2015北大自主招生数学试题.doc

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1、2015北大自主招生数学试题一.选择题1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1，则(1+)(1+)(1+)可能取到的值为（ ）A16900 B17900 C18900 D前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100这50个数的和可能等于（ ）A3524 B3624 C3724 D前三个答案都不对3.已知x0,，对任意实数a，函数y= 2acosx+1的最小值记为g(a)，则当a取遍所有实数时，g(a)的最大值为（ ）A1 B2 C3 D前三个答案都不对4.已知是的整数倍，则正整数n的最大值为（ ）A21 B22 C2

2、3 D前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD中，BC=4，ADC=60，BAD=90，四边形ABCD的面积等于，则CD的长（精确到小数点后1位）为（ ）A6.9 B7.1 C7.3 D前三个答案都不对二.填空题6.满足等式的整数x的个数是_7.已知a,b,c,d2,4，则 的最大值与最小值的和为_8.对于任意实数x1,5,|+px+q|2,不超过的最大整数是_9.设x=,y=,z=,且x+y+z=1，则的值为_10.设都是9元集合1,2,3,9的子集，已知|为奇数，1in,|为偶数，1ijn，则n的最大值为_三解答题11.已知数列为正项等比数列，且=5,求的最小值12.已知f(x)为二次函数，

3、且a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)成正项等比数列，求证：f(a)=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角ABC的三边满足abc， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为14.从O出发的两条射线，已知直线交于A、B两点，且=c(c为定值),记AB的中点为X，求证：X的轨迹为双曲线15.已知(i=1,2,3,10)满足：=30，21，求证：，使得0时，=,无解x0,则=()=5(t+2)5(2)=20，等号成立当且仅当t=t=1q=,故的最小值为2012.(方法一)设f(x)=m+nx+t(m0), a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)公比为q

4、(q0)则-并化简得到：ma(1-)+n(1-q)=q(1-q),-并化简得到：maq(1-)+n(1-q)=q(1-q)从而q=1,f(a)=a(方法二)由已知=，假设f(a)a则=A(a,f(a),B(f(a),f(f(a),C(f(f(a),f(f(f(a)，=A,B,C三点共线一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故f(a)=a13.证明：设正方形的边长为x，ABC外接圆半径为R，当内接正方形如图所示时=同理其他情况，内接正方形的边长分别为=，=-=-=0,同理于是最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为14.证明：设2为的夹角，以O为原点，的角平分线为x轴，建立直角坐标系，如图设X(x,y),|OA|=a,|OB|=b，则A(acos,asin),B(bcos,-bsin)，于是=ab因=absin2=c,于是ab=，X的轨迹方程为=,轨迹是双曲线15.(反证法)假设，1，设=1+(0), =30=20=1+()+21与21矛盾故，使得1第 5 页 共 5 页