华中数学分析历年考研真题.doc

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1、华中师范大学数学分析考研真题以上是01年数分2003年数学分析（综合卷）1.(16)求下列极限：(1). (2)在上连续，恒不为0，求2.(15)设在上二阶可导,过点与的直线与曲线相较于,其中,证明:在中至少存在一点,使.3.(15) 证明:在上一致收敛.4.(15) 设是上的函数序列,满足对每一个导函数存在并且满足下列条件:(1)存在某一个,使收敛；(2)导函数列在上一致收敛. 证明: 在上一致收敛.5.(14)设在上可导,其导函数在可积,对任意的自然数.记 , 证明:.2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分) (1) (2) (3) (4)2

2、.(15)设在上连续,在内可导,若是在区间上的两个零点，证明：存在，使得3.(15)设在上连续,在内可导,证明:在内存在使.4.(15)设在上黎曼可积,证明:在上也是黎曼可积的.5.(15)在上连续,函数在上也连续,且对中任意的和正整数,有(),证明:.6.(15)设()在上连续,且在上一致收敛与.证明:(1)存在,使对任何自然数,有. (2)若为上连续函数,则一致收敛于.7.(10)设函数在闭区间上具有三阶连续导数,且,证明:在内至少存在一点,使得.8.(15)函数在点的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且,证明:由方程确定的隐函数在点取得极小值.2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:

3、(1)(10分) (2)(10分) (3)(10分) (4)设在的邻域二阶可导,且,求的值.(15分)2.(15)设函数在上可导,且在上,证明:存在.3.(15)设函数在上有连续的一阶导函数,且,证明：.4.(13)设有方程.若证明:收敛; 设,再证明是方程的唯一解.5.(13)证明:函数项级数在任何有穷区间上一致收敛.6.(13)设在上二阶可导,且,证明:.7.(13)设均为常数,证明:函数项级数在上一致收敛.8.(13)设在上黎曼可积，用可积准则证明：函数在上黎曼可积.9.(10)设在上具有连续的二阶导数,证明:在内存在,使得2006年数学分析1.(30) (1). (2) 设,求. (3

4、) . (4)设,求. (5),其中. (6) 求,其中是从点到点的正弦曲线有.2.(20)设在上可导,且在上有界,证明:(1) 在上一致连续. (2).(3)若存在，且，则在上至少有一个零点。3.(20)设在上连续,(1)证明: 存在,使得.(2)试推测|:对任意正整数,是否存在,使得,并证明你的结论.4.(10)设在上连续,且,记, (1)求. (2)证明:在上是严格单调递增.5.(10)证明: 若绝对收敛,则也绝对收敛.6.(15)设在上连续,证明: (1)上不一致收敛. (2)上一致收敛的充要条件是.7.(10)设为上的次齐次函数:对,且具有一阶连续偏导数,若方程确定了可微的隐函数,证

5、明:必为一次齐次函数.8,(20)设上具有二阶连续的偏导数,证明:(1)对内任意光滑简单闭曲线L，总有，其中为L的外法方向，是沿的方向导数，D是L围成的有界闭区域; (2)为是的调和函数（即）的充要条件是对内的任意光滑简单闭曲线L，总有.9.(15)设是正整数,给定方程,证明: (1)此方程仅有惟一的正根. (2).2007年数学分析1.(30) 计算题: (1) . (2) 设,求. (3) .(4)设可微,且,令,求. (5),其中.(6) 求,其中是从点到点的下半圆周.2.(25)设在上可导,且在上有界,证明: (1)在上一致连续. (2)存在.(3)若将条件“在上有界”改为“和都存在”

6、,试问: 还能否推出在上一致连续.如果能请证明你的结论，如果不能请举反例. 3.(25)设在内4阶可导, (1) 证明:若和都存在,则.(2) 若和都存在,是否能推出对任意的正整数,都存在且为,请证明你的结论.4.(10)设在上连续,且(可以为或),试证:.5.(15)设,证明: 收敛收敛.6.(15)若单调递减,且,证明:(1) 在上一致收敛,其中. (2) 在上一致收敛的充要条件是收敛.7.(15)设是由方程组所确定的二阶连续可微隐函数,其中有二阶连续的导数,证明:.8.(15)设上具有二阶连续的偏导数,证明:(1)对内任意光滑简单闭曲面,总有,其中为的外法方向,是沿的方向导数,是围成的有

7、界闭区域; (2) 为是的调和函数（即）的充要条件是对内的任意光滑简单闭曲线，总有.2008年数学分析1.(36)计算题: (1) (2) (3) 求曲线积分,其中为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线.2.(15)设函数在上具有连续的导函数,且存在有限,是一个常数,证明:在上一致连续.3.(15)设和在上连续且在内可导,试证:在内存在点,使得.4.(20)证明:函数项级数在上收敛,但不一致收敛,而和函数在上可以任意次求导.5.(20)证明:方程在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数,并计算的值.6.(14)证明:若函数在上无界,则必存在上的某点,使得在该点的任何邻域内无界.7.(12

8、)设函数在上连续可微且,试证:(1)存在中的子列使得当时, 且(2)存在某常数,使得8.(18)设为有界闭区域,且具有光滑边界.(1)设是上具有连续二阶偏导数的函数,试证:,其中,为的梯度, 为沿区域的边界的外法向的方向导数;(2)设在上具有连续一阶偏导数,试证:;(3)设在上具有连续二阶偏导数且满足若在上恒为零记,试证在上是减函数.2009年数学分析1.(30)计算题: (1) (2) 计算二重积分,其中是由围成的区域.(3) 求曲线积分其中为平面内任意一条不经过点得正向光滑封闭简单曲线2.(12)设函数定义在开区间内,若对任意的,都有存在,且和也存在，则在开区间内有界.3.(12)证明:含

9、参量反常积分在上一致收敛,但在内不一致收敛.4.(20)设函数在上连续,在内可微,且存在,使得,证明: (1) 在内一致连续. (2)存在.5.(20)证明下面结论: (1)若在上连续,则. (2)若在上连续可微,则.6.(18)设,讨论在原点处的连续性,偏导的存在性以及可微性.7.(20)设函数列中的每一项函数都是上的单调函数,试证明:(1)若和都绝对收敛,则在上一致收敛.(2)若每一项函数的单调性相同,且和都收敛，则在上一致收敛.8.(18)设连续,证明:(1)证明:,其中.(2)记函数,其中,证明:球面为函数的等值面,即在球面上恒为常数,并求出此常数.2010年数学分析1.(30)计算题

10、: (1)设函数定义在上,满足:,求. (2) 设,求的值.(3) 求曲线积分,其中为平面与球面相交的交线,方向从轴正向看是逆时针的.2.(12)设,证明:当时, 在上一致连续; 当时, 在上不一致连续.3.(12)证明:含参量反常积分在上一致收敛,但在内不一致收敛.4.(20)函数在上连续,在内二阶可导,且过点和的直线与曲线相交于点(),证明:存在,使得.5.(20)设可微函数列在上逐点收敛,且对任意存在的邻域,使得在上一致有界,证明:(1)在上一致有界. (2)在上一致收敛.6.(20)设,讨论在原点处的连续性,偏导的存在性以及可微性.7.(20)已知是上的正值连续函数,且,证明:(1)存在数列满足:严格单调递增,. (2) .8.(16)已知和在上具有二阶连续的偏导数,记(1)证明:,其中表示的外法线方向,为球面.(2)若,试计算:.