含参数不等式恒成立问题的解题策略.doc

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1、含参数不等式恒成立问题的解题策略一：分离参数，转化为求函数最值法例1（2008安徽高考理20）设函数f(x)= 求函数f(x)的单调区间 已知对任意的x(0,1)成立，求实数a的取值范围.解：略，易知f(x)的单调增区间为（0，）,单调减区间为（，1）和（1，）对两边取自然对数，得ln2alnx两边同时除以lnx，分离出参数a，得a（）由知,当0x-eln2即可保证原式恒成立.所以实数a的取值范围是（eln2,+ ）例2：（2008上海理19）已知函数f(x)2x-若f(x)=2 求x的值若2tf(2t)+mf(t)0对t1,2恒成立，求实数m的取值范围.解：略当t1,2时，原不等式等价于 即

2、2t（2t+对t1,2恒成立m（22t+1）对t1,2恒成立t1,2 -(22t+1) -17,5m5 所以实数m的取值范围是5，二：分离参数，转化为求函数确界法.例3已知函数f(x)=x3- x2+ax+b在区间（0,1上单调递增，求实数a的取值范围.解：依题意知：f(x)=3x2-ax+a0在区间（0,1上恒成立.即a(x-1) 3x2在（0,1上恒成立.当x=1时，上式恒成立.当x1时，a在（0，1）内恒成立（*）设g(x)=显然函数g(x)在（0,1）内不存在最大值，但存在上确界M上0a0即可保证（*）式恒成立，所以a的取值范围是0，）注：若函数f(x)在开区间（m,n）内无最大值，但

3、有上确界M上，则g(a)f(x)在（m,n）内恒成立g(a)M上g(a) f(x)在（m,n）内恒成立g(a)M上若函数f(x)在开区间（m,n）内无最小值，但有下确界M下，则g(a)f(x)在（m,n）内恒成立g(a)M下g(a) f(x)在（m,n）内恒成立g(a)M下三:不分离参数，直接求最值法例4.（2008江苏14）设函数f(x)=ax3-3x+1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x) 0成立，求实数a的值。解：由题意知：对任意x1,1，f(x)min0（I）当a0时，f(x)=3ax2-30,f(x)在1,1上单调递减，f(x)minf(1)=a-20a2(与题设矛盾)不符合题

4、意。（）当a0时由f(x)=0得x=易知当x（，）、（，）时，f(x)0，f(x)单调递增，当x（，）时，f(x)0，f(x)单调递减。当时，f(x)在1,1上的最小值是f(-1)或f(),则即可， a=4当时，f(x)在1,1上的最小值是f(1),则f(1)0即可. a2.与矛盾，舍去。所以a的值是4四：逐层推进，逐步减元法例5（2008天津高考理20）已知函数f(x)=x+b(x0),其中a,bR若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1, 求函数f(x)的解析式.讨论函数f(x)的单调性.若对于任意的实数a,2，不等式f(x)10在,1上恒成立，求b的取值范围.解

5、：、略首先，若对任意的实数a,2，不等式f(x)10恒成立，也就是g(a)=a+x+b10恒成立0，g(a)max=g(2)= 对任意的x,1恒成立即可又x,1，h(x)= 的最大值是h()=8+b8+b即可 b所以实数b的取值范围是（，五：数形结合，直观求解法例6（2008年全国卷I理20）已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,aR讨论f(x)的单调区间设函数f(x)在区间（，）内是减函数，求a的取值范围.解：略依题意知：f(x)0在（，）内恒成立.即3x2+2ax+10在区间（，）内恒成立.（）设g(x)=3x2+2ax+1，由g(x)的图像可知：则即可保证（）式恒成立.解之，得a2所以

6、，实数a的取值是2，）六变更主元，反客为主法例7(2008安徽文20) 已知函数f(x)=x3-x2+(a+1)x+1,其中a为实数.已知f(x)在x=1处取得极值，求a的值；已知不等式f(x)x2-x-a+1对任意的a(0，+)都成立，求实数x的取值范围.解：过程略a=1由题设知：ax2-3x+(a+1)x2-x-a+1对任意a(0，+)都成立.即a(x2+2)-x2-2x0对任意a(0，+)都成立.设g(a)=(x2+2)a-x2-2xg(a)关于a单调递增对任意a(0，+),g(a)0恒成立g(0)0即-x2-2x0 -2x0所以x的取值范围是x|-2x0七：函数比较，单调性法此策略是针

7、对两函数f(x)、g(x)比较大小恒成立时所采用的.若f(x)在m,n上单调递减，g(x)在m,n上单调递增，则f(x)g(x)在m,n上恒成立f(x)ming(x)max.（若f(x)在m,n上单调递增，g(x)在m,n上单调递减,则f(x)g(x)在m,n上恒成立f(x) maxg(x) min例8：已知a-1，若x2-2lnx2ax-在（0，1上恒成立，求实数a的取值范围.解：设f(x)x2-2mx，g(x)2axf(x)f(x)在（0，1上单调递减，g(x)在（0，1上单调递增.f(x)min=f(1)=1，g(x)max=g(1)=2a-1则f(x)g(x)在（0，1上恒成立，等价于

8、12a-1-1a1.所以a的取值范围是（1,1注：若f(x)、g(x)不具有题设的单调性，则f(x)ming(x)max，只是f(x) g(x)的充分不必要条件，这时往往将原不等式转化为h(x)=f(x)-g(x) 0,再根据题目特征，寻找解题策略.八：二次函数判别式法例9已知函数f(x)=x3+(a-2)x2-9x+5在R上单调递减，求实数a的取值范围.解：依题意知f(x)=ax2+2(a-2)x-90在R上恒成立 -4a-1所以a的取值范围是（4，1）九：对参数分类讨论法例10（2007全国I理20）设函数f(x)=ex-e-x证明：f(x)的导函数f(x) 2若对所有x0都有f(x) a

9、x,求实数a的取值范围解：略设g(x)=f(x)-ax,则g(x)=f(x)-a=exe-x-a()若a2，则g(x) 0 g(x)在（0，）上为增函数，x0 g(x) g(0)=0 f(x) ax恒成立()若a2由g(x)=0 得x1=ln此时当x（0，x1）时，g(x)0,故g(x)在该区间为减函数x（0，x1）时，g(x)g(0)=0,即f(x)ax.这与题设矛盾.综上a2，所以a的取值范围是（，2十:数列问题函数法由于数列是特殊的函数，因此，含参数的数列不等式中恒成立问题，可以类比函数不等式恒成立的解题策略去解决.例11（2008湖南理21）已知f(x)ln2(1+x)-求函数f(x)的单调区间若不等式（1）n+ae对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值.解：略不等式（1）n+ae（n+a）ln(1+) 1a-n对任意的nN*恒成立设G(x)= -, x（0,1，则G(x)=+=由知ln2(1+x)-0,即（1x）ln2(1+x)-x20G(x)0 ,x（0,1G(x)在（0,1上单调递减G(x)minG（1）1a1所以a的最大值是-1