《常微分真题》word版.doc

《《常微分真题》word版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《常微分真题》word版.doc（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、考试真题（1）一、填空题（每小题5分，共25分）1常微分方程的直线积分曲线是( )。2设二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解为，则=（ ），=（ ），=（ ）。3已知 为某二阶线性齐次微分方程的特解，那么此方程是（ ）。4设方程组， 满足初始条件，用逐步逼近法得其第三次近似解为（ ）。5若方程定义于带域中，则其通过点（1，-1）的解的存在区间为（ ）。二、 求下列方程（组）的通解（每小题10分，共50分）12345三、证明题(共15分) 设在上连续，且，又，求证：对于方程 的一切解，均有。四、应用题（共10分）设某海湾的海岸线呈直角形，海水的流线为双曲线族 （为常数）。有一条船在海湾内行驶，

2、船身保持和水流方向成角，问此船行驶的路线如何？考试真题（2）一、 填空题（每小题5分，共20分） 1微分方程的阶数是（ ），是否为线性方程（ ）。2对称形式的方程 存在只与有关的积分因子的充要条件是（ ）。3方程满足条件的解有（ ）个。 4微分方程的通解为（ ）。二、单项选择题（每小题5分，共20分） 1下列方程组中线性方程组的个数为（ ）。 （A） 1 （ B）2 （C）3 （ D）42朗斯基行列式是函数组在区间上线性相关的（ ）。（A）充分条件 （B） 必要条件 （C） 充要条件 （D）既非必要也非充分条件3方程通过点的解的最大存在区间为( )。 （A） （B） （C） （D） 4. 设线

3、性无关的函数 都是二阶非齐次线性方程的解，任意常数，则该线性齐次方程的通解为( )。(A) (B) (C) (D) 三、求下列方程（或方程组）的通解（每小题10分，共40分）1 2 3 4 ， 四、证明题（10分）证明：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数。五、应用题（10分）设对任意，过曲线上的点的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式。考试真题（）一、 填空题（每小题5分，共25分）1若曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标与纵坐标的等差中项，则此曲线方程是( )。2若一阶微分方程 有积分因子，则（ ）。3对于线性非齐次方程，若已知它有一个特解是，而是

4、它对应齐次方程的解，则此方程的通解是（ ）。4方程满足初始条件解的最大存在区间是（ ）。5与方程等价的一阶方程组为（ ）。二、求下列方程的通解（每小题10分，共50分） 345 三、证明题：(共15分)如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间上的连续函数，是的朗斯基行列式。四、应用题：（共10分） 在某一人群中推广新技术是通过其中已经掌握新技术的人进行的。该人群的总人数为，在时刻已经掌握新技术的人数为，在任意时刻已经掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已经掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数，求。考试真题（5）一、填

5、空（每小题4分，共20分）1. 方程的常数解是 ( )。2. 常数满足（ ）条件时，方程的所有解当时都趋于零。3. 方程满足条件的解有（ ）个。4. 当函数( ),方程为恰当方程。5. 已知线性齐次方程组的基解矩阵为，则（ ）。二、解下列方程（组）（每小题10分，共50分）1. 2. 3. 4. 5. 三、（15分）设函数为偶函数且满足，求。四、证明题（15分）设是常系数线性齐次方程组 （1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，.，是方程组（1）的线性无关解组。2007常微分方程试题一、填空题：（每题4分，共20分）1 n阶常微分方程的初值条件可表示为 （

6、）。2设方程定义在带形区域中，其中为正数，则通过的解的存在区间是（ ）。3. 二阶常系数线性微分方程当系数 满足条件( )时,此方程的所有解有界。4 若常系数线性方程组e有一解为，则数和向量满足 ( )。5方程 的通解形式为( )。二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：（每题10分，共50分）1.2.3.4. 5. 三、证明题 (共20分) 设方程组有一个非零解，其中，证明方程组经变换，可化为关于个未知函数的线性方程组，它只含个方程，且不含。利用所得结果求方程组的通解，已知它有解.四、综合题：(共10分)设为连续函数， 且满足，求。2009年硕士研究生入学复试试题科目名称： 常微分方程适

7、用专业： 基础数学 共 2 页答案请写在答题纸上，写在试题纸上的答案一律无效。一、 填空题：（每空8分，共40分）1. 阶常微分方程的通解 中的个积分常数独立是指（ ）。2. 当函数=( ),使为全微分方程。3一阶常微分方程的Cauchy问题，其中定义在矩形域，上，其解的存在唯一性定理的条件为（ ），唯一解的存在区间为，其中( ) 。4指出常微分方程组的奇点（0，0）的类型（ ）。二、 求下列方程（组）的解：（每题12分，共60分） 5 三、证明题：(共30分)1 设在连续，是方程的任意两个解，证明：函数均为周期函数，并求出其周期。2阶齐次线性常微分方程有且最多有个线性无关的解。四、简答题：（共20分）1常数变易法的基本思想是什么？举例说明。2 简述李雅普诺夫第二方法的基本思想。