《行程问题解析》word版.doc

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1、，行程问题从运动形式上分可以分为五大类： 五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。 下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识

2、架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。1. 直线上的相遇与追及 上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是和与差：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公

3、式，即使题目的背景是相遇。 例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题） 思路解析本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件两车在离两地中点32千米处相遇这句话中。大家不妨自己动手试着做一做。 除了像刚才例题1那样一次性的追及与相遇过程外，还有很多相遇与追及问题是在往返过程中多次发生的。下面就是一道这样的例题：例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的

4、速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006年小升初考题）思路解析相遇次数与两人的路程和有关如下图所示直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基石只要是两个物体在同时运动，它们之间的关系一般都可以表示为相遇或追及而众多丰富多彩、妙趣横生的行程过程，均是以此为蓝本而展开的 2. 火车过人、过桥与错车问题在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物

5、体长度相关。就拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从车头上桥开始到车尾下桥结束，对应的路程就等于车长 桥长；如果题目考察的是火车停留在桥上的过程，那就应该从车尾上桥到车头下桥结束。对应的路程就应该是火车车长 桥长.具体如下所示： 例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与货车从相遇到离开所用的时间。（仁华学校2005年五年级上学期期末考试试题） 思路解析本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。而这两者之间最关键的是

6、第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中的第三点利用和差倍分关系进行对比分析：250米的隧道比210米的隧道多40米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了 秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。大家不妨自己动手算算。 当然，火车问题并非只有火车，一个有长度的队列也是这类问题的常客。下面这道题目就是一个队列问题，有兴趣的同学不妨自己动手尝试一下。在必要时，还可以借助于方程进行求解。 例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学2008年小升初考题）

7、 3. 多个对象间的行程问题虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之间的关系，转化为与其它对象有关的结论。 例题5. 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008港澳数学奥林匹克公开赛试题） 思路解析本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人的路程和。这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只

8、要明白了这一路程的双重身份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。 4. 环形问题与时钟问题环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于周期性与对称性.这是由环形跑道本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意周期性与对称性在题目中的体现。 例题6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？（第十六届全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题） 思路解析本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像这种只给时间、求时间的问题，通常的做法就是设数。把路程或速

9、度这两个未知量中的某一个量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为6300米，接着便可求甲、乙两人的速度了。接下来的过程，大家不妨自己动手试一试。 例题7. 有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？（北京市第十一届迎春杯决赛试题） 思路解析时钟问题本质上说就是一个环形问题，只要给出合适的速度、路程、时间的表示，求解过程与一般环形问题没什么两样。大家不妨自己动手做一做。 5. 流水行船问题流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因素，船的速度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速

10、度有三种：逆水速度、静水速度、顺水速度。在分析流水行船问题时，一定要把水流的因素考虑到位，很多题目分析的关键本身就在水流上！ 例题8. 甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中学2003年小升初考题） 思路解析甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变

11、为顺流，此时两船行驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。 思路解析本题是一道环形跑道上的流水行船问题，是一道综合性很强的行程问题。本题的分析关键也在于速度，如果甲、乙两人的速度已知，那本题的求解就没有任何悬念了。因此，分析求解的重点就落在了甲、乙两人的速度上。大家只要注意到甲、乙的速度差恰好等于水速这一点，就不难进行分析了。大家不妨动手试试。 上述9道例题可以说只是小升初行程问题的一个掠影，虽然每一道都是其所在类别里最为典型的例题，但稍加变化都会变出来很多新的模样。而且，题目除了会在每一类中发生变化外，还会发生类与类之间的交叉与综合，不仅在运动形式上变

12、化多端，而且在分析方法上也是花样迭出。 但是，我们需要关心的绝对不是变化，而是在千变万化中不变的东西。行程问题固然变化多端，但无论怎么变，也逃不出本文一开始提到的那五大题型与四大方法，只是在题型上会更加综合，在题解上用到的方法会更多一些。但只要这五大题型和四大方法掌握好，题目再怎么综合、方法再怎么多，也一样是小菜一碟。1、 甲乙两人在相距120米的直路上来回跑步，甲 的速度为4米/秒， 乙的速度为5米/秒。 如果他们同时分别从两端出发，且每人跑10分钟，问他们相遇了多少次？ 解法1（4年 级的解法）：甲每30秒跑一个单程，乙每2 4秒跑一个单程，240秒后，甲跑了8个单程，乙跑了10个单程，这

13、时两人共相遇了9次（当120秒时，在端点相遇，看做2个单程相遇一次，共相遇 10-1=9次），并且各自回到出发点，我们可以看做每240秒一个周期。1060240=2个周期.120秒所以共相遇29+5=23次。解法2（用比例的知识来解 答）：甲乙的速度比=4：5，路程比等于速度比，当甲行8个单程时，乙行了10个单程，两人共相遇（10-1=9次）。10分 钟内甲共行了1065120=25个单程，2510=2（个周期）.5个单程所以共相遇29+5=23次解法3：此题的相遇次数分为迎 面相遇和追击相遇。迎面相遇：第一次相遇两人合走一个单程，用时120(5+4)=40/3秒，以后每两个单程迎面相遇一次，

14、用时40 /32=80/3秒。10分钟内迎面相遇(106-40/3)80/3+1=23次追击相遇：第一次追击相遇乙比甲多走一个单程，用时120(5-4)=120秒，以后乙比甲多走2个单程，就追击相遇 一次。10分钟内追击相遇(106-120)240+1=3次。但需要注意的是，如果在端点相遇，那么这次相遇在迎面相遇和追击相遇里都被计算了一次，应去掉重复（经 计算，共有3次端点相遇，时间分别是120秒 后，360秒后，600秒 后）。所以总相遇次数=迎面相遇次数+追 击相遇次数-端点相遇次数（去掉重复） =23+3-3 =23次 *2、甲,乙 两人在相距90米的直路上来回跑步.甲 的速度是每秒钟跑

15、3米,乙 的速度是每秒跑2米.如 果他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了10分 钟,那么在这段时间内,第 一个问:甲,乙 共相遇了多少次?第二个问:甲,乙 共迎面相遇了多少次?解法1(好数老师提供)：解法2：第一次迎面相遇两人合走1个单程，用时90/(3+2)=18秒。以后每合走2个全程，相遇一次，相遇时间为 18*2=36秒。10分钟内，两人共相遇(10*60-18)/36+1=17次。第一次追击相遇甲比乙多走1个全程，用时90/(3-2)=90秒。以后甲每追击2个单程，就相遇一次，相遇时间为 90*2=180秒。10分钟内共追击相遇(10*60-90)/180+1=3次。通过计算，这3次

16、都是在端点相遇。所以5分钟内，甲乙两人共相遇了17+3-3=17次。因为 有3次是在端点相遇，我们也算在了迎面相遇里，所以迎面相遇实际为17-3=14次。 解法3：甲乙的速度比是3：2，当甲游6个全程，乙游4个全程时，两人各自回到出发点，可以看做一个周期。在这个周期里 共相遇了5次。10分钟内甲（速度快）一共游了(10*60*3)/90=20个单程，20/6=3.2。一共有3个周期，共相遇了3*5+2=17 次。第2问 用这种方法我不会做。*3.两名游泳运动员在长为30米的 游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙 的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳 池的两端出发，来回共游了5分钟。

17、如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相 遇多少次?解法1： 解法2：这里的相遇分为迎面相遇和追击相遇，需要分类计算。迎面相遇：第一次，合走1个全程迎面相遇1次，用时30/(1+0.6)=18.75秒，以后每走2个全程相遇一次。相遇一次用时18.75*2=37.5秒。5分钟内共迎面相遇：(5*60-18.75)/37.5+1=8次。追击相遇：第一次，甲（速度快）追击1个全程与乙（速度慢）相遇一次，用时30/(1-0.6)=75秒，以后甲每追击2个全程与乙相遇一次，用时75*2=150秒。5分钟内共追击相遇：（5*60-75）/150+1=2次。需要注意：如果相遇点在游泳池的两端，那么这次相

18、遇在计算迎面相遇和追击相遇时都加了一次，所以应该去掉重复，有在端点 相遇几次，就减几。追击相遇里，第一次相遇是75秒后，第2次相遇是75+150=225秒。75*1/30商不是整数，所以第一次不是在 端点相遇。第2次225*1/30商不是整数。所以第2次也不是在端点相遇。所以5分钟内共相遇8+2=10次。解这类题的技巧：相遇总次数=迎 面相遇次数+追击相遇次数-在 端点相遇的次数（重复次数）解法3（转）：甲乙都在池子里面游，不管怎么样在一个单程中总会见到另外一个人的，绝不可能出现一个单程碰不到另外一个人的情况，当然也不会有（快的）一 个单程碰两次（慢的）的人的情况。甲乙的速度比1：0.6=5：3，即当甲游5个单程时，乙游3个单程，两人正好在对方的出发点，所以不会出现端点相遇的 情况。甲5分钟游1*5*60/30=10个单程乙5分钟游0.6*5*60/30=6个单程一个单程相遇一次，因为甲（速度快）一共游了10个单程。所以共相遇10次。