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限第第3章章 导数的应用导数的应用定理定理 如果函数如果函数 与与 满足条件：满足条件：（2）在）在 的某领域内（的某领域内（除外），除外），都存在，且都存在，且 ；（1）,；（3）存在（或为）存在（或为）则则经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本

5、内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(2)举例举例2.2.2.2.利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限例例2 2求求解：解：经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(2)举例举例2.2.2.2.利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限利用洛必达法则求函数极限例例3 3求求解：解：经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第

6、3章章 导数的应用导数的应用(1)基本判定定理基本判定定理.函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算定理定理3.6 设函数设函数 在在 内可导：内可导：（2）如果在内，则函数在如果在内，则函数在 内单调减少。内单调减少。（1）如果在内，则函数在）如果在内，则函数在 内单调增加。内单调增加。经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(1)基本判定定理基本判定定理.函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数

7、的单调性及极值的计算定理定理3.8（极值的第一充分条件）（极值的第一充分条件）设函数在设函数在 的某个领域内可导，且的某个领域内可导，且 。如果当时，；当时，如果当时，；当时，,则函数则函数 在在 处取得极大值。处取得极大值。如果当时，；当时，如果当时，；当时，则函则函数在数在 处取得极小值。处取得极小值。如果在如果在 的两侧，的两侧，具有相同的符号，则函数在具有相同的符号，则函数在 处不取得极值。处不取得极值。经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(1)基本判定定理基本判定定理.函数的

8、单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算定理定理3.9（极值的第二充分条件）（极值的第二充分条件）设函数设函数 在在 处具有二阶导数，且处具有二阶导数，且 ，则，则当当 时，函数时，函数 在在 处取得极大值。处取得极大值。当当 时，函数时，函数 在在 处取得极小值。处取得极小值。经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(2)举例举例.函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算例例4 4求

9、函数求函数 的单调区间以及在整个的单调区间以及在整个定义域内的极值点。定义域内的极值点。解：函数的定义域为解：函数的定义域为令令得驻点得驻点列表分析列表分析x-1(-1,1)(-,-1)3(3,+)1(1,3)+f(-1)=-1f(3)=7经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(2)举例举例.函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算函数的单调性及极值的计算例例4 4又上表可知函数的单调增区间为：又上表可知函数的单调增区间为：单调减区间为：单调减区间为：是函

10、数是函数f（x）的极大值点，）的极大值点，是函数是函数f（x）的极小值点。）的极小值点。经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(1)定义定义4.4.4.4.函数的最值函数的最值函数的最值函数的最值最值的定义最值的定义 如果函数如果函数f（x）在其定义域）在其定义域a，b上的函数值满足上的函数值满足 其中其中 则称则称 为函数的最为函数的最小值，小值，为函数的最大值。为函数的最大值。经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内

11、容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(2)综合举例综合举例4.4.4.4.函数的最值函数的最值函数的最值函数的最值例例5 5 某商品在销售单价为（某商品在销售单价为（p元元)时，每天的需求量时，每天的需求量 某工厂每天生产该商品某工厂每天生产该商品q单位的成本函数是单位的成本函数是 （元）（元）。若该工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最。若该工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格为多少？大？这时价格为多少？解：总收益函数为解：总收益函数为利润函数为利润函数为令令得驻点得驻点又因为又因为所以当每天产量所以当每天产量时有最大利润时有最大利润，此时价格

12、，此时价格p=44经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(1)定义定义5.5.5.5.边际与弹性边际与弹性边际与弹性边际与弹性边际成本：边际成本：边际收益：边际收益：边际利润：边际利润：经济数学经济数学经济数学经济数学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(1)定义定义5.5.5.5.边际与弹性边际与弹性边际与弹性边际与弹性需求弹性：需求弹性：供给弹性：供给弹性：收益弹性：收益弹性：经济数学经济数学经济数学经济数

13、学第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习第第3章章 导数的应用导数的应用(2)综合举例综合举例5.5.5.5.边际与弹性边际与弹性边际与弹性边际与弹性例例6 6 设某产品的总成本函数和收益函数分别为设某产品的总成本函数和收益函数分别为 ，其中，其中q为该产品的销售量，求该产品的为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收益和边际利润。边际成本、边际收益和边际利润。解：边际成本为：解：边际成本为：边际收益为：边际收益为：边际利润为：边际利润为：经济数学经济数学经济数学经济数学第第3章章 导数的应用导数的应用第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习

14、基本内容复习基本内容复习基本内容复习(2)综合举例综合举例5.5.5.5.边际与弹性边际与弹性边际与弹性边际与弹性例例7 7求函数求函数 的弹性函数。的弹性函数。解：因为解：因为所以弹性函数为：所以弹性函数为：经济数学经济数学经济数学经济数学第第3章章 导数的应用导数的应用第一部分第一部分第一部分第一部分 基本内容复习基本内容复习基本内容复习基本内容复习(2)综合举例综合举例5.5.5.5.边际与弹性边际与弹性边际与弹性边际与弹性例例8 8设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 ，（1）求需求弹性及）求需求弹性及p=50 时的需求弹性值。时的需求弹性值。（2）在）在p=50时，价格上涨时，价

15、格上涨1%，总收益如何变化。，总收益如何变化。解：需求弹性：解：需求弹性：当当p=50时的需求弹性值：时的需求弹性值：又因为：又因为：即，在即，在p=50时，价格上涨时，价格上涨1%，总收益将增加，总收益将增加0.5%.经济数学经济数学经济数学经济数学第第3章章 导数的应用导数的应用第二部分第二部分第二部分第二部分 课堂训练课堂训练课堂训练课堂训练3某产品的需求函数和总成本函数分别为某产品的需求函数和总成本函数分别为 求边际利润函数，并计算求边际利润函数，并计算q=150和和q=400时时的边际利润。的边际利润。答案：答案：经济数学经济数学经济数学经济数学第第3章章 导数的应用导数的应用第二部

16、分第二部分第二部分第二部分 课堂训练课堂训练课堂训练课堂训练4某商品的需求函数为某商品的需求函数为 ，求：，求：（1）p=5时边际需求、需求弹性，并说明它们的经济意义；时边际需求、需求弹性，并说明它们的经济意义；（2）p=5时，若价格上涨时，若价格上涨1，总收益将变化百分之几？，总收益将变化百分之几？（3）p为多少时，总收益最大？最大总收益为多少？为多少时，总收益最大？最大总收益为多少？答案：（答案：（1）边际需求）边际需求75，边际弹性，边际弹性-0.75；经济意义分别为：；经济意义分别为：当当p=5时，每增减一个单位价格，需求相应增加时，每增减一个单位价格，需求相应增加75个单位；个单位；当当p=5时，价格每上涨时，价格每上涨1%，则需求增加，则需求增加0.75%.（2）1.75 （3）16.7，11574