函数、极限与连续(答案).doc

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1、第一章 函数、极限与连续(一)1已知函数的定义域是，则的定义域是。2若，则， 。3函数的反函数为。4设，则。5 。6。7 0 。8。9函数的不连续点为 1 。10。11函数的连续区间是、。12设，处处连续的充要条件是 0 。13若，复合函数的连续区间是 ，。14若，均为常数，则 1 ， 2 。15设，求。 解： 故。16设，求。解： 17若，求。 解： 18利用极限存在准则证明：。证：且，由夹逼定理知19求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)，(2)，(3)，(4)解：(1)当为第二类间断点；(2)均为第二类间断点； (3)，为第一类断点；(4)，均为第一类间断点。20设，问： (1)

2、 存在吗？解：存在，事实上，故。 (2) 在处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：不连续，为可去间断点，定义：，则在处连续。 0 1 21设，求出的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：(1)由，故为可去间断点，改变在的定义为，即可使在连续。(2)由，故为第一类间断点。(3)类似地易得为第一类间断点。(二)1若，则。2函数的单调下降区间为。3已知，则 0 ， 6 。4，则 2 。5函数的不连续点是，是第 二 类不连续点。6函数的不连续点是，是第 二类 不连续点。7当时，。8已知，为使在连续，则应补充定义。9设，则。10设，函

3、数有意义，则函数的定义域。11如果时，要无穷小与等价，应等于 2 。12要使，则应满足。13 0 。14函数，当 2 时，函数连续。15已知，则 2 ， -8 。16， 0 ；若无间断点，则 0 。17。18 0 。19。20求下列极限(1) 解：原式(2) (，为正整数)，解：原式(3) 解：原式(4) 解：原式(5) 解：原式(6) 解：原式(7) 解：原式(8) 解：原式(9) 解：令，原式(10) 解：原式(11) 解：原式(12) 解：原式(13) 解：原式(14) (为正整数) 解：原式21设在闭区间上连续，且，则在上至少存在一个，使。证：令，于是在上连续，由于条件(若，则显然结果

4、成立，若)，显然，故使，综上，使。22设在上连续，且，试证：在内至少有一点，使得：。证：令，于是在上连续，且，故，使，即。23设数列有界，又，证明。证：由假设不妨设，为一正数，由，故自然数，当时，恒有，故恒有，即。24设，求。解：原式25设，求及。解：，故26求。解：原式27求解：原式28求下列极限(1) 解：原式(2) 解：原式(3) 解：原式(4) 解：原式(5) 解：原式(6) 解：原式(7) 解：原式(8) 解：原式29若在上连续，则在上必有，使。证：令，则中至少有一个，使，至少有一个，使，显然有 ()当式中两个“”中有一个取等号时，则对应的(或)即为，当式中的两个“”号都不能取符号时。由于闭区间(或)上连续，由介值定理知至少存在一点或，使，以上两种情况下得到的显然都在上。30、若 在 处连续可导，求 解 时函数在连续。 时函数在 处连续可导。31、若 在 处连续可导，求 解 时函数在连续。 时函数在 处连续可导。32、判断 在 处连续与可导性。解 时函数在连续。 函数在 处连续不可导。