多元函数微分学测试题.doc

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1、1、填空题 1）。2）设，则。3）已知，则。 4）函数在点处的剃度为。5）已知在点沿从点到点方向的方向导数是。6）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线方程为。2、解下列各题 1）已知，其中为可微函数，求。 解：方程两边微分得 2）设，其中均为二阶可微函数，求。解： 3）设函数有连续的偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式，将变化为下的表达式解： 因为，所以 。4）已知，其中均为可微函数，求。解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得消去可得5）设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。解：设 ，如图容易看出与正方向的夹角为钝角，其轴坐标为负，所以 ， 6）设是由方程

2、所确定的函数，其中可导，求。解：方程两边微分得7）设，求。解：方程两边关于求导得3、在椭球面上找一点，使过该点的切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为化成截距式方程此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点 得由此得，所以当时，有最小体积，最小体积为。4、设1）求；2）是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由。解：1）当时， 当时， 2）考虑 当时，不存在，所以在原点不连续； 同理可得在原点不连续。 又因为 （有界量与无穷小的积还是无穷小），所以在原点可微。5、已知为常数，且，求证：证明：设，此问题变为求函数满足条件的最大值，其中都大于或等于零。考虑函数解此方程组可得所以所求最大值为及有时，。方法二、求在内的最大值。方法三、利用均值不等式。