曲线积分与曲面积分习题详解.doc

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1、曲线积分与曲面积分习题详解 习题9.11 计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是圆中到之间的一段劣弧；解: 的参数方程为：，于是 （2），其中是顶点为及所成三角形的边界；解: 是分段光滑的闭曲线，如图92所示，根据积分的可加性，则有 ，由于:，于是，故 ，而,，于是故 ，同理可知（），则 综上所述 （3），其中为圆周；解 直接化为定积分的参数方程为,（）,且 于是 （4），其中为折线段，这里，；解 如图所示， 线段的参数方程为 ，则，故 线段的参数方程为，则 故 ，线段的参数方程为，则，故所以 （5），为球面与平面的交线。解 先将曲线用参数方程表示，由于是球面与经过球心的平面的交线，如图所示

2、，因此是空间一个半径为的圆周，它在平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去而得到，即以代入有，将其化为参数方程，令，即 ， ，即有，代入（或中）得，从而的参数方程为 ，则 ,所以 2 设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量解 依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中则的参数方程为 ，故 ， 所以3 求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。解 设曲线在坐标平面内的弧段分别为、，曲线的重心坐标为，则曲线的质量为由对称性可得重心坐标 故所求重心坐标为 习题9.21 设为面内一直线（为常数），证明。证明：设是直线上从点到点的一段，其参数方程可视为，（），于是。

3、2 计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中为抛物线上从点到点的一段弧。解 将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到。因此。（2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧；解 的方程为，则有的方程为，则 所以 （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧；解 利用曲线的参数方程计算的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0则 =（4），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径；解 利用曲线的参数方程计算的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取，则 。（5），其中为从点到点的直线段；解 直线的方程为化成参数方程得，从变到。所以 。（6），为椭圆周且从轴正

4、方向看去，取顺时针方向。解 的参数方程为，从变到， 。 3 设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。 解 因为力 所以。 习题9.31. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；）解 。(2) 圆，（）； 解 设圆的参数方程为,从变到.那么 。（3）双纽线，（）。解 把双纽线的参数方程代入到公式即可求得所要求的面积。2 利用格林公式计算下列曲线积分:(1) ，其中是圆，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线所围成闭区域为，这里，由格林公式，得 。(2) ，其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。解 令，则，且线段，由1变化到-1，故有 其

5、中为所围成的闭区域(3) ，其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧；解 如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为 ，从变到。则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令，由格林公式，得 。而 ，故 。(4) ，其中为椭圆，取逆时针方向；解 令，则当时，但积分曲线所围区域包含点，在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:，使位于的内部，如图右所示的参数方程为，取逆时针方向于是 ， 其中表示的负方向由格林公式则有 ，其中为与所围成的闭区域故 (5) ，其中，为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数。解 由于，其中是在曲线上点处的切线的方向角，故

6、根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有 因为为圆周，所以所围成的圆的面积，因此 。3 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值: (1) ；解 令，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。(2) ；解 令，则在整个面内恒成立，因此，在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。（3），其中和为连续函数。解 令，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有 。4 验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个：（1）；解

7、令， 原式在全平面上为某一函数的全微分，取，=（2）；解 因为，所以在整个面内恒成立，因此，：在整个面内，是某一函数的全微分，即有。于是就有 （4） （5）由（4）式得 （6）将（6）式代入（5）式，得 （7）比较（7）式两边，得 于是 （其中是任意常数）代入（6）式便得所求的函数为 。（3）。解 令，则在全平面上有，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，是全微分 下面用三种方法来求原函数：解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图910所示，可取定点，动点与，于是原函数为取路径: ，得 解法2 从定义出发，设原函数为，则有，两边对积分（此时看作参数），得 （*）待定函数作为对积分时的任意

8、常数，上式两边对求偏导，又，于是，即 ，从而 （为任意常数），代入（*）式，得原函数5 可微函数应满足什么条件时，曲线积分与路径无关？解 令，则，。当，即或在整个面内恒成立时，曲线积分在整个面内与路径无关。 习题9.41 当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?答 当为面内的一个闭区域时，在面上的投影就是，于是有 。2 计算曲面积分，其中是（1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；解 锥面与平面的交线为，即锥面在面上的投影区域为圆域。而，因此 。（2）面上的直线段 绕轴旋转一周所得到的旋转曲面。解 旋转曲面为，故 ，所以，其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于

9、是 。3 计算下列曲面积分:(1) ，其中是抛物面在面上方的部分：,；解 抛物面在面上方的部分在面上的投影为圆域,故 .(2) ，其中是上半球面,；解 上半球面在面上的投影为圆域, ,故 .（3），其中为平面在第一卦限的部分；解 将曲面的方程改写为，则,，从而，图912在上的投影区域为,故 （4），其中是柱面被平面所截得的部分.解 将曲面分成丙个曲面:和，在面上的投影区域都为,先算.由于,，从而，.同理可求得.所以 .4 求抛物面壳（）的质量，此壳的密度为。 解 在抛物面壳（）上取一小块微小曲面,其质量整个抛物面壳的质量为.在面上的投影为圆域,故 . 习题9.51当为面内的一个闭区域时,曲面积

10、分与二重积分有什么关系?答 当为面内的一个闭区域时, 的方程为。若在面上的投影区域为，那么，当取上侧时，上式右端取正号; 当取下侧时，上式右端取负号。2 计算下列对坐标的曲面积分:(1) ，其中是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；解 把分成下面六个部分:的上侧； 的下侧； 的前侧； 的后侧； 的右侧；的左侧. 因为除处,其余四片曲面在面上的投影都为零,故有；同理可得；.于是所求的曲面积分为.（2），其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧。解 由两类曲面积分之间的联系，可得，在曲面上，有。故。再依对坐标的曲面积分的计算方法，得。注意到，故。（3），其中为，的上侧；解 在面上的投影为半

11、圆域，= =由对称性 =，= 原式=（4），其中是由平面，所围成的四面体的表面的外侧。解 如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以取下侧，取后侧，取左侧，取上侧。于是 由于，和都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故。3 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，这里为平面在第一卦限的部分的上侧。解 平面的上侧的法向量为，其方向余弦是于是 习题9.61 利用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中为柱面及平面及所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。（高等数学P170 例1）解 这里，由高斯公式得。（2），其中为曲面及平面所围成的空间区域的整个边界的外侧。解 这里，用高斯公式来计算，得 ，其中是曲面及平面

12、所围成的空间闭区域（3） ，其中为锥面介于平面之间的部分的下侧，是在点处的法向量的方向余弦。解 这里，由高斯公式得。2 利用高斯公式计算三重积分，其中是由，及所确定的空间闭区域。 解 如下图所示，的边界由闭曲面所围成，取的外侧。令,那么由高斯公式得 。在面上，只有和的投影面积不为零，其它都为零。故 ，而，故。同理可得 ，。所以。3 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中为平面与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面上侧的法向量之间符合右手规则；解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上侧。由曲面积分的计算法，得，故 。（2），其中为以点为顶点的三角形沿的方向。解 由斯托克斯公式得 其

13、中是平面，取上侧。由曲面积分的计算法，得，故 。 习题9.71 若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量。）解法1 设球面方程为，定直径选在轴，依题意，球面上点的密度为，从而球面的质量为由对称性可知，其中为上半球面，故 ，其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得 =，是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得，故。 解法2 设球面方程为，定直径在轴上，依题意得球面上点的密度为，从而得球面的质量为，由轮换对称性可知：，故有 2 设某流体的流速为，求单位时间内从圆柱：（）的内部流向外侧的流量（通量）。 解 通量 。 3 求向量场的散度。 解

14、 这里，故 v 。 4 求向量场A ijk （为常数）沿有向闭曲线（从轴的正向看依逆时针方向）的环流量。 解 设所求的环流量,则其中的参数方程为于是。复 习 题 A一、 选择题1设是从原点沿折线至点的折线段,则曲线积分等于（ C ） A B C D 2若微分为全微分，则等于（ B ） A B C D 3空间曲线的弧长等于（ D ） A B C D 4设为上半球面，为在第一卦限的部分，则下列等式正确的是（ D ） A B C D 5设为球面的外侧，则积分等于（ A ） A B C D二、 填空题1设曲线为圆周,则2设为任意一条分段光滑的闭曲线，则曲线积分 3设是以原点为球心,为半径的球面,则4设

15、为球面的下半部分的下侧,则曲面积分 5向量场的旋度三、计算题 1计算其中为抛物线和直线所围成的闭曲线；解设，其中，于是。2计算,其中为右半圆以点为起点,点为终点的一段有向弧；解法 设曲线的参数方程为，其中从变到，故。解法2 作有向线段，其方程为，其中从变到，则有向曲线与有向线段构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为，由格林公式，有，即，而，故。3计算,其中为平面在第一卦限中的部分；解 将曲面投影到面上，得投影区域为，此时曲面方程可表示为，于是，。4. 计算,其中是球面的上半部分并取外侧；解 作有向曲面，并取下侧，设两曲面和所围成的闭区域为，由高斯公式，得。5验证：在整个面内, 是某

16、一函数的全微分,并求出一个这样的函数.。 解 因为,所以在整个面内恒成立,因此,在整个面内, 是某一函数的全微分,即有.于是就有 （1） （2）由（1）式得 （3）其中是以为自变量的一元函数，将（3）式代入（2）式,得 （4）比较（4）式两边,得 于是 （其中是任意常数）,代入（3）式便得所求的函数为.四、计算曲线积分,其中为闭曲线，若从轴正向看去,取逆时针方向.解 曲线的参数方程为 从变到，于是 。五、计算曲面积分,其中是线段绕轴旋转一周所得的旋转曲面 解 的方程为，在面上的投影区域为，且，。六、计算曲面积分,其中为上的抛物线绕轴旋转一周所得的旋转曲面介于和之间的部分的下侧解 的方程为，取下

17、侧。作有向曲面，并取上侧，设两曲面和所围成的闭区域为，由高斯公式，得，这里。七、设一段锥面螺线上任一点处的线密度函数为,求它的质量解 依题意，锥面螺线在点处的线密度函数为，故锥面螺线的质量为 。八、设具有一阶连续导数,积分在右半平面内与路径无关,试求满足条件的函数解 令，依题意，有，即，故，其中是任意常数。再由条件可得，故为所求的函数。九、设空间区闭域由曲面与平面围成,其中为正常数,记表面的外侧为,的体积为,证明： 证明 这里，由高斯公式得 。另一方面，（或）在面上的投影区域为，故，所以。复 习 题 B一、填空题 1设的方程,则2设为正向圆周，则曲线积分的值为3设是曲面介于和之间的部分,则曲面

18、积分的值为4设是由锥面与半球面围成的空间闭区域,是的整个边界的外侧,则5设, 则矢量场通过曲面上半部分的流量二、计算题1设空间曲线为曲面与的交线，（1）若曲线的线密度为，试计算曲线的质量; 解: 显然，曲线是空间圆，由曲线的方程消去，得到曲线在面上的捕风投影是椭圆，其参数方程为 其中。故 (2) 计算解: 同理可算得， ，故 。2计算, 其中为椭圆,其周长为 解: 。3计算,其中为正的常数,为从点沿曲线到点的弧解 .4计算曲面积分,其中是圆柱面介于平面 与之间的部分.解：将分成两部分，即 ，则, 且和在面上的投影区域都为，于是.5计算曲面积分,其中是球面的外侧解：，再利用高斯公式可求得.三确定

19、常数,使在右半平面上的向量 为某二元函数的梯度,并求解: 依题意，有由，得。故 ，由此可得.四、计算,其中为曲面的上侧解: 令则，于是，。为了应用高斯公式，补充两个曲面 以原点为球心，1为半径的上半球面的下侧，介于圆和椭圆之间，取下侧，在所围成的空间闭区域上应用高斯公式，得 ，而，对积分，再补充一个曲面，这里，取上侧，则围成一个空间闭区域，设其为，在上应用高斯公式，得 ，故 。五、设具有二阶连续偏导数,是闭曲面的外法线向量, 所围成的闭区域为,试证明证明：令，则方向导数 ，而 ，于是由高斯公式，得 。六、设曲面为球面,试证明.证明：显然有，球面与平面相切于点并且球面在该平面的上方，即球面上的点都满足，故根据第一类曲面积分的计算方法有。