数列极限归纳法练习题(教师).doc

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1、数列 极限 归纳法练习题（教师版）1， . 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2（2005春季9）设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列；（3）若，则是等比数列. 这些命题中，真命题的序号是 . （1）、（2）、（3）3（2005春季12）已知函数，数列的通项公式是（），当取得最小值时， . 1104（2005年70）计算：=_。解答：=35（2005年12）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么

2、，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_。解答：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，6（2006春季1）计算： . 7（2006春季12）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）.和8（2006年4）计算： ；解：；9（2007春季1）计算 . 10（2007年15）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”那么，下列命题总成立的是 （D） 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当

3、时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 若成立，则当时，均有成立 11（2008春季2）计算： 12（2008春季5）已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则 13（2008春季9）已知无穷数列前项和，则数列的各项和为 14（2008春季11）已知；（是正整数），令，. 某人用右图分析得到恒等式：，则 .二解答题：解答下列各题必须写出必要的步骤.15（2005春季20）(14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （

4、1）分别求2005年底和2006年底的住房面积； （2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 解（1）2005年底的住房面积为：（万平方米）, 2006年底的住房面积为： （万平方米） 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. 6分（2）2024年底的住房面积为： 10分 （万平方米） 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. 14分16（2005年20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今

5、后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则 令 即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08， 则bn=400(1.08)n1由题意可知

6、 有250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.17（2006春季22） (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什

7、么样的结论？ 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 当时，. 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 18分18（2006年21）（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（

8、2）中的数列满足不等式|4，求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a；2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.19（2007春

9、季21） (18分)第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分. 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. 第1列第2列第3列第列第1行1111第2行第3行第行 (1) 设第2行的数依次为，试用表示的值； (2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）. 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能找到，m的值

10、有多少个？若不能找到，说明理由. 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.解 (1) ， 所以 . 4分 (2) ， 7分 由 ，得 . 10分 (3) 选择第（ ）问.先设成等比数列，由，得 ， . 此时 ，所以是一个公比为的等比数列. 13分 如果，为等比数列，那么一定是等比数列. 由上所述，此时， 由于， 因此，对于任意，一定不是等比数列. 16分 综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列. 18分 设和分别为第列和第列的前三项，则，. 13分若第列的前三项是等比数列，则由，得 ， ， . 16分 同理，若第列的前三项是等比数列，则

11、.当时，.所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列. 1820（2007年20）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值； （3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；

12、当时，求其中一个“对称数列”前项的和解：（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2） ， ， 当时，取得最大值 的最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时，21（2008春季21）(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.（1） 判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为点列，正整数满足，求证： .解（1） ，显然有，是点列. 3分（2）在中， . 5分 点在点的右上方， 为点列， ，则. 为钝角， 为钝角三角形. 8分（3）证明 ， . . 同理. 12分 由于为点列，于是， 由、可推得， 15分 ， 即 . 16分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m