《多元函数微积分》习题解答第三章.doc

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1、习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）L为抛物线上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）L为按逆时针方向饶行的圆；（3）L为螺旋线上由t=0到t=2的有向弧段;（4）L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）其中L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）其中，L按逆时针方向饶行的圆.解（1）化为对x的定积分，L: ，x从0到2，所以=（2）圆周的参数方程为：=（3）L的参数方程为：，t从0到2，所以= =（4）直线的参数方程为： 代入 = =（5）三条直线段的方程分别为 y=0,x从0到1； x=1,y从0到1； y=x,x从1到0.所以

2、= =02、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为L: ,x从R变到0，于是，w=3、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P沿椭圆逆时针方向绕行一周，力F所作的功.解： 椭圆的参数方程为：，t从0到2所以， 4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线从点移动到时，该场力所作的功.解： 直线的参数方程为：，t从1到2所以，习题3-2答案1、 解：记S在x0一侧为，在x0一侧为，在y0取下侧则(

3、4)记S在z=0上的部分为，在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上的部分为,在上的部分为.有3、 解：（1）原式=.（2）原式= 3-3格林公式及其应用1(1) ， (2) , , （3），（4），而在以为起点为终点的直线上所以原式2，因为积分与路径无关，所以,得3.(1) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(2) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(3) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(4) ，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故4（1）,故为全微分方程。，故通解为（2）,故为全微分方程。，故通解为（3）,故为全微分方程。，故通解为（4）,故不是

4、全微分方程。3-4高斯公式和斯托克斯公式1（1）原式= = = =（2）原式= = = =（3）原式= = = = = （4）原式= = = （5）原式= = = = 2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域的上侧,(2) 取为平面被L所围成的部分的上侧, 的面积为的单位法向量为,3.解: 其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yoz面上的投影区域为线段,所以,又在xoy面上的投影区域为,所以,习题351 解：（1）， ， （2）， ， （3）， ， 。2 证明：场力沿路径L所作的功为，要证明场力所作的功与所取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x0是单连通域。 在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以上面的积分与路径无关，因而结论正确。3解：（1） （2） （3） （4）4证明：（1） 所以A为有势场 （2） 所以A为有势场