同济六版高数练习册答案第九章重积分.doc

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1、第九章 重积分1二重积分的概念与性质1 根据重积分的性质，比较下列积分的大小.与，其中积分区域是：(1)以，为顶点的三角形区域；解：在以，为顶点的三角形区域内显然有故在三角形区域内即，351故 (2)矩形区域：.解：矩形区域：内显然有故在矩形区域内即，故2利用二重积分的性质，估计下列积分的值.（1），其中是矩形区域：；解：在矩形区域：内，故，即：得（2），其中.解：在中，即得2 设是平面上有界闭区域，在上连续。证明若在上非负，且，则在上证明：若不恒为零，则不妨设有内点使得，由在连续得，故对，存在的某个领域，使得有即在上。故其中为的面积。这与矛盾，故在上2 二重积分的计算1画出下列积分区域的草图

2、，并将区域分别用不等式表示为型区域以及型区域的形式.1-1（1）由直线：围成；型区域2型区域（2）由曲线围成；型区域1212型区域（3）由围成；型区域,型区域（4）.X-型区域； Y-型区域，其中，2计算下列二重积分（1），由，所围成；解：法一。法二11-11-1（2），；解：311-1（3），由曲线与所围成；解：法二：关于轴对称，函数即关于是偶函数。故，其中（4）， .解： 记住公式：（5），由，和所围成；12解：；3化二重积分为两种不同积分次序的二次积分，其中积分区域为：44（1）由所围成的闭区域；型区域，故=型区域，故=（2）由轴及上半圆周所围成的闭区域；型区域，故=型区域，故=（3）环

3、形闭区域：.型区域故=型区域故=11（的极坐标为故）4计算下列二次积分（1）；解：设，则124（2）.解：设，则125改变下列二次积分的积分次序.（1）；解：设=（2）642解：设=6如果二重积分的被积函数能分解为的函数与的函数的乘积，即，且积分区域为矩形区域：，证明二重积分等于两个定积分的乘积，即证明：.7把二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域分别为：4（1）；解：区域的极坐标表示为：。故=（2）；1解：区域的极坐标表示为：。故=（3）.解：区域的极坐标表示为：。故=8计算下列二重积分(1)，其中是圆域在第一象限部分；分析用极坐标表示简单，且被积函数为的函数，选择极坐标计算。解：，

4、则 (2)，由曲线所围成的闭区域；分析：虽然积分区域是圆域，但这个圆域用极坐标表示较为困难。故直接用极坐标不方便。（采用换元法）解：令则，其中由曲线所围成的闭区域。法一：利用对称性法二：利用极坐标(3)，其中是由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域.解：，则9选择适当的坐标计算下列各题：1212（1），其中是由直线及曲线所围成的闭区域；解：将写成型区域，则（2），由曲线以及直线围成；解：关于轴对称，且被积函数关于是奇函数，故。（注意：若写成极坐标为1-122）（3），为矩形区域：；（提示考虑在定义域中添加辅助曲线，去除绝对值号）解：D1D2aa计算，令令故10设在上连续，证明： （提示：利用

5、积分的性质和题6的结论）证明： 其中是如图的正方形区域， (最后一个等式是根据定积分与积分记号无关)故（注：的证明设，同理：，故）11设为上的连续函数，且，证明：.（提示：利用定积分与积分变量的符号无关以及不等式）证明：由有其中，又（根据定积分与积分记号无关）则3 三重积分的计算1 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（用求围定顶法时，最好结合图形）（1） 由双曲抛物面及平面所围成的闭区域.分析：（若用求围定顶法）在面围不成闭区域，又则在面围成闭区域，故这个区域就是围，自然顶为解故=（2） 由曲面及平面所围成的闭区域；分析：（若用求围定顶法），在面围成闭区域，故这个区域就是围，自然顶为。

6、是上半圆锥解故=（3） 由曲面及所围成的闭区域；分析：（若用求围定顶法），在面椭圆围成闭区域，故这个区域就是围，在时，故顶为。解故（4） 由曲面，所围成的在第一卦限内的闭区域.分析，在面围成闭区域，故这个区域在第一卦限的区域就是围，自然顶为解故2 计算下列三重积分：（1），是以（0，0，0），（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）为顶点的四面体；解：点（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）确定的平面为（2），是由曲面与平面和所围成的闭区域；分析：在面不围成闭区域，又，则在面围成闭区域，它就是围。显然为顶解：，故（3），为第一卦限内的球面及三个坐标面所围成的闭区域；分析：若采用球

7、坐标被积函数在球坐标下表达式复杂，由与区域朝投影的投影区域用极坐标表示简单，故对三重积分可采用柱坐标。由，故极坐标为解：的采用柱坐标为，又故（4），是由平面以及抛物柱面所围成的闭区域；（提示：此题积分区域不易画出，可根据给定区域的边界曲面方程，直接确定积分变量的上、下限.若先对变量积分，与有关的曲面为和，故，其它变量类似.）分析：，在在面围成闭区域，故该闭区域是围，显然为顶解：，故：（最后一个等号利用定积分的对称性）（5），是由锥面与平面所围成的闭区域.分析：被积函数仅是的函数，且是圆域。故采用先二后一的方法。解：是型， 其中是圆域的面积3如果三重积分的被积函数能分解为的函数、的函数以及的函数

8、的乘积，即，且积分区域为长方体：，证明三重积分等于三个定积分的乘积，即 证明：由为长方体：，4利用柱面坐标计算下列三重积分：（1），是由曲面及所围成的闭区域；分析：由，即围成的区域是围，顶为由：可得的柱坐标：。解：的柱坐标： ，又由得=（2），是由曲面及平面所围成的闭区域.分析：由，即围成的区域是围，顶为由：可得的柱坐标：解：的柱坐标：，又得5利用球面坐标计算下列三重积分（1），是由曲面所围成的闭区域；解：由，的球坐标为，得（2），是由和，所围成的闭区域.解：由，的球坐标为，得6选用适当的坐标计算下列三重积分（1），为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域；解： 的柱坐标：，由：得故：（2），

9、是由与所围成的闭区域；解：（3）；（提示：可考虑利用三重积分的对称性）接：关于面对称，被积函数，即关于是奇函数。故4 重积分的应用1 利用三重积分，计算下列曲面所围成的立体的体积：（1）及；解：由得，即，故在面投影为：，故（2）及；解：由得，即，故在面投影为：故（3）及；解：由得，即，故在面投影为：，故（4），及.解：是以为顶以为底的曲顶柱体。2：在半径为的球上打一半径为的圆柱形穿心孔，孔中心轴为球直径，求穿孔后球体剩余部分的体积.设孔壁高为，证明此体积仅与的值有关.（提示：先建立空间直角坐标系.）解：以球心为原点，三条相互垂直的直径所在直线为坐标轴。设挖掉部分的体积为，记，则又，故， 所以剩

10、余部分体积，仅与高度有关。3求下列曲面的面积.（1） 球面含在柱面内部的曲面面积；解：设球面含在柱面在上面部分为，则，其中是面上所围区域。=，故（2） 锥面被柱面所割下部分的曲面面积；解：由得，故锥面被柱面所割下部分的曲面记为投影为在围成区域记为，即。故（3） 底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.Dy = 0x SS= 0RRxz y0解：在第一卦限显然，故，其中，为在所围区域在第一卦限部分。4：求平面图形的形心，其中：.（注意是椭圆的第一卦限部分）解：5设密度为的均匀薄片所占区域为，求转动惯量.，其中为区域的第一卦限部分6：密度为的均匀物体占有的闭区域由曲面和平面所围成.（1）

11、求物体的体积；（2） 求物体的重心；（3） 求物体关于轴的转动惯量.解：（1）闭区域是以曲面为顶，以区域为底的曲顶柱体，其中由在围成。故（2）由对称性可知道。（3）第九章 自测题1设把化为极坐标形式的二次积分.解：（这里理解为两个圆域的公共部分）2交换积分顺序：（1）；解：记，故（2）.解：记，故3证明：（提示：交换积分次序.）证明：记，。故：=4设是有界闭区域上的连续函数，求的极限.（提示：在极坐标系下，将积分 转化为关于的积分变限函数，再利用洛必达法则.）解：=5由与围成的闭区域，计算. (提示：利用对称性可简化计算.)解：关于面和面对称，故=（其中为在平面上 所围区域）6计算三次积分解：记，则=7求曲面上点（1，1，3）处的切平面与曲面所围立体的体积.解：曲面上点（1，1，3）处的法向量为（2，2，-1），故切平面为由得，故在投影为在所围区域记为的顶为，故=令则变为，其中由在围成8设，是第一卦限中满足的有界闭区域，试讨论时的极限，有极限时，求出极限.（提示：在球坐标系下，先计算出三重积分，再讨论极限.）解：由，得故当时，；当时，9设连续，函数其中及，求.（提示：在球坐标系下，先将三重积分转化为关于的积分变限函数，再求极限.）解：由，得：