利用导数研究函数极值.ppt

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1、利用导数研究函数极值利用导数研究函数极值 已知函数已知函数 f(x)=)=2x3-6x2+7(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间,并画出其大致图象并画出其大致图象;【函数的极值】【函数的极值】【复习与思考】【复习与思考】(2)(2)函数函数 f(x)在在 x0 0 和和 x2 2 处的函数值与处的函数值与 这两点附近的函数值有什么关系这两点附近的函数值有什么关系?20 xy 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，(1)(1)如果在如果在x=xx=x0 0处的函数值比它附近所有各点的处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即函数

2、值都大，即f(x)f(x0),则称则称 f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个极小值的一个极小值.记作记作:y极小极小=f(x0)，并把并把X0 称为函数称为函数f(x)的一个的一个极小值点。极小值点。极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值,x,x0 0叫做函数的叫做函数的极值点极值点.yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念,反映了函数值在某一点反映了函数值在某一点附近的大

3、小情况附近的大小情况;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)(3)函数的极大函数的极大(小小)值可能不止一个值可能不止一个,而且而且函数的函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。点不能成为极值点。函数函数y=f(x)y=f(x)在极值点的导数值为多少在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律在极值点附近的导数符号有什么规律?xyabx1x2x3x4O问题探究问题探究 yx

4、Ox1x2aby=f(x)在极大值点附近在极大值点附近在极小值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)0 f (x)0 右侧右侧f/(x)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值【函数的极值与导数的关系】【函数的极值与导数的关系】(2)(2)如果如果f/(x0)=0,并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0,那么那么f(x0)是极小值是极小值，例题例题:求函数求函数 的极值。的极值。解：解：令令 ，解得解得 。列表如下：列表如下：所以函数有极大值所以函数有极大值 ，极小值，极小值 。练习练习:求函数求函数 的极值的极值.所以函数没有极大值，有极小值所以函数没有极大值，有极

5、小值 0。(0)f=对于可导函数而言对于可导函数而言,其极值点一定是导数为其极值点一定是导数为0 0的点的点,反之导数为反之导数为0 0的的点不一定是函数的极值点点不一定是函数的极值点.因此因此:导数值为导数值为0 0的点是该点为极值点的的点是该点为极值点的必要不充分条件必要不充分条件.（1）求导数求导数f/(x)；（2）解方程解方程 f/(x)=0求得所有实数根求得所有实数根（3）通过列表检查通过列表检查f/(x)在方程在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值确定函数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】【求函数极值的步骤】yxOMaby=f(x)mx1x2x3x4问：问：最大值与最小值可能在何处取得？最大值与最小值可能在何处取得？怎样求最大值与最小值？怎样求最大值与最小值？极值与最值的关系极值与最值的关系 已知函数已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在在 x=1处有处有极小值极小值1，试求实数，试求实数a,b的值及函数的值及函数 f(x)的单调区间的单调区间 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时时有极值有极值,极大值为极大值为4,极小值为极小值为0,试求试求a,b,c的值的值.